高斯随机过程ppt课件

1、2.3高斯随机过程高斯随机过程 2.3.1定义 假设随机过程(t)的恣意n维n=1, 2, 分布都是正态分布，那么称它为高斯随机过程或正态过程。 其n维正态概率密度函数表示如下： fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn) 212121.)2(1Bn)(21exp.11kkkjkjnkjknjaxaxBB 式中, ak=E(tk)，2k=E(tk)-ak2，|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即B b12 b1nB21 1 b2nBn1 bn2 1 |B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子，bjk为归一化协方差函数，且 2.3.2重要性质 1 由式(2.3 - 1)可以看出, 高斯过程

2、的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、 方差和两两之间的归一化协方差函数所决议。因此，对于高斯过程，只需研讨它的数字特征就可以了。 2 假设高斯过程是广义平稳的，那么它的均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，由性质1知，它的n维分布与时间起点无关。 所以，广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。 3 假设高斯过程在不同时辰的取值是不相关的， 即对一切jk有bjk=0，这时式2.3 - 1变为f n ( x 1 , x 2 , , x n ; t 1 , t 2 , , t n ) = (2.3 - 2) 也就是说，假设高斯过程在不同时辰的取值是不相关的， 那么它们也是统计独

3、立的以后分析问题时，会经常用到高斯过程中的一维分布。例如，高斯过程在任一时辰上的样值是一个一维高斯随机变量，其一维概率密度函数可表示为njjjjnjjnax122122)(exp)2(12)(exp21221jjjnjjax=f(x1, t1)f(x2, t2)f(xn, tn) )2)(exp(21)(22axxf 式中，a为高斯随机变量的数学期望，2为方差。f(x)曲线如图 2 - 3所示。 由式2.3 - 3和图2 - 3可知f(x)具有如下特性： (1) f(x)对称于x=a这条直线。 (2) 21)()(adxxfdxxf1)(dxxf且有图2-3 正态分布的概率f (x)12Oax

4、 3 a表示分布中心，表示集中程度，f(x)图形将随着的减小而变高和变窄。当a=0，=1时，称f(x)为规范正态分布的密度函数。 当我们需求求高斯随机变量小于或等于恣意取值x的概率P(x)时，还要用到正态分布函数。正态分布函数是概率密度函数的积分，即dzazxpxFx2)(exp21)()(22 这个积分无法用闭合方式计算，我们要设法把这个积分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联络起来，普通常用以下几种特殊函数： 1 误差函数和互补误差函数。 误差函数的定义式为xtdtexerf022)( 它是自变量的递增函数，erf(0)=0，erf()=1，且erf(-x)=-erf(x)。我们称1

5、-erf(x)为互补误差函数，记为erfc(x), 即 erfc(x)=1-erf(x)=dtext22 它是自变量的递减函数，erfc(0)=1，erfc()=0，且erfc(-x)=2-erfc(x)。当x1时实践运用中只需x2)即可近似有21)(xexxerfc 2 概率积分函数和Q函数。 概率积分函数定义为(x)= (2.3 - 10)0,212/2xdtext 这是另一个在数学手册上有数值和曲线的特殊函数， 有()=1。 Q函数是一种经常用于表示高斯尾部曲线下的面积的函数，其定义为0,21)(1)(2/2xdtexxQxt 比较式2.3 - 8与式2.3 - 10和式2.3 - 11

6、， 可得 )2(21)(xerfcxQ)2(1 2)2(2)(xxQxerfc 如今让我们把以上特殊函数与式2.3 - 6进展联络， 以表示正态分布函数F(x)。 假设对式2.3 - 6进展变量代换，令新积分变量t=(z-a)/， 就有dz=dt，再与式2.3 - 10联络，那么有 F(x)= (2.3 - 15)假设对式2.3 - 6进展变量代换， 令新积分变量t=(z-a)/ ，就有dz= dt，再利用式2.3 - 5，那么不难得到 22ax 用误差函数或互补误差函数表示F(x)的益处是，它简明的特性有助于今后分析通讯系统的抗噪声性能。 F(X)=时当axaxerf),2(2121时当ax

7、axerf),2(211 2.3.3高斯白噪声 信号在信道中传输时， 常会遇到这样一类噪声， 它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即 P()= (2.3 - 17)这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。 式中n0为一常数，单位是瓦/赫。显然，白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即20n R()= )(20n 这阐明，白噪声只需在=0时才相关，而它在恣意两个时辰上的随机变量都是互不相关的。图 2 - 4 画出了白噪声的功率谱和自相关函数的图形。 假设白噪声又是高斯分布的， 我们就称之为高斯白噪声。 由式2.3 - 18可以看出，高斯白噪声在恣意两个不同时辰上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统