2016-2017届安徽省黄山市高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

1、2016-2017学年安徽省黄山市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1（5分）i为虚数单位，复数的虚部是（）A2iB2C2iD12（5分）设集合A=x|x30，B=y|y=2x，x1，2，则AB=（）AB（1，3）C2，3）D（1，43（5分）已知抛物线C：y2=2px的焦点与圆x2+y22x15=0的圆心重合，则抛物线C的方程是（）Ay2=2xBy2=2xCy2=4xDy2=4x4（5分）等差数列an的前n项的和为Sn，且a3与a2015是方程x210x+16=0的两根，则+a1009=

2、（）A10B15C20D405（5分）按照图如图所示的程序框图执行，若输出结果为s=31，则M处条件是（）Ak32？Bk32？Ck16？Dk16？6（5分）下列命题中真命题的个数是（）（1）有两个互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱（2）四棱锥的四个侧面可以是直角三角形（3）用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台（4）圆锥的轴截面是所有过圆锥顶点的截面中面积最大的A1B2C3D47（5分）将函数f（x）=3sin4x+cos4x图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的图象的一条对称轴方程是（）Ax=Bx=Cx=Dx=8

3、（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积是（）A36B24C12D69（5分）函数y=+（0x3）的最小值为（）A1BCD210（5分）数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibonacci（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，这个数列前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和，请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共8级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是（）A20B34C42D5511（5分）设双曲线=1（a0，b0）的右顶点为A，

4、右焦点为F（c，0），弦PQ过F且垂直于x轴，过点P、点Q分别作直线AQ、AP的垂线，两垂线交于点B，若B到直线PQ的距离小于2（a+c），则该双曲线离心率的取值范围是（）A（1，）B（，+）C（0，）D（2，）12（5分）已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=a（a为实数）根个数不可能为（）A2B3C4D5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）13（5分）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时间不多于10分钟的概率是14（5分）已知点M（2，2），点N（x，y）的坐标满足不等式组，则|MN|的取值范围是15（5

5、分）在RtABC中，ACB=90°，=，=2，则 =16（5分）已知定义在R上的函数满足f（x）+2f（x）0恒成立，且f（2）=（e为自然对数的底数），则不等式exf（x）e0的解集为三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.）17（12分）为了调查黄山市某校高中学生是否愿意在寒假期间参加志愿者活动，用简单随机抽样方法从该校调查了80人，结果如下：是否愿意提供志愿者服务性别愿意不愿意男生3010女生2020（1）若用分层抽样的方法在愿意参加志愿者活动的学生抽取5人，则应女生中抽取多少人？（2）在（1）中抽取出的5人中

6、任选2人，求“被选中的恰好是一男一女”的概率 P（K2k0） 0.025 0.010 k0 5.024 6.635注：k2=18（12分）已知ABC中，AC=2，BC=4，AB=2，且D是BC的中点（1）求AD的长；（2）如图，点P是以ACD为圆心角的劣弧AD上任意一点，求PA2+PD2的取值范围19（12分）如图1为正方形ABCD的边长为2，ACBD=O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=a，得到三棱锥ABCD（如图2）（1）点E在棱AB上，且AE=3EB，点F在棱AC上，且AF=2FC，求证：DF平面CED（2）当a为何值时，三棱锥ABCD的体积最大？并求出最大值20（12分）已知

7、椭圆E：=1（ab0）的左、右焦点分别为，点P是椭圆E上的一个动点，PF1F2的周长为6，且存在点P使得，PF1F为正三角形（1）求椭圆E的方程；（2）若A，B，C，D是椭圆E上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，且=0若AC的斜率为，求四边形ABCD的面积21（12分）已知函数f（x）=lnx（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：+ln（n+1）1+（nN*）选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数）以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为（1）求直线l的普通方程和圆心C的直角坐标；（2）求圆C上的点到直

8、线l距离的最小值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|xa|x+1|，且f（x）不恒为0（1）若f（x）为奇函数，求a值；（2）若当x1，2时，f（x）3恒成立，求实数a的取值范围2016-2017学年安徽省黄山市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1（5分）（2016秋黄山期末）i为虚数单位，复数的虚部是（）A2iB2C2iD1【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：=，复数的虚部是2故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的

9、基本概念，是基础题2（5分）（2016秋黄山期末）设集合A=x|x30，B=y|y=2x，x1，2，则AB=（）AB（1，3）C2，3）D（1，4【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：由A中不等式解得：x3，即A=（，3），由B中y=2x，x1，2，得到2y4，即B=2，4，则AB=2，3），故选：C【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键3（5分）（2016秋黄山期末）已知抛物线C：y2=2px的焦点与圆x2+y22x15=0的圆心重合，则抛物线C的方程是（）Ay2=2xBy2=2xCy2=4xDy2=4x【分

