弹性力学复习

1、弹性力学复习指导一、问答题试叙述弹性力学的基本假设及这些基本假定在建立弹性力学基本方程时的作用。（1）连续性，所有的物理量均可以用连续函数，从而可以应用数学分析的工具（2）完全弹性，物体中的应力与应变之间的物理关系可以用胡克定律来表示（3）均匀性，物体的弹性常数等不随位置坐标而变化（4）各向同性，弹性常数等也不随方向而变化（5）小变形假定，简化几何方程，简化平衡微分方程1. 叙述平面应力问题在结构形状、所受外力和约束有何特点。答：平面应力问题一般对于等厚度薄板（z方向尺寸远小于板面尺寸的等厚度薄板）。外力平行于板面作用在板边，且沿板厚不变，版面上无面力，z方向的分力为0。约束只作用于板边，其方

2、向平行于中面（x0y面），且沿厚度（z向）不变，只有作用于板边的x,y向的边界约束存在。2. 叙述平面应变问题在结构形状、所受外力和约束有何特点。答：平面应变问题一般对于常截面长柱体（z方向尺寸远大于截面尺寸的等截面柱体）。外力垂直柱体轴线，且沿长度方向不变，z方向分力为0。约束只作用于柱面，其方向平行于中面（x0y面），且沿厚度（z向）不变，只有作用于板边的x，y向的边界约束存在。4试叙述在大边界上不能应用圣维南原理。答：圣维南原理是基于静力等效原理，当将面力的等效变换范围应用到大边界上，则必然使整个物体的应力状态都改变，所以大边界不能应用静力等效，在大边界上不能应用圣维南原理。5. 试叙述

3、弹性力学中解的叠加定理。答:在线弹性和小变形假定下，作用于弹性体上几组荷载产生的总效应（应力和变形），等于每组荷载产生的效应之和，且与加载顺序无关（p135）6. 试叙述弹性力学中虚位移原理。答：假定处于平衡状态的弹性体在虚位移过程中，没有温度的改变，也没有速度的改变，既没有热能和动能的改变，则按照能量守恒定理，形变势能的增加，等于外力势能的减少，也就等于外力所做的功，即所谓虚功。（p135）7. 有限元方法中，每个单元都是一个连续体。位移模式的建立，解决了由结点位移求出单元中的位移函数的问题。位移模式是有限元单元法的基础工作，当单元趋于很小时，为使有限元法的解答逼近于真解，亦即为了保证有限元

4、法的收敛性，位移模式应满足哪些条件？答：（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移。（2）位移模式必须能反映单元的常量应变（3）位移模式必须能反映位移的连续性（p151）8. 弹性力学问题的基本解法中，位移法，应力法各以什么参数作为未知量，各需满足什么条件？答：n位移法以位移分星的二个未知函数顒兀貝汰恻斗趴执庶丟竹对祚为基禾未翔量.这个位秤分“对应的应力在物体内部应満址平衡微分方程和边界条件"2）应力法；以六个应力分承亿加务声肿作为皋本未知量，需満足变形连除方程.边泰勒级数是一种完备的函数展开式，能够表示在某点附近函数的状态。试写出在点x0,y0附近二维问题的泰勒级数展开式。朋)金(用如

5、(一对+(唧丄1f(Xo)=y。9. 材料力学是否也是应用弹性力学的5个基本假设来研究的？如果不是，请加以区别。答：10. 试写出AB、AC边的边界条件。提示：平面问题的应力边界条件为匕xm.yxs=f；sm-x-!：'.xys-fys式中：f：s和f；s是边界上S的已知函数，'，m是边界面外法线n的方向余弦。A如图所示，试写出其边界条件。(1)45段£ZO,m1代入边界条件公式，有Zr=Oi*它gxIRC段(JftwL_,=o,v|=o(3)ZC段(_v=rtan):i+/X)=一sp.f3e=y)=5?号*rb*siaZ#>h-*ws£7=0b-C

6、G9/?+Lr-(sVI/?)=O12.图示水坝，试写出其边界条件。提示：平面问题的应力边界条件为xxaa13.若在斜边界面上，受有常量的法向分布力q作用，试列出应力边界条件。（仇+hxyS=匚（S）j式中：f；s和f；s是边界上S的已知函数，,m是边界面外法线n的方向余弦。圏示水坝，试写出其边界*件.AT=jycosY=yfivi/i由应力边界条件公式*有左侧而：丄cos丿兔冊一ahiI巳-(sin+=护皿Z*右侧而：/=COS=9KL(JTsintr”cr+cosu?*=O-*14.若取=ay2,；y=bx2,岑='：abxy，是否可能成为弹性体中的形变？答：满足变形协调条件，能成

