待定系数法分解因式

1、待定系数法分解因式（附答案）待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。内容综述将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。要点解析这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解

2、时的方法，步骤，技巧等。例1分解因式1.':思路1因为.；13八（"以2刊城所以设原式的分解式是-1-：'然后展开，利用多项式的恒等,求出m,n,的值。解法1因为-'：1'所以可设2十+-3y2+x+14yl5=（x-y+战）（2x+3+js）.=2x3+xy3y2+（2朋十m）x+（3髀一同丿+湘if2ifc+n=I比较系数，得7C-:!：由、解得沽二'：'='把'-=.匚=、代入式也成立。rI二辺X：二v:|I思路2前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n的值。解法2因为I.；."-；I.-；'

3、;所以可设2x3+xy-3y2+x+1415=（x-y+刑）（2x+3y+用）.因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令令二得；工-.|口c=-9.解、得T"I汀；或J把它们分别代入恒等式检验，得窪二I二二1说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。例2分解因式:-一-/思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。解设.:-:'-.=(?+ax+l)(x2十分+5)=x4+(

4、a+(必+(勿+如+打a+b=-Iab+6=4由恒等式性质有：L5a+b=3由、解得：二八二代入中，式成立。.-1-:说明若设原式='由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式=(?+ax+l)(x2+ix+5).例3在关于x的二次三项式中，当下二1时，其值为o；当：二-J时，其值为o；当:=-时，其值为10,求这个二次三项式。思路1先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。可考虑利用恒待式的性质。解法1设关于x的二次三项式为二二：二把已知条件分别代入，得a+b+c=09a+3b+c-04a+2b+c-10a-2,解得t-6.故所求的二次三项为2?+4x

5、-6.思路2根据已知=-：时，其值0这一条件可设二次三项式为_->然后再求出a的值。解法2由已知条件知当二L'时，这个二次三项式的值都为0,故可设这个二次三项式为山1一：二"二把：一代入上式，得'：1'：1解得_故所求的二次三项式为-即:说明要注意利用已知条件，巧设二次三项式的表达式。例4已知多项式丄-+:-的系数都是整数。若T是奇数，证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的。证明：设'1；'"亍:'_'丁宀

6、（m,n,r都是整数）。比较系数，得W=L因为匸用亠虫-M匸:,是奇数，则:.与d都为奇数，那么mr也是奇数，由奇数的性质得出m,r也都是奇数。在式中令.下=1,得由；'-是奇数，得一i：'是奇数。而m为奇数，故-*是偶数，所以1"'是偶数。这样的左边是奇数，右边是偶数。这是不可能的。因此，题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。说明：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明。例5已知二叭'-能被整除，求证：i='思路：可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。证明：设»'+4r=+ax+Az+展开，比较系数

7、，得a-2c=0c2+1tt2ac=0ac2-abc+=0cJbd由、，得-八二代入、得：”一$打-厂二1例6若a是自然数，且J-J；'：?.；一-的值是一个质数，求这个质数。思路：因为质数只能分解为1和它本身，故可用待定系数法将多项式分解因式，且使得因式中值较小的为1，即可求a的值。进而解决问题。解：由待定系数法可解得?-4?+15-30+27-（a23a$（屮p+9）.由于a是自然数，且J二；-；是一个质数,解得f-'iLL2.L当:二-时，亡1=不是质数。当心i时，'卩"是质数。J_'=11.培优训练A级1、分解因式3?+5xy-2/+x+9厂4

8、二.2、若多项式3?+5xy-2/+z+9j+?3能被3x-y+4整除，则n=.3、二次三项式当丿-I时其值为-3，当：-时其值为2，当|丨时其值为5，这个二次三项式是.4、m,n是什么数时，多项式"二二:二T:'能被_；：-整除？B级5、多项式-'一'能分解为两个一次因式的积，则k=.6、若多项式x4-5?+llx2+/MX+W能被（兀-1尸整除则机+於=.7、若多项式z3-Sx2axb当,2时的值均为o,则当x=时，多项式的值也是0。228、求证：.丁丁不能分解为两个一次因式的积。参考答案或提示：(3x+y+4)(x+2yT)提示：设原式沁：=3x2+5x

9、y-2y2+3b)x+(2a-b)y+ab.比较两边系数，得a+3b=1*2a-b=9ab=-4p=4,由、解得I:'-：将L-一代入式成立。原式-二2、-4。提示：设原式-/'比较系数，得3m+4=18-m=9n=4m由、解得代入得汀I.3、一一1.提示：设二次三项式为.I/：''-':.把已知条件代入，得a+b+c=-3t4a+2b+c2,a-bc=5.k3、=-4fc=亠2解得I所求二次三项式为所求二次三项式为3?-4x-24.m=-1U=4.4.m=-1U=4.设'-：lv-:'”：/I：=x4+(fi-2)+(誰-24+如+(2w+A)x+h.比较系数，得fb-2=-5,皿2b+1三11,-2k+A=tn.*b=-3t聊=4,解得m=一11A当m=-11,n=4已知多项式能被?-2i+l整除。5.-2提示：设原式-:,'=3xa+2xy-y2+(用+加)x+(n-m)y+mn.比较系数，得>+张=5tmn=kk=2,彳用“1,i-=_2解得I6.-7提示：设原式='.1'：''-/+(a-2)i3+(h-2a+l>a七-2加砒比较系数，得a2=扛卜2小=11,alb=-11,解得1'm-_73提示：设原式十-1)(x-2)(xp)=x