教案微分中值定理

1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。、罗尔定理1.1.罗尔定理几何意义：对于在a,b上每一点都有不垂直于X轴的切线，且两端点的连线与X轴平行的不间断的曲线f(X)来说，至少存在一点 C C,使得其切线平行于x轴。从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马(FermatFermat)引理费马引理设函数f(X)在点x0的某邻域 U(xU(x0) )内有定义.并且在x0处可导如果对任意x U(x0)有 f f(X)(X)_f_f (x(xo)()(或 f(x)f(x) -f(x-f(xo).那么f (Xo) =0 . 3.1微

2、分中值定理教学重点罗尔定理、拉格朗日定理的应用。教学难点罗尔定理、拉格朗日定理的应用。基础课备课组教法选择教 学过教法运用及板书要点A A教学目的证明：不妨设X岂(X。)时，f(X)Wf(Xo)(若f(X)Kf(Xo)，可以类似地此表 2 2 学时填写一份，“教学过程”不足时可续页证明). .于是对于XgXU(Xg), ,有f(XgTX)乞f(Xg), ,从而当x 0时,f(Xox)f(Xo)；而当.X：O时,f(xf(x。x)_f(xx)_f(xo) )0；根据函数f(x)在 焉处可导及极限的保号性的得f (x0)= f *X0) )= = limlimf( +M+M) )_f(x)兰 0

3、02+Zxf(X。)= f g = limlim 哄 x)x) -哄)o o ,所以 fOfO，证毕. . 心一事定义 导数等于零的点称为函数的驻点( (或稳定点，临界点).).罗尔定理 如果函数f(x)满足：(1 1)在闭区间a,b上连续.(2 2)在开区间(a,b)内可导.(3 3)在区间端点处的函数值相等， 即f(a) = f(b).那么在(a,b)内 至少在一点(a :b).使得函数 f(x)f(x)在该点的导数等于零，即f()=0证明：由于f(x)在a,b|上连续，因此必有最大值M M 和最小值m，于是有两种可能的情形：(1)M =m，此时f(x)在a,b上必然取相同的数值 M M

4、即f(x)二M.由此得f (x)=0.因此，任取：(a,b)，有()=0.(2)Mm,由于f(a) = f(b)，所以 M M 和 m m 至少与一个不等于f (x)在区 间a,b端点处的函数值. .不妨设M =f(a)( (若m = f(a), ,可类似证明),),贝泌定 在(a,b)有一点使f()=M. .因此任取x a,b有f(x)_f(), ,从而由费马 引理有f)= 0. .证毕【例 1 1】 验证罗尔定理对 f(x)f(x) =x=x2 2-2x-2x -3-3 在区间-1,3-1,3上的正确性解显然f(X)二X - 2x - 3= (x -3)(X 1)在-1,3上连续，在(-1

5、,3)上可导，且f(-1) =f (3) =0, ,又f(x)=2(x-1), ,取=1,(1(-1,3), ,有f ( ) 0. .说明：1 1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足，其结论可能不成立；2 2使得定理成立的可能多于一个，也可能只有一个. .【例 2 2】 证明方程x5-5x 0有且仅有一个小于 1 1 的正实根. .证明：设f(x) =x55x+1, ,则f (X)在01上连续，且f(0=1,f(1) = 3由介值定理存在X)E(0,1)使f(x)=0, ,即X0为方程的小于 1 1 的正实根. .设另有X(O,1),X1=X。，使f(Xi)=O.因为f(x)在Xo,Xi之间满

6、足罗 尔定理的条件,所以至少存在一个-(在 X X0,X,X1之间)使得 f(f( =0.=0.但f (x) =5(x1)0,(x乏(0,1), ,矛盾，所以X0为方程的唯一实根. .在罗尔定理中，第三个条件为(iii)(iii)f (a)二f(b)，然而对一般的函数，此条不满足，现将该条件去掉，但仍保留前两个条件，这样，结论相应地要改变, 这就是拉格朗日中值定理：定理 2 2:若函数满足：朗日中值定理的一个特殊情况，因而用罗尔中值定理来证明之。巴f(b)-f(a)=0b af(b)-f(a)(x_a)显然，F(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，且f(b)-f(a)() r()F (a)

