2016-2017届湖南省娄底市高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

1、2016-2017学年湖南省娄底市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1设集合A=x|0x4，B=xN|1x3，则AB=（）Ax|1x3Bx|0x4C1，2，3D0，1，2，32已知方程x2+（4+i）x+4+ai=0（aR）有实根b，且z=a+bi，则复数z等于（）A22iB2+2iC2+2iD22i3已知等比数列，则“a10”是“a20170”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4下列说法正确的是（）A“若a1，则a21”的否命题是“若a1，则a21”B在A

2、BC中，“AB”是“sin2Asin2B”必要不充分条件C“若tan，则”是真命题Dx0（，0）使得34成立5在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的大小为（）A30°B45°C60°D90°6已知实数a=1.70.3，b=0.90.1，c=log25，d=log0.31.8，那么它们的大小关系是（）AcabdBabcdCcbadDcadb7函数f（x）=（x2）（ax+b）为偶函数，且在（0，+）单调递增，则f（2x）0的解集为（）Ax|x2或x2Bx|2x2Cx|x0或x4Dx|0x48在自然界中存在着大量的周期函数，比如声

3、波若两个声波随时间的变化规律分别为：y1=3sin（100t），y2=3cos（100t+），则这两个声波合成后（即y=y1+y2）的声波的振幅为（）ABCD39下列四个图中，函数y=的图象可能是（）ABCD10已知=（cos23°，cos67°），=（2cos68°，2cos22°），则ABC的面积为（）A2BC1D11如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为S为（）（注：圆台侧面积公式为S=（R+r）l）A17+3B20+5C22D17+512已知aR，若f（x）=（x+）ex在区间（0，1）上只有一个

4、极值点，则a的取值范围为（）Aa0Ba1Ca1Da0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知，则tan=14已知向量夹角为45°，且，则=15设实数x，y满足，则的取值范围是16“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列an，则此

5、数列的项数为三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17（10分）在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a=，b=3，sinB+sinA=2（） 求角A 的大小；（） 求ABC 的面积18（12分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39；乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39（）用十位数作茎，画出原始数据的茎叶图；（）用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为2、3、4的比赛中抽取一个容量为

6、5的样本，从该样本中随机抽取2场，求其中恰有1场的得分大于40分的概率19（12分）已知数列an的各项均为正数，观察程序框图，若k=5，k=10时，分别有S=和S=（1）试求数列an的通项公式；（2）令bn=3nan，求数列bn的前n项和Tn20（12分）如图，在直角梯形ABCD中，ADC=BAD=90°，AB=AD=1，CD=2，平面SAD平面ABCD，平面SDC平面ABCD，SD=，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE交SB于点F（1）求证：EFCD；（2）求三棱锥SDEF的体积21（12分）已知函数f（x）=x21，g（x）=a|x1|（1）若关于x的方程|

7、f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；（2）若当xR时，不等式f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围22（12分）已知aR，函数f（x）=lnxax+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1x2），求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，求证：x1+x222016-2017学年湖南省娄底市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1设集合A=x|0x4，B=xN|1x3，则AB=（）Ax|1x3Bx|0x4C1，

8、2，3D0，1，2，3【分析】由A与B，求出两集合的交集即可【解答】解：A=x|0x4，B=xN|1x3=1，2，3，AB=1，2，3，故选：C【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（2014陈仓区校级二模）已知方程x2+（4+i）x+4+ai=0（aR）有实根b，且z=a+bi，则复数z等于（）A22iB2+2iC2+2iD22i【分析】把b代入方程，化简利用复数相等的条件，求a、b即可得到复数z【解答】解：把实根b，代入方程x2+（4+i）x+4+ai=0，得方程b2+（4+i）b+4+ai=0所以b2+4b+4=0且b+a=0，所以b=2，a=2 所以z=22

9、i故选A【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数的相等，是基础题3（2017天心区校级一模）已知等比数列，则“a10”是“a20170”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】利用通项公式求解得出a2017=a1q2016，利用充分必要条件的定义求解【解答】解：a10，q=0a2017=a1q20160，“a10”是“a20170”的充分条件；a2017=a1q20160，a10，“a10”是“a20170”的必要条件；等比数列，则“a10”是“a20170”的充要条件故选：C【点评】本题综合考查了充分必要条件的概念，数列的通项公式的运用，属于容易题4

