专题五 不等式解答题的解法

1、专题五专题五 不等式解答题的解法不等式解答题的解法数学第二轮专题复习第二部分数学第二轮专题复习第二部分考题剖析考题剖析 试题特点试题特点 0315不等式解答题的解法不等式解答题的解法应试策略应试策略 07 1.近三年高考各试卷不等式考查情况统计 近四年考卷的解答题中，每年都有不等式的题出现，但单独作为一个题的形式不是很多，2005年有3道，2007年的19套试卷中，也只有2道，是关于解不等式，处于第一个题的位置，属于容易题.而一般都是与其它知识综合，考查解不等式、证不等式，有一定的难度.不等式与数列、导数、解析几何、三角、函数等问题综合，其中与数列综合是最多的，但近两年出现了二项式的函数与不等

2、式相结合的题,如2007年的湖北卷、四川卷，值得注意.试题特点试题特点不等式解答题的解法不等式解答题的解法 不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用.因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用.在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明.不等式的应用范围十分广泛，它始终贯穿在整个中学数学之中.诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，

3、最终都可归结为不等式的求解或证明.试题特点试题特点不等式解答题的解法不等式解答题的解法 2.2.主要特点 不等式是中学数学的重要内容，在数学的各个分支中都有广泛的应用，是进一步学习高等数学的基础和重要工具，所以不等式一直是高考数学命题的重点和热点.历年高考试 题， 涉及不等式的内容的考题大致可分为以下几种类型： 解不等式； 证明不等式； 取值范围问题； 应用问题. 试题特点试题特点不等式解答题的解法不等式解答题的解法试题特点试题特点 试题主要有如下特点： （1）突出重点，综合考查.高考命题遵循在“知识与方法的交汇点设计命题”，不等式能和所有的数学知识构成广泛的联系，因此高考试题中不等式常与函数

4、、数列、解析几何、三角等进行综合. （2）高考突出主干知识和重要数学思想的考查，这是高考不变的立意.解含参数的不等式能较好地体现等价转化、分类整合、数形结合等数学思想.因此，含参数的不等式在历年高考中常考不衰. （3）导数是解决不等式问题的强有力的工具，因此高考中加强了以导数为载体的导数、不等式、函数的综合. （4）高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何等试题中涉及不等式的知识，加强了不等式作为一种工具作用的考查.不等式解答题的解法不等式解答题的解法应应 试试 策策 略略 1.不等式的解法 在 复 习 不 等 式 的 解 法 时 ， 要 加 强 等 价 转 化

5、思 想 的 训 练 与 复 习 . 解 不等 式 的 过 程 是 一 个 等 价 转 化 的 过 程 ， 通 过 等 价 转 化 可 简 化 不 等 式 ( 组 ) ，以快速、准确求解. (1)解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础.必须熟练掌握，灵活应用. ( 2 ) 解 高 次 不 等 式 、 分 式 不 等 式 ， 首 先 使 不 等 式 一 边 是 零 ， 一 边 是一 次 因 式 （ 一 次 项 系 数 为 正 ） 或 二 次 不 完 全 平 方 式 的 积 与 商 的 形 式 （ 注意 二 次 因 式 恒 正 恒 负 的 情 况 ） ， 然 后 用 数

6、 轴 标 根 法 写 出 解 集 （ 尤 其 要注意不等号中带等号的情形）.应试策略应试策略不等式解答题的解法不等式解答题的解法 (3)解绝对值不等式的常用方法： 讨论法：讨论绝对值中的式子大于零还是小于零，然后去掉绝 对值符号，转化为一般不等式. 等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形 xa x2a2 axa(a0) xa x2a2 xa或xa(a0) 一般地有：f(x)g(x) g(x)f(x)g(x) f(x)g(x) f(x)g(x)或f(x)g(x) (4)对于解含参数不等式，要充分利用不等式性质.对参数的讨论，要不“重复”不“遗漏”.一要考虑参数总的取值范围,二要用同一标准对参数

7、进行划分，三要使得划分后，不等式的解集的表达式是确定的.应试策略应试策略不等式解答题的解法不等式解答题的解法 2.掌握算术平均数与几何平均数定理 定理 如果a,bR,那么a2b22ab（当且仅当a=b时，取“=”）. 定理 如果a,b是正数，那么 (当且仅当a=b时，取“=”) (1)二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转 化为“和式”的放缩功能. (2)创设应用均值不等式的条件、合理拆分项或配凑因式是常用的解 题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立.应试策略应试策略abba2不等式解答题的解法不等式解答题的解法 (3)“和定积最大，积定和最小”，即2个正数的和为定值，则可

8、求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值. 应用此结论求值要注意三个条件： 各项或因式非负； 和或积为定值； 各项或各因式都能取得相等的值. 必要时要作适当的变形，以满足上述前提.应试策略应试策略不等式解答题的解法不等式解答题的解法 3.不等式证明 在不等式证明中，加强化归思想的复习.证明不等式的过程是一个把已知条件向要证明的结论的一个转化过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力.正因为证明不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起足够重视. (1)证明不等式的常用方法有：比较法、综合法、分析法和数学归纳法.其他方法如：放缩法、反证法、换元法、判别式