7、为弹性体中的形变，（p50例3）15.若fx二fy=0，且二x=ax2，二y=by2，.xy=0，是否可能成为弹性体中的应力？答：以上条件代入p15（2-2）得a=b=0，不可能成为弹性体中的应力。16. 检验应力分量；y，xy是否正确的全部条件是什么？答：（1）平衡微分方程p15（2-2）。（2）相容方程p38（2-20）。（3）应力边界条件式p25（2-15）.（4）对于多连体，还应满足位移的单值条件w43223417. 若去应力函数为纯四次式子，门二axbxycxy-dxy-ey，为了满足相容方程，其系数之间应满足什么条件？答：由满足相容方程可得3a+c+3e=0、绘图题试绘出六面体上下

8、左右四个面上正的应力分量。1. 试绘出极坐标下扇面正的应力分量。三.推导题1.试导出弹性力学平面应力问题的物理方程。提示：在理想弹性体的条件下，物理方程就是材料力学中的胡克定律为yz式中,zx1GyziGzx1GxyE二E是弹性模量，G是切变模量（刚度模量），是泊松系数，这三个弹性常数之间关Exy系为G=2(1+V-)答：在平面应力问题中，（Tz=0,Ty=0,Tx=0，代入上述式子得弹性力学平面应力问题的物理方程（p23）2.试导出弹性力学平面应变问题的物理方程。提示：在理想弹性体的条件下，物理方程就是材料力学中的胡克定律为iGyziGzxiTGxy11-iE-E是弹性模量，G是切变模量（刚

9、度模量），是泊松系数，这三个弹性常数之间关系为G。2（1+卩：答：在平面应变问题中，z方向的应变为0，代入上式子，求出z方向的应力分量，将得p23（2-13）3.试导出平面应力问题中用应力表示的相容方程。式中,yz'xcx,Vzxxy物体的所有各点都不沿z方向移动，所有z方向的线段都没有伸缩，z方向的应力分量代入上式子提示：平面问题的几何方程为；x=，；y=，xy&cy.v.:u;:x:y平面应力问题的物理方程和平衡微分方程分别为xyxy1-；x-七y21Exy££x:xy:.-'xy:xfxfy3. 试导出平面应变问题中用应力表示的相容方程。提示：

10、平面问题的几何方程为x=,亠，.yxy平面应变问题的物理方程和平衡微分方程分别为1-k2xxy=xy=21"xyfOx泳yx-:yy£xy.xfyJ5在弹性体中取包含x面、y面和'面且厚度为已知直角坐标中的应力分量二x,-yxy，试求极坐标中的应力分量1的微小三角板，如图所示。设I、，=：，品。6在弹性体中取包含x面、y面和t面且厚度为1的微小三角板A、B，如图所示。设已知极坐标中的应力分量二厂；.：，.加，试求直角坐标中的应力分量二x,-yxy。0y7.对于三节点三角形单元，已知三个节点的坐标分别为xyj,Xj,yj,Xm，ym，三节点处的位移分别表示为q,Vj,

11、uj,vj,um,vm，且设定三角形单元中的位移函数为u=r亠很2x亠二3y,v=4亠二5x亠很6y。试导出三节点三角形单元的形函数矩阵。四、计算题32”，1. 试考虑下列平面问题的应变分量(；x=Axy,；y=By,xy=C-Dy)是否可能存在。22222. 在无体力情况下，应力分量(二x=Axy，二y二Bxy，“=Cxy)是否可能在弹性体中存在。3. 已知应力函数门=Ay2a2-x2-BxyCx2y2，试问此应力函数能否作为平面问题的应力函数。答：当A=0时，可以作为平面问题的应力函数。F22已知应力函数门二帝乂丫3h-4y，试问此应力函数能否作为平面问题的应力函数，如果能，请求解应力分量

12、。答：能。代入p57(2-24)如图所示梁受荷载作用，使用应力表达式求解其应力，-告(6x2y4y3),hcy-y'-CiyC2，hxy6qxy2Cix，h云+云"（1）平衡微分方程；'(13erdry+"=08ySjcJy分）分）(2)相容方程V2(+ztJ=0:(1分）（3）应力边界条件（在s=s0_h）0(1分）将应力分量代入平衡微分方程和相容方程，两者都能鴻足。(1在应力法中，应力分戢在单连体中必须满足:2、校核边界条件（1）在主要边界hIsIsy=土时，0=0，即"&4)=°（1分）吠T,即贾丄吠T,即贾丄KC1-+C2