10、析】求出圆的圆心坐标，然后求解抛物线方程【解答】解：圆x2+y22x15=0的圆心（1，0），抛物线C：y2=2px的焦点与圆x2+y22x15=0的圆心重合，可得：p=2，所求抛物线方程为：y2=4x故选：C【点评】本题考查圆的方程的应用以及抛物线方程的求法，考查转化思想以及计算能力4（5分）（2016秋黄山期末）等差数列an的前n项的和为Sn，且a3与a2015是方程x210x+16=0的两根，则+a1009=（）A10B15C20D40【分析】a3与a2015是方程x210x+16=0的两根，a3+a2015=10=2a1009，再利用求和公式与性质即可得出【解答】解：a3与a2015是

11、方程x210x+16=0的两根，a3+a2015=10=2a1009，则+a1009=2a1009=10，故选：A【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5（5分）（2016秋黄山期末）按照图如图所示的程序框图执行，若输出结果为s=31，则M处条件是（）Ak32？Bk32？Ck16？Dk16？【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，输出结果为31，退出循环，即可得出结论【解答】解：由题意，k=1，S=0，S=S+k=1，k=2，S=3，k=4，S=7，k=8，S=15，k=16，S=31，k=

12、32，符合条件输出s=31，M处条件是k16？，故选D【点评】本题考查直到型循环结构程序框图运算，正确写出每次循环得到的k，S的值是解题的关键，属于基础题6（5分）（2016秋黄山期末）下列命题中真命题的个数是（）（1）有两个互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱（2）四棱锥的四个侧面可以是直角三角形（3）用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台（4）圆锥的轴截面是所有过圆锥顶点的截面中面积最大的A1B2C3D4【分析】（1），不符合棱柱的结构特征，可取一个简单的组合体说明错误，如下面是一个正三棱柱，上面是一个以正三棱柱上底面为底面的斜三棱柱；（2），在长方体ABCDA1B1C1D1

13、中四棱锥A1ABCD四个侧面可以是直角三角形；（3），用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台；（4），利用过圆锥顶点的截面中面积等于l2sin，其中为两条母线l的夹角，可以判断正误；【解答】解：对于（1），有两个互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体不符合棱柱的结构特征，可取一个简单的组合体说明错误，如下面是一个正三棱柱，上面是一个以正三棱柱上底面为底面的斜三棱柱故错；对于（2），在长方体ABCDA1B1C1D1中四棱锥A1ABCD四个侧面可以是直角三角形正确；对于（3），用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台，故错；对

14、于（4），过圆锥顶点的截面中面积等于l2sin，其中为两条母线l的夹角，若轴截面的顶角为锐角或直角，则锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个若轴截面的顶角为钝角，则当=时，过顶点的截面中面积最大，故错；故选：A【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了棱柱、棱锥、棱台的结构特征，是基础题7（5分）（2016秋黄山期末）将函数f（x）=3sin4x+cos4x图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的图象的一条对称轴方程是（）Ax=Bx=Cx=Dx=【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=2sin（4

15、x+），利用函数y=Asin（x+）的图象变换可求g（x）=2sin（2x），进而利用正弦函数的图象和性质即可得解【解答】解：f（x）=3sin4x+cos4x=2（sin4x+cos4x）=2sin（4x+），将函数f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数图象对应的解析式为：y=2sin（2x+），再向右平移个单位长度，得到函数图象对应的解析式为：g（x）=2sin2（x）+=2sin（2x），由2x=k+，kZ，解得：x=+，kZ，当k=0时，y=g（x）的图象的对称轴方程是x=故选：C【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数

16、的图象和性质的应用，考查了转化思想，属于基础题8（5分）（2016秋黄山期末）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积是（）A36B24C12D6【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体，也外接于球，它的对角线的长为球的直径：=，该三棱锥的外接球的表面积为：4××（）2=6，故选：D【点评】本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是

17、基础题9（5分）（2016秋黄山期末）函数y=+（0x3）的最小值为（）A1BCD2【分析】把函数解析式转化成（+）（x+3x）分解后利用基本不等式的形式求得函数的最小值【解答】解：0x3，3x0，y=+=（+）（x+3x）=（1+1+）（2+2）=，当且仅当x=取等号，故选：B【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题10（5分）（2016秋黄山期末）数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibonacci（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，这个数列前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和

18、，请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共8级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是（）A20B34C42D55【分析】从第1级开始递推，脚落到第1级只有从地上1种走法；第二级有两种可能，从地跨过第一级或从第一级直接迈上去；登上第3级，分两类，要么从第1级迈上来，要么从第2级迈上来，所以方法数是前两级的方法和；依此类推，以后的每一级的方法数都是前两级方法的和；直到8级，每一级的方法数都求出，因此得解【解答】解：递推：登上第1级：1种登上第2级：2种登上第3级：1+2=3种（前一步要么从第1级迈上来，要么从第2级迈上来）登上第4级：2+3=5种（前一步要