9、法证明不等式在高考中不作过高要求.应试策略应试策略不等式解答题的解法不等式解答题的解法 ( 2 ) 比 较 法 有 求 差 比 较 法 和 求 商 比 较 法 两 种 模 式 . 求 差 比 较 法 中 的 变形 可 以 变 成 平 方 和 、 常 数 、 因 式 的 积 ； 求 商 比 较 法 要 注 意 对 分 母 的 符 号进行讨论.比较法在符号确定的前提下，可以转化为乘方问题来解决：如果a，b0,则a2b2 ab. (3)利用综合法、分析法证明不等式经常使用的基本不等式有： a20,aR; a2b22ab,a,bR; , a,bR;abba2应试策略应试策略不等式解答题的解法不等式解答

10、题的解法 abc3 ,a,b,cR; 利用基本不等式的变式： , (其中a,bR). 分析法是从要证的结论入手，寻找其充分条件，即执果索因；综合法为分析法的逆过程，即由因导果；复杂的不等式证明要注意几种方法的结合使用. (4)涉及到数列或与自然数有关的不等式可考虑数学归纳法的运用,涉及到函数的不等式可考虑构造函数,应用导数来解决.3abc;)2(2222baba2211222babaabba应试策略应试策略不等式解答题的解法不等式解答题的解法考考 题题 剖剖 析析考题剖析考题剖析1.（2007石家庄质检题）解关于x的不等式：x|xa| (a0).922a 解析当xa时，不等式可化为 即 ax当

11、x .|41a 分析 因为xR，故|f(x)|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设f(x)=a(xx0)2f(x0). 证明 由题意知，a0.设f(x)=a(xx0)2f(x0)，则f(x0)= 又二次方程ax2bxc=x无实根，故1=(b1)24ac0，2=(b1)24ac0.所以(b1)2(b1)28ac0，即2b228ac0，即b24ac1，所以|b24ac|1.故aacb442|41|4|4|44| )(|220aaacbaacbxf不等式解答题的解法不等式解答题的解法由b24ac1 即|ax2bxc| 成立考题剖析考题剖析|41a|41a 点评 从上述例子可以看出，在证明与二次函

12、数有关的不等式问题时，如果针对题设条 件 ， 合 理 采 取 二 次 函 数 的 不 同 形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径.不等式解答题的解法不等式解答题的解法考题剖析考题剖析3. (2007广东中山市模拟题）已知数列an中a1=2，an1=( 1)(an2)，n=1，2，3，. （）求an的通项公式； （）若数列bn中b1=2，bn1= ，n=1，2，3，.证明： bna4n3，n=1，2，3，.23243nnbb2 解析（）由题设：an1=( 1)(an2)=( 1)(an )( 1)(2 )=( 1)(an ) ，an1 =( 1)(an ).22222222222不等式解答题的

13、解法不等式解答题的解法考题剖析考题剖析所以，数列an是首项为2 ，公比为 1的等比数列，an = ( 1)n，即an的通项公式为an= ( 1)n1，n=1，2，3， （）用数学归纳法证明：（）当n=1时，因 2，b1=a1=2，所以 b1a1，结论成立.（）假设当n=k时，结论成立，即 bka4k3，也即0bk a4k3 .222222222222不等式解答题的解法不等式解答题的解法考题剖析考题剖析当n=k1时，bk1 = 又所以bk1 =a4k1 .也就是说，当n=k1时，结论成立.根据（）和（）知 0，a1)是区间a2，a3上的两个函数. （1）求a的取值范围； （2）讨论f1(x)与f

14、2(x)在区间a2，a3上是否是接近的.考题剖析考题剖析ax1不等式解答题的解法不等式解答题的解法 解析 （1）a0且a1，当xa2，a3时，要使函数f1(x)=loga(x3a)有意义， a23a0，即a0，即aR 由和得0a1，即为a的取值范围.考题剖析考题剖析ax1 （2）要判断f1(x)与f2(x)在区间a2，a3上是否是接近的，只须检验|f1(x)f2(x)|1在区间a2，a3上是否恒成立.|f1(x)f2(x)|=|loga(x3a)loga | = |loga(x3a)(xa)|，设|loga(x3a)(xa)|1，则1loga(x3a)(xa)1，即1loga(x24ax3a2

15、)1 ax1不等式解答题的解法不等式解答题的解法考题剖析考题剖析设g(x)=x24ax3a2=(x2a)2a2，抛物线g(x)开口向上，且对称轴为x=2a.0a1，02a2a2a3，函数g(x)在区间a2，a3上是增函数.设a2x1x2a3，则g(x1)g(x2)，0alogag(x2).设h(x)=loga(x24ax3a2)，则h(x)在区间a2，a3上是减函数，h(x)max=h(a2)=loga(44a)，h(x)min=h(a3)=loga(96a)，不等式解答题的解法不等式解答题的解法式成立的充要条件是： 当a(0， 时，f1(x)与f2(x)在区间a2，a3上是接近的；当a( ，

16、1)时，f1(x)与f2(x)在区间a2，a3上是非接近的.考题剖析考题剖析aaaaaaaa169,44, 1)69(log, 1)44(log,12579, 0(125790,540aaa1257912579 点评高考题中常常出现和高中知识有关的新的定义，本题中定义了两个函数在区间上接近的定义，解题时必须先搞懂两个函数在区间上接近的定义.对数的运算是学生的一个薄弱环节，本题涉及到对数的运算.二次函数的最值问题也是重点内容之一.不等式解答题的解法不等式解答题的解法 5.（2007惠州市调研一）已知函数f(x)的导数f (x)满足0f (x)时，总有f(x)x成立； （3）对任意x1,x2，若满足|x1|1,|x2|1，求证|f(x1)f(x2)|，则=f()f()，在与之间必存在一点