13、=-?»由8辽2（2分）（1分）将Ci、C2代入后满足。»CnG代入式S得到应力公式:Cft）"-芽（3宀2歼听=丄-殳+2叮F22kh2）卩lhh2丿（1分）（2）弭将式0）代入次要边界条件Cl分）i6=紂卡f其主矢摄为i6=紂卡f其主矢摄为）券=0（2分）而主矩为E时七二詈（4善其主矢量为£（TM7>（2分）厲=-寻©3一4尸）,其主矢量为0,（1分）而主矩为（o-Jydy=-（-）C1分）由此可.见，在次要边界上的积分条件均能满足"囲此，式4是图示问麗之解设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力不计，fh，试用应

14、力函数门-Axy-By2-Cy3-Dxy3求解应力分量。y将d-Ary+ii/比人相容方祥龍隸満圮应力分址表达式a.=2B+Cy十6Dq，°,需Ot5fA+3»).<3)#«边界条件主柴边界y士川2匕应精鞘満足应力边界条件*(窈，$i±*/t=O*満足*f.V,="0A*-1C*K边界次=0上.只»dlT0力的主矢和主矩应用棗雉末BS理，用三+j*斟此福枳分的应力边界無件代琴，注惫工一o是负<叭打.宅4>=F叭/Xp/r5.打*<brHM1Jrq(5匚.川，=一片ATk/t由式<a)Xb)*f出得B轨得c

15、箫WAh=F-<b)理后个比蟹边界弟件©-Z匕人在呼衡微分方稈和卜述边界聚件均tli»足的条件下是必然欄足的徹不必再校檢.世人直为公式.猱7.梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。已知水的比重为AA'AB,BB的面力边界条件。7.梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。已知水的比重为AA'AB,BB的面力边界条件。，试写出墙体横截面边界【解】:左边界AAjh【解】:左边界AAjhyy上边界A/i右边界J5Myhyy'bjrx=b+yctgaJt=k¥ycigamayme+g=即8.楔形体在两侧作用有均布剪力q,如图所示。试求其应力分量。

16、提示：可采用应力函数:=r2Acos2vBsin2vCvD。yo1/KyX解(1)应力函数=2(cos2v>+Bsin2e+C°+D),进行求解山应力函数e得应力分量(II8|<7,=十=-2(Jcos2(p+Bsin2(pC©一D)|PPS<pI訂<er=2(Acos2?+Bsin2(fi*C(p-DM2s序a°。1?<pr、aa.ooa_广l丿一厶zioin厶攀toy.P&P小屮j(2)考察边界条件；根据对称性,得9丄2=0(a)5J小=q(b)y,2=o(c)(J)-a/2=P(d)由式(a)24cosa+2Bsina+

17、Ca+2£)=0(e)由式(b)得12Asina2Bco5aC二q(f)由式(c)得24cos«2Bsina-Cct+2D=0(g)由式(d)得-2Asina-28cosa-C=_q(h)式(e)m(g)>(h)联立求解，得/=-*A=C=O,n=-eata1fiina2将以上系数代入应力分呈，得cos2(pg严=_q(+cota)sinacos2<p2护=g(_血Q)sinasin2(pT-Clsina%本题的答案中a=p9.已知二x=axbycz，其他应力分量为o，求位移场。解；由本构关系可以得到r=-£一%M-乳-跖-弘3-3a-33-3=_一=

18、秒垃口(ax+by02)E由（10）的前三个方程分别对积分，得=如/+B&+K)+7iO，Z)E2.-=三（砂+扭2+如+必（兀Z）(axzbyz+E1Q-cz2)+/3(x,y)(10)(11)(13)将（11）、（12）代入（10）的第四个方程中，可得討警討畔。Ji匕方程的左边的1变址为".右边的白变空为M.尊式要恒成立见夏朮两边只隹自变鱼-的险瓠故可以令二E3才v02z),、苜吵-局(Z)Btfy将这曲个方程分别对2积分就存頁仇（為z）bx1+g（z）x+鸟/iOZ）4?诃g17*岛a将（14）代入到（10）的第瓦六个方程中.分f怖計題鶯"-壬屁_gqy+gd

19、+hj（3）-oQ'f'-02CX-g；(Z»*力;(2)-0EE"；："_g)_+訴_雄CO°；“"-*+g；(z)y+<»-h(.z)方面.对(15)求端导.对(16)求金导.得至l|为常数)(16)(17)另一方眄(15).(16)两等式的左边均只为“的国数从而要求等式的左边不能有含z的项.也凰足说(”®均为常辿)将上两式分别对Z积分后有理i)亍7垃？+生尹+G2E理i)亍7垃？+生尹+G2E(19)苴中均为常数。综合叹上两个方面的讨论，(15).(16)可以化简为和分就可決得到VX2小y+0尹_田2托+匚(20)将(、(19)代入到(14)的两个方程中，可以得到&22/i()=+斗吋-呼+6&22/i()=+斗吋-呼+6(21)、ra22严<22)<22)A(y=y+-+c11(3期+x2+vya)亠书z-遇