19、么从第2级迈上来，要么从第3级迈上来）登上第5级：3+5=8种登上第6级：5+8=13种登上第7级：8+13=21种登上第8级：13+21=34种，故选B【点评】本题考查了裴波那切数列的灵活应用，关键是先找到规律，然后递推出大数的情况11（5分）（2016秋黄山期末）设双曲线=1（a0，b0）的右顶点为A，右焦点为F（c，0），弦PQ过F且垂直于x轴，过点P、点Q分别作直线AQ、AP的垂线，两垂线交于点B，若B到直线PQ的距离小于2（a+c），则该双曲线离心率的取值范围是（）A（1，）B（，+）C（0，）D（2，）【分析】求出直线BQ的方程，令y=0，可得B的坐标，利用B到直线PQ的距离小于2

20、（a+c），得出a，c的关系，即可求出该双曲线离心率的取值范围【解答】解：由题意，B在x轴上，P（c，），Q（c，），kAQ=，kBP=，直线BQ的方程为y=（xc），令y=0，可得x=+c，B到直线PQ的距离小于2（a+c），2（a+c），ba，c，e，e1，1，故选A【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线方程的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题12（5分）（2016秋黄山期末）已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=a（a为实数）根个数不可能为（）A2B3C4D5【分析】判断f（x）的单调性，计算f（x）的极值，作出y=f（x）的函数图象，根据函数图象得出方程f（x）=

21、a的解的情况【解答】解：当x1时，f（x）为增函数，且f（0）=0；当x1时，f（x）=3x218x+24，令f（x）=3x218x+24=0，得x=2或x=4当1x2时，f（x）0，当2x4时，f（x）0，当x4时，f（x）0，当x=2时，f（x）取得极大值f（2）=4，当x=4时，f（x）取得极小值f（4）=0，作出y=f（x）的函数图象如图所示：由图象可知：当a1时，方程f（x）=a无解，当1a0或a4时，方程f（x）=a有1个解，当a=0或e1a4时，方程f（x）=a有3个解，当a=4时，方程f（x）=a有2个解，当0ae1时，方程f（x）=a有4个解故选D【点评】本题考查了函数单调性

22、的判断，函数零点的个数与函数图象的关系，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）13（5分）（2012浠水县校级模拟）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时间不多于10分钟的概率是【分析】由电台整点报时的时刻是任意的知这是一个几何概型，电台整点报时知事件总数包含的时间长度是60，而他等待的时间不多于10分钟的事件包含的时间长度是10，两值一比即可求出所求【解答】解：由题意知这是一个几何概型，电台整点报时，事件总数包含的时间长度是60，满足他等待的时间不多于10分钟的事件包含的时间长度是10，由几何概型公式得到P

23、=，故答案为：【点评】本题主要考查了几何概型，本题先要判断该概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于中档题14（5分）（2016秋黄山期末）已知点M（2，2），点N（x，y）的坐标满足不等式组，则|MN|的取值范围是【分析】先画出满足不等式组的平面区域，然后分析平面区域的形状，求出|MN|取最大值，最小值即可得到结果【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由图得，当点N（x，y）位于平面区域的原点时，|MN|取最大值2由图形可知M（2，2）到直线yx=2距离最小，此时|MN|=|MN|的取值范围，2故答案为：，2【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，

24、其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解15（5分）（2016秋黄山期末）在RtABC中，ACB=90°，=，=2，则 =0【分析】由已知画出图形，把转化为含有的式子求解【解答】解：如图，ACB=90°，=，=2，则 =故答案为：0【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题16（5分）（2016秋黄山期末）已知定义在R上的函数满足f（x）+2f（x）0恒成立，且f（2）=（e为自然对数的底数），则不等式exf（x）e0的解集为（2，+）【分析】令F（x）=f（x），从而求

25、导F（x），从而由导数求解不等式【解答】解：定义在R上的函数满足f（x）+2f（x）0恒成立，令F（x）=f（x），则F（x）=f（x）+2f（x）0，故F（x）是R上的单调增函数，而F（2）=e1f（2）=1，故不等式exf（x）（其中e为自然对数的底数）的解集为（2，+）；故答案为：（2，+）【点评】本题考查了导数的综合应用及利用函数求解不等式，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.）17（12分）（2016秋黄山期末）为了调查黄山市某校高中学生是否愿意在寒假期间参加志愿者活动，用简单随机抽样方法从该校调查了8

