释疑解难曲线积分与曲面积分

1、释疑解难 曲线积分与曲面积分问题1如何认识多元函数的几种积分的定义？答：多元函数的几种积分的定义可以用统一形式给出，统称为几何形体上的积分： ，其中是将积分区域任意分割为块后的任一块，为内的任一点，它是定积分的推广。若为平面域，则是二重积分。若为空间区域，则是三重积分。若为曲线弧，则是对弧长的曲线积分。若为曲面，则是对面积的曲面积分。另外还有对坐标的曲线积分 其中为有向曲线弧的切向量的方向角。对坐标的曲面积分，其中为有向曲面的法向量的方向角。问题2如何正确理解两类曲线积分和曲面积分的概念？答：由于实际需要，曲线积分与曲面积分为两种类型，有关质量重心转动惯量等数量积分问题导出第一类线面积分；有关

2、变力作功、流体流过曲面的流量等向量问题导出第二类线、面积分。前者被积函数化为数量函数沿区域积分，无需考虑方向性，而后者被积函数是向量函数，必须考虑方向。因此，一个函数的积分可以由积分区域的有向或无向分为两种类型的积分，在所学过的积分中：区域无向的积分有：重积分第一类曲线积分和第一类曲面积分；区域有向的积分有：定积分第二类曲线积分和第二类曲面积分。曲线的方向是由起点到终点（定积分）或切向量的方向来确定，曲面的方向则由曲面上点的法向量所指向的侧来确定，我们常会把两类积分相互转换，转换时必须注意符号，它体现了有向积分的方向。将无向域的积分化为有向域的积分，如重积分化为累次积分（定积分），方向性体现为

3、定积分的上下限的确定，而将有向域的积分化为无向域的积分，如第二型曲面积分化为二重积分或三重积分，第二型曲线积分化为二重积分等，必须注意符号的确定问题。问题3应用格林公式时应注意什么问题？答：应用格林公式应注意以下几点：1必须注意格林公式的条件是否满足，否则，就会出现错误。 例如，设，其中为取正向，若按如下解法： , , 由格林公式，得 而事实上 。 上述前一种解法是错误的，因为在不连续，而，故不满足格林公式的条件，不能直接应用格林公式。2格林公式对复连通区域，结论也成立，但必须是的所有边界曲线取正向。 曲线正向的规定：沿的边界曲线正向前进，区域总在其左侧。 例如，其中是：的正向边界曲线，如图1

4、0-1，的正向为的逆时针和的顺时针方向。因为 ，故由格林公式，得 。问题4设为椭圆，为圆周均为逆时针方向，问下列积分的计算是否正确？ 。 答：不正确。因为当时，故在与围成的区域中，因此 。正确的解法是利用的参数方程：从变到， 。注：将曲线积分改变为另一路径上的积分，一定要检查条件是否在与所围成的区域内成立，且与方向要一致。问题5计算积分，为球面：的外侧。 下面作法是否正确： 。 答：这个作法不正确，错在三重积分的计算，像这样的错误，一不注意就会发生。因为给出的是上的曲面积分，在上应满足方程，这是对的。但在用了高斯公式以后，曲面积分已转换成了三重积分，积分域为：，即在闭域上变动,而对于内部的点，

5、已不满足了。正确的结果应是 。问题6设为平面在柱面内那一部分的上侧，下面两个积分的解法是否正确？ （1）。 （2）。 答：第一个积分的解法是对的，第二个的解法不对。因为第二个积分是对坐标的曲面积分，其中的微分元是在面上的投影，故正确的作法是：，是在上的投影：，故 如果是下侧，那末。曲面积分 之所以称为对坐标的曲面积分，就是上式中 和分别是的面积元素在坐标面和上的投影。因此计算时应分别把投影于和面上，化为二重积分，这时，需要注意的侧，据此以定投影的正负，亦即二重积分的正负。问题7设是半球面的外侧。有人说：“由对称性知，故同样也有。”这样说对不对？答：这样说不对。我们知道，对面积的曲面积分与曲面（

6、积分域）的侧（方向）无关。故考虑对称性时比较容易。但对坐标的曲面积分与曲面的侧有关，所以在考虑它的对称性时，还要考虑曲面的侧。也即要顾及被积函数与曲面，情形就比较复杂。因此，在计算对坐标的曲面积分时，不如先把它转化为二重积分，再化为定积分，在转化过程中可考虑利用二重积分或定积分的对称性，这是基本方法。利用对称性只是对具有这种特殊性质的积分所用的解题技巧，并非每个曲面积分都具有这种特殊性质。问题中的积分是对的。因为曲面对称于平面，而被积函数在关于平面的对称点上，它的值差一个符号（奇函数）。所以，但是不对的。因为曲面虽关于平面对称，但在对称点上，的方向不同，因而投影不等。故对称性不能用。计算可用两种方法：（1