10、下列说法正确的是（）A“若a1，则a21”的否命题是“若a1，则a21”B在ABC中，“AB”是“sin2Asin2B”必要不充分条件C“若tan，则”是真命题Dx0（，0）使得34成立【分析】A，命题的否定既要否定条件又要否定结论；B，在ABC中，“AB”aba2b2（2RsinA）2（2RsinB）2sin2Asin2B，反之亦然；C，若tan，则+k；D，x0（，0）使得34成立；【解答】解：对于A，命题的否定既要否定条件又要否定结论，故错；对于B，在ABC中，“AB”aba2b2（2RsinA）2（2RsinB）2sin2Asin2B，反之亦然，应是充要分条件，故错；对于C，若tan，

11、则+k，故正确；对于D，x0（，0）使得34成立，故错；故选：C【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到了大量的基础知识，属于基础题5在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的大小为（）A30°B45°C60°D90°【分析】由A1BD1C，得异面直线A1B与AD1所成的角为AD1C【解答】解：A1BD1C，异面直线直线A1B与AD1所成的角为AD1C，AD1C为等边三角形，AD1C=60°故选：C【点评】本题考查两异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养6已知实数a=1.70.3，b=0.90.1

12、，c=log25，d=log0.31.8，那么它们的大小关系是（）AcabdBabcdCcbadDcadb【分析】根据指数函数的单调性可判断a，b与1的大小，利用对数函数的单调性可判断c，d与0及1的大小，然后判定选项【解答】解：d=log0.31.8log0.31=0，c=log25log24=2，0b=0.90.10.90=1，1.71a=1.70.31.70=1d0b1a2c故选：A【点评】在比较含有指数式与对数式的大小时，一般步骤是先引入0把所要比较的数区分，然后在指数式中与1比较大小，理论依据是函数的单调性7（2014威海一模）函数f（x）=（x2）（ax+b）为偶函数，且在（0，+

13、）单调递增，则f（2x）0的解集为（）Ax|x2或x2Bx|2x2Cx|x0或x4Dx|0x4【分析】根据二次函数f（x）的对称轴为y轴求得b=2a，再根据函数在（0，+）单调递增，可得a0再根据函数在（0，+）单调递增，可得a0，f（x）=ax24a再利用二次函数的性质求得f（2x）0的解集【解答】解：函数f（x）=（x2）（ax+b）=ax2+（b2a）x2b为偶函数，二次函数f（x）的对称轴为y轴，=0，且a0，即 b=2a，f（x）=ax24a再根据函数在（0，+）单调递增，可得a0令f（x）=0，求得 x=2，或x=2，故由f（2x）0，可得 2x2，或2x2，解得 x0，或x4，故

14、f（2x）0的解集为 x|x0或x4，故选：C【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，二次函数的性质，属于中档题8（2016秋娄底期末）在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波若两个声波随时间的变化规律分别为：y1=3sin（100t），y2=3cos（100t+），则这两个声波合成后（即y=y1+y2）的声波的振幅为（）ABCD3【分析】利用和差化积公式即可得出【解答】解：y=y1+y2=3sin（100t）+3cos（100t+）=3sin（100t）+3×cos（100t）sin（100t）=3×cos（100t）+sin（100t）=3sin（100t+

15、），则这两个声波合成后（即y=y1+y2）的声波的振幅为3故选：D【点评】本题考查了和差化积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题9下列四个图中，函数y=的图象可能是（）ABCD【分析】构造函数y=，则函数为奇函数，其则图象关于原点对称，根据图象得平移即可得到答案【解答】解：设y=，则函数为奇函数，其则图象关于原点对称，当x1时，y0，当0x1时，y0，而y=的图象是由y=的图象向左平移一个单位得到的，故选：C【点评】本题考查了函数图象的变化，关键是掌握函数的平移，属于中档题10已知=（cos23°，cos67°），=（2cos68°，2cos22°