26、0人，结果如下：是否愿意提供志愿者服务性别愿意不愿意男生3010女生2020（1）若用分层抽样的方法在愿意参加志愿者活动的学生抽取5人，则应女生中抽取多少人？（2）在（1）中抽取出的5人中任选2人，求“被选中的恰好是一男一女”的概率 P（K2k0） 0.025 0.010 k0 5.024 6.635注：k2=【分析】（1）根据分层抽样的定义，写出抽样比，即可得到应从女生中抽取人数（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，本题解题的关键是利用排列组合写出所有事件的事件数，及满足条件的事件数，得到概率【解答】解：（1）用分层抽样的方法在愿意参加志愿者活动的学生抽取5人，抽样比为=，应从女生中抽取

27、20×=2人；（2）在（1）中抽取出的5人中任选2人，基本事件有C52=10种，其中恰好是一男一女的有6种，故所求概率是：=0.6【点评】本题考查分层抽样方法和等可能事件的概率，考查学生的计算能力，属于中档题18（12分）（2016秋黄山期末）已知ABC中，AC=2，BC=4，AB=2，且D是BC的中点（1）求AD的长；（2）如图，点P是以ACD为圆心角的劣弧AD上任意一点，求PA2+PD2的取值范围【分析】（1）在三角形ABC中，利用余弦定理求出cosACB的值，进而确定出ACB度数，在三角形ACD中求出AD的长即可；（2）设PA=m，PD=n，由题意求出APD度数，在三角形APD

28、中，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出mn的范围，进而确定出m2+n2的范围，即可确定出所求式子范围【解答】解：（1）ABC中，AC=2，BC=4，AB=2，且D是BC的中点，由余弦定理得：cosACB=，ACB=，又AC=CD=2，AD=2×2×sin=2；（2）连接AP，PD，如图所示，设PA=m，PD=n，由题意：APD=（2）=，则在APD中，m2+n2=12mn，又m2+n22mn，12mn2mn，解得：mn4，又mn0，0mn4，则8m2+n212【点评】此题考查了余弦定理，基本不等式的应用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键19（

29、12分）（2016秋黄山期末）如图1为正方形ABCD的边长为2，ACBD=O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=a，得到三棱锥ABCD（如图2）（1）点E在棱AB上，且AE=3EB，点F在棱AC上，且AF=2FC，求证：DF平面CED（2）当a为何值时，三棱锥ABCD的体积最大？并求出最大值【分析】（1）取AB的中点G，连接GF，GD，推导出GFEC，从而GF平面CEO推导出GDEO，从而GD平面CEO，进而平面GDF平面CEO，由此能证明DF平面CEO（2）推导出BD平面AOC，由=，能求出当a=2时，三棱锥的体积最大【解答】（本小题满分12分）证明：（1）取AB的中点G，连接GF，

30、GD，在AEC中，=，=，GFEC，又GF平面CEO，EC平面CEO，GF平面CEO在GBD中，E，O分别是BG，BD的中点，GDEO，又GD平面CEO，EO平面CEO，GD平面CEO，GFGD=G，GF，GD平面GDF，所以平面GDF平面CEO，DF平面GDF，DF平面CEO（6分）解：（2）AOBD，COBD，AOGO=O，BD平面AOC，=当时，三棱锥的体积最大为，（10分）此时，a2=OA2+OC2=2+2=4，解得a=2（12分）【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的灵活运用20（12分）（2016秋黄山期末）已知椭圆E：=1（ab0）的

31、左、右焦点分别为，点P是椭圆E上的一个动点，PF1F2的周长为6，且存在点P使得，PF1F为正三角形（1）求椭圆E的方程；（2）若A，B，C，D是椭圆E上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，且=0若AC的斜率为，求四边形ABCD的面积【分析】（1）由题意列关于a，c的方程组，求得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由已知向量等式可得ACBD，又，则分别写出AC、BD所在直线方程，联立直线方程与椭圆方程，可得|AC|、|BD|的值，代入四边形面积公式得答案【解答】解：（1）设c为椭圆的半焦距，依题意，有：，解得，b2=a2c2=3故椭圆E的方程为：（2）解：由=0ACBD，

32、又，则则AC：，BD：联立，得5x2+8x=0，x=0或x=，|AC|=联立，得13x2+8x32=0，|BD|=，故四边形ABCD面积为【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题21（12分）（2016秋黄山期末）已知函数f（x）=lnx（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：+ln（n+1）1+（nN*）【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）先证出+ln（n+1），构造函数g（x）=lnx（x1），（x1），再证出ln（n+1）1+，从而证出结论即可【解答】解：（1）f（x）=lnxa+，f（x）=，又x0，由f（x）0得：x1；由f（x）0得：0x1，故f（x）的增区间是：1，+）；减区间是：（0，1；（2）证明：由（1）可知：当a=1时，f（x）=lnx是1，+）上的增函数，当x1时，f（x）f（1）lnx0lnx，又当nN*时，=1+1，ln，ln，ln，ln，ln，将以上n个式子两边分别相加得：+ln（n+1），构造函数g（x）=lnx（x1），（x1），则g（x）=1=，x1，g（