7、二f (a)(a - a)二f (a)b af(b)f(a)(b-arf(a)b - a、 拉格朗日(i)(i)f (X)在a,b上连续；(ii)(ii)f(x)在(a,b)上可导;则在(a,b)内至少存在一点，使得f()二f(b) -f(a)b -a即 f(b)-f(b)- f(a)=f(a)=f f 致)(b)(b - - a)a)若此时，还有f(a)二f(b),f ( H 0。可见罗尔中值定理是 拉格证明：上式又可写为作一个辅助函数：F (x) = f (x)-b aF(b)二f(b)-(1(1) )=F(a)二F(b)，所以由罗尔中值定理，在(a,b)内至少存在一点, ,使得F ( )

8、=0。又F (x)二f (X)-f (b) - f(a)b - af()_f(b)-f(a)=o或b -a注 1 1 :拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广;2 2:定理中的结论，可以写成f (b) _ f (a) = f)(b - a) (a : b),此式也称为拉格朗日公式，其中可写成:二a v(b a) (01)=f (b) - f (a) = f (a v(b -a)(b -a)若令b = a h, = f (a h)一f (a) = f (a vh)h3 3：若a b，定理中的条件相应地改为：f(x)在b,a上连续，在(b,a)内可导，则结论为：f(a) - f (b) = f)(a

9、 -b)也可写成f(b) - f (a)二f ( )(b -a)可见，不论a,b哪个大，其 拉格朗日公式总是一样的。这时， 为介于a,b之 间的一个数，(4)(4)中的h不论正负，只要f (x)满足条件，(4)(4)就成立。4 4 :设在点X处有一个增量-X，得到点X -X，在以X和X LX为端点的 区间上应用拉格朗日中值定理，有f(X：=X)- f(X)二f(X n：x) ：X (0：: v : 1)即Ay = f (x Mx)这准确地表达了7和.x这两个增量间的关系，故该定理又称为微分中值定理。5 5：几何意义：如果曲线y = f (x)在除端点外的每一点都有不平行于y轴的切线，则曲线上至

10、少存在一点，该点的切线平行于两端点的连线。由定理还可得到下列结论：推论 1 1:如果y = f (x)在区间I上的导数恒为 0 0,则f (x)在I上是一个常数。证明：在I中任取两点 知x2(x(：x2),y =f (x)在X!, x2连续，在(xX2)可导，由拉格朗日中值定理，则在(xX2)内至少存在一点，使得f(X2)- f(X1)= f ( )(X2-Xj()=f(b)-f(a)。b -a由假设可知在I上，f (x)三0,从而在(X1, X2)上，f (x)三0,由于f(x)=f(0)=0，f(x)=1+ln(1 + x) - Ln 1ln(1 + x)即-又由于0 x x 1+ x所以

11、ln(1 + x)1即x In (1 + x) x1 + x注：(1 1)构造辅助函数f(x)；( 2 2)正三、柯西中值定理定理 3 3:若f(x), F(x)满足:(1)(1)在a,b上连续；(2)(2)在(a,b)内可导；(3)(3)-x (a,b) F (x) = 0f ( ) _ f(b)- f(a)则在(a,b)内至少存在一点 ，使得F()(b)-F(a)。证明：令(x) =f(b)f (a)F(x)- f(x)，显然，(x)在a,b上连续,F(b) F(a)且(x)在(a,b)内可导，更进一步还有：(a)二(b)，事实上,W = fF(b)-f(b)fF(a)+f(a)=HS(F

12、-F(a)-(f(b)-f(a)=0所以;：(x)满足罗尔定理的条件，故在(a,b)内至少存在一点，使得所以f (x) f(Xo)=0=f(x) = f(x)，可见，f(x)在I上的每一点都有：f(x) = f(X0)(常数)。证：设f(x) = ln(1 + x),显然f(x)在0 0 , X X上满足拉格朗日中值定理x? (0,x)使f(x)- f(0)= f &)x - 0 x【例3】证明当0时亍 ln(1 + x) x. .条件，故至少存在一点( )=0 ,又A(x) =f(b)-f(a)卩(x)_(x)二f (b)-f(a)F牡)_ f()=0因为F(b) _F(a)F(b)

13、 _F(a)f ( ) _ f(b) - f(a)F(厂F(b) -F(a)注 1 1 :柯西中值定理 是拉格朗日中值定理的推广，事实上，令F(x) =x，就得到拉格朗日中值定理;X =f (x)(a兰x兰b)表示曲线c，则其几何意Y=F (x)义同前一个。【例 4 4】 证明arcsin x - arccosx(-1 _x_ 1)。21 1证：令f(x) = arcs in x arccosx，f (x)0，胡口心x23T3T由推论知 f(x)=f(x)=常数！再由f(0)，故arcsinx arccosx = 22【例 5 5】若方程a0 xn aixn亠 亠anx=0有一个正根x = x0，证明方程