16、），则ABC的面积为（）A2BC1D【分析】根据题意，利用，的坐标，可得，的模，由数量积公式，可得的值，进而由cosB=，可得cosB，由余弦函数的性质，可得B，最后由三角形面积公式，计算可得答案【解答】解：根据题意，=（cos23°，cos67°），则=（cos23°，sin23°），有|=1，由于，=（2cos68°，2cos22°）=2（cos68°，sin68°），则|=2，则=2（cos23°cos68°+sin23°sin68°）=2×cos45

17、6;=，可得：cosB=，则B=135°，则SABC=|sinB=；故选：D【点评】本题考查数量积的坐标运算，关键是由余弦函数的和角公式求出，注意角B是向量、的夹角，属于中档题11如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为S为（）（注：圆台侧面积公式为S=（R+r）l）A17+3B20+5C22D17+5【分析】由已知可得该几何体是一个圆台和一个半球形成的组合体，其表面积由半球面，圆台的侧面，圆台的下底面组成，进而得到答案【解答】解：由已知可得该几何体是一个圆台和一个半球形成的组合体，圆台的上底面半径r=2，下底面半径R=3，母线l=，故

18、圆台的侧面积为：（R+r）l=5，圆台的下底面面积为：R2=9，半球的半径为2，故半球面的面积为：222=8，故组合体的表面积S=5+9+8=17+5，故选：D【点评】本题考查的知识点是圆台的体积和表面积，球的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档12（2016河南模拟）已知aR，若f（x）=（x+）ex在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围为（）Aa0Ba1Ca1Da0【分析】求导数，分类讨论，利用极值、函数单调性，即可确定a的取值范围【解答】解：f（x）=（x+）ex，f（x）=（）ex，设h（x）=x3+x2+axa，h（x）=3x2+2x+a，a0，h（x）0在（0，1）

19、上恒成立，即函数h（x）在（0，1）上为增函数，h（0）=a0，h（1）=20，h（x）在（0，1）上有且只有一个零点x0，使得f（x0）=0，且在（0，x0）上，f（x）0，在（x0，1）上，f（x）0，x0为函数f（x）在（0，1）上唯一的极小值点；a=0时，x（0，1），h（x）=3x2+2x0成立，函数h（x）在（0，1）上为增函数，此时h（0）=0，h（x）0在（0，1）上恒成立，即f（x）0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值；a0时，h（x）=x3+x2+a（x1），x（0，1），h（x）0在（0，1）上恒成立，即f（x）0，函数f（x）在（

20、0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值综上所述，a0故选：A【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知，则tan=【分析】由已知求出sin的值，结合的范围可求出cos的值，则答案可求【解答】解：由，得，又，故故答案为：【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的诱导公式的应用，是基础题14（2012新课标）已知向量夹角为45°，且，则=3【分析】由已知可得，=，代入|2|=可求【解答】解：，=1=|2|=解得故答案为：3【点评】本题主要考查了向

21、量的数量积 定义的应用，向量的数量积性质|=是求解向量的模常用的方法15设实数x，y满足，则的取值范围是$frac15，1【分析】由约束条件作出可行域，利用的几何意义，即可行域内的动点与定点（3，1）连线的斜率得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（2，0），联立，解得B（2，6）的几何意义为可行域内的动点与定点（3，1）连线的斜率，的取值范围是frac15，1【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题16“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合180

22、1年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列an，则此数列的项数为134【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数【解答】解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故an=15n14由an=15n142017得n135.4，当n=1时，此时a1=1，不符合，故此数列的项数为1351=134故答案为：134【点评】本题考查数

23、列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17（10分）（2016河西区二模）在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a=，b=3，sinB+sinA=2（） 求角A 的大小；（） 求ABC 的面积【分析】（）锐角ABC 中，由条件利用正弦定理求得 sinB=3sinA，再根据sinB+sinA=2，求得sinA的值，可得角A 的值（） 锐角ABC 中，由条件利用余弦定理求得c的值，再根据ABC的面积为bcsinA，计算求得结果【解答】解：（）锐角ABC

24、 中，由条件利用正弦定理可得=，sinB=3sinA，再根据sinB+sinA=2，求得sinA=，角A=（） 锐角ABC 中，由条件利用余弦定理可得a2=7=c2+96ccos，解得c=1 或c=2当c=1时，cosB=0，故B为钝角，这与已知ABC为锐角三角形相矛盾，故不满足条件当c=2时，ABC 的面积为bcsinA=32=【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题18（12分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39；乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15

25、，37，25，36，39（）用十位数作茎，画出原始数据的茎叶图；（）用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为2、3、4的比赛中抽取一个容量为5的样本，从该样本中随机抽取2场，求其中恰有1场的得分大于40分的概率【分析】（）由某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录作出茎叶图，（）根据题意列举出基本事件的个数，求出相应的概率即可【解答】解：（）由题意得茎叶图如图：，（）用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为2、3、4的比赛中抽取一个容量为5的样本，则得分十位数为2、3、（4分）别应该抽取1，3，1场，所抽取的赛场记为A，B1，B2，B3，C，从中随机抽取2场的基本事件有：（A，B1），（A，

26、B2），（A，B3），（A，C），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），（B2，C），（B3，C）共10个，记“其中恰有1场的得分大于4（0分）”为事件A，则事件A中包含的基本事件有：（A，C），（B1，C），（B2，C），（B3，C）共4个，答：其中恰有1场的得分大于4（0分）的概率为【点评】本题考查概率的求法，考查列举法计算概率，是基础题，解题时要认真审题，19（12分）已知数列an的各项均为正数，观察程序框图，若k=5，k=10时，分别有S=和S=（1）试求数列an的通项公式；（2）令bn=3nan，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）经过分析，程序框图为当型循

27、环结构，按照框图题意分析求出an的通项（2）根据（1）的结论，得到bn，Tn=3×1+32×3+3n1（2n3）+3n（2n1），进而可求3Tn，2Tn，从而可求数列bn的前n项和Tn【解答】（本题满分为12分）解：（1）由已知可得an是等差数列，设公差为d，则有：Sk=5=（+）=（）=，Sk=10=（+）=（）=，解得：或（舍去），则an=a1+（n1）d=1+（n1）2=2n1（6分）（2）Tn=3×1+32×3+3n1（2n3）+3n（2n1），3Tn=32×1+33×3+3n（2n3）+3n+1（2n1），则2Tn=32（3

28、2+33+3n）+3n+1（2n1）=3n+1（2n1）+可得：Tn=3+（n1）3n+1（12分）【点评】本题考查程序框图，数列的概念及简单表示方法，数列的求和，通过对知识的熟练把握，分别进行求值，属于中档题20（12分）如图，在直角梯形ABCD中，ADC=BAD=90°，AB=AD=1，CD=2，平面SAD平面ABCD，平面SDC平面ABCD，SD=，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE交SB于点F（1）求证：EFCD；（2）求三棱锥SDEF的体积【分析】（1）由CDAB，知CD平面SAB，由此能证明CDEF（2）推导出EF平面SAD，由此能求出三棱锥SDEF

29、的体积【解答】证明：（1）在直角梯形ABCD中CDAB，AB平面SAB，CD平面SAB，CD平面SAB，又平面CDEF平面SAB=EF，CDEF（6分）解：（2）CDAD，平面SAD平面ABCD，CD平面SAD，CDSD，同理ADSD，由（1）知EFCD，EF平面SAD，EC=AC，ADC=EDC=90°，ADCEDC，ED=AD，在RtSDA中，AD=1，SD=，SAD=60°，又ED=AD=1，E为SA中点，EF=，SED的面积为，三棱锥SDEF的体积V=（12分）【点评】本题考查线线平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要 认真审题，注意空间思维能力的培

30、养21（12分）已知函数f（x）=x21，g（x）=a|x1|（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；（2）若当xR时，不等式f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）将方程变形，利用x=1已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，从而可求实数a的取值范围；（2）将不等式分离参数，确定函数的值域，即可求得实数a的取值范围【解答】解：（1）方程|f（x）|=g（x），即|x21|=a|x1|，变形得|x1|（|x+1|a）=0，显然，x=1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，a0（6分）（2）当xR时，不等式f（x）g（x）恒成立，即（x21）a|x1|（*）对xR恒成立，