微积分初步辅导二

1、微积分初步单元辅导二导数与微分部分学习重难点解析(一)关于导数的概念函数的导数是一个增量之比的极限，即f (x) = lim limf(X，x) - f (x)u0=x g0-X我们把卫称为函数的平均变化率，把lim卫称为变化率，若limy存在则可导，否则不可xIZX Z导 导数是由极限定义的，故有左导数和右导数 f(x)在点xo处可导必有函数f(x)在点xo处左右导数都存在且相等 (二)导数、微分和连续的关系由微分的定义dy = f (x)dx可知(1)(1) 函数的可导与可微是等价的，即函数可导一定可微；反之可微一定可导(2)(2) 计算函数f(x)的微分dy，只要计算出函数的导数f(x)

2、再乘上自变量的微分dx即可；因此，我们可以将微分的计算与导数的计算归为同一类运算(3)(3) 由定理可知，连续是可导的必要条件，那么，函数可微也一定连续. .反之不然，即连续函数不一定是可导或可微函数. .(三)导数的几何意义由切线问题分析可知，函数y二f(x)在点X。处的导数就是曲线y二f(x)在点(X。，f (x。)处切线的斜率。于是，y二f(x)在点(xo，yo)处的切线方程为(四)关于导数的计算掌握导数的计算首先要熟记导数基本公式和求导法则. .在我们这门课程中所学习的求导法则和方法有：(1)(1) 导数的四则运算法则；(2)(2)复合函数求导法则；(3)(3)隐函数求导方法. .对于

3、上述法则和方法在实用中要注意其成立的条件 在导数的四则运算法则中，应该注意乘法法则和除法法则，注意它们的构成形式并注意11解题的技巧 例如，yX，求厂心.这是一个分式求二阶导数的问题，形式上应该用导数的除法法则求解，但是，如果将函数变形为y x再求导数就应该用导数的加法法则了 假如我们掌握了一些解题的技巧，会使我们的运算变得简单还会减少错误复合函数求导数是学习的重点也是难点，它的困难之处在于对函数的复合过程的分解. .由复合函数求导法则知，复合函数y二f(u),u二(X)的导数为：y f (u) (x)在求导时将y二f(:(x)分解为y二f (u), (x)(其中u为中间变量) )，然后分别对

4、中间变量和自变量求导再相乘 那么如何进行分解就是解题的关键，一般的说，所设的中间变量应是基本初等函数或基本初等函数的四则运算，这样就会对于y二f(u),u二(x)分别都要有导数公式或法则可求导. .如果分解后找不到求导公式，则说明分解有误. .例如函数y二sin$. x，时会发现没有导数公式可以来求yu 隐函数的特点是变量y与x的函数关系隐藏在方程中，例如y =1 xsin y，其中的sin y不 但是y的函数，还是x的复合函数. .所以对于sin y求导数时应该用复合函数求导法则，先对y的函数sin y求导得cosy，再乘以y对x的导数由于y对x的函数关系不能直接写出来， 故而只能把y对x的

5、导数写为yl一般地说，隐函数求导数分为下列两步：yx= 2sin . x cos、:x =一sin2A/x. .有一种错误的分解是y = sin2u,u = (x，这样在求导2jx 2jx其分解为y二u u二sinv,v = x. .于是分别求导为,yu二2u,uv二cosv，1v；= 尸. .相乘得到2( x111方程两边对自变量x求导，视y为中间变量，求导后得到一个关于y的一次方程;2解方程，求出y对x的导数y. .总之，导数公式和求导法则是要靠练习来熟悉和理解的，我们应该通过练习掌握方法并从中获得技巧 微积分初步学习辅导导数与微分部分典型例题例 1 1 求下列函数的导数或微分：设y=x+

6、3x+Iog3x逅，求y.；设y=寻|，求dyxsin x(3)(3)设y，求y (). .1 cosx3分析 这三个函数都是由基本初等函数经过四则运算得到的初等函数，求导或求微分时,需要用到导数基本公式和导数的四则运算法则 对于(1)(1)先用导数的加法法则，再用导数基本公式；对于 ，可以先用导数除法法则，再用基本公式；但注意到 (2)(2)中函数的特点,=x -2x3，则可用导数的加法法则求导，得到函数的导数后Jxdx，得到函数的微分；对于(3)(3)用导数除法法则，再用基本公式(1)(1)y =(X33xlog3x-33)= =(x3)(3x)(log3x) -(33)因为汀早仝一2x所

7、以y =(x3) 2(x刍身4x待，33在运用导数的四则运算法则应注意: 在求导或求微分运算中，一般是先用法则，再用基本公式;3解题时应先观察函数，看看能否对函数进行变形或化简，在运算中尽可能的避免使先将函数进行整理,再乘以3x1 23xIn3-0=3x23xIn3xln 3于是2(1 cosx)(1 cosx)2(1 cosx)21cosx所以y ()= =131 +COSXx2把根式qxp写成幂次Pxq的形式，这样便于使用公式且减少出错;用导数的除法法则 如例 1 1 中的小题，将yx二2变形为y = x二2=X 2X3后再求导3232x、X数，这种解法比直接用除法法则求解要简便且不易出错

8、4导数的乘法和除法法则与极限相应的法则不同，运算也相对复杂得多，计算时要细心.例 2 2 求下列函数的导数或微分：、sinlJ- - 设y =ex，求dy. . ； (2)(2)设y = ln(x-试1 x )，求y C、3). . (3)(3)设y=(邛)10，求y. .x +1分析 采用复合函数求导法则，所设的中间变量应是基本初等函数或基本初等函数的四则运算. .求导时，依照函数的复合层次由最外层起，向内一层层地对中间变量求导，直至对自变量求导为止. .解(1)(1)设y = e ,u = sin v,v=丄，利用复合函数求导法则，有x1 1si n_11si n_11代回还原得y =ex

9、cos (2)，dy = y dx = excos(2)dxx xx x在基本掌握复合函数求导法则后，也可以不写出中间变量，如下解法：(2)(2)设y =1 n u,u = x -一v,v = x2 1，利用复合函数求导法则，有121 12或着严xnT-LrTx-k(1)设y二u10,U二仝,v =X2，1，利用复合函数求导法则和导数的四则运算法则有,v例 3 3 求下列方程所确定的隐函数的导数y或微分dy:(1)(1)x2y2xy = 0，求dy；(2)(2)exyy ln x二cos2x，求y. .代回还原得代回还原X21 -2x2_ 10 x9(1 -X2)(X21)2一(X21)11或

10、着y =10( )9x +1(七X 17)9X21- x 2x(X21X - I X21y ( 3)二分析 隐函数的特点是：因变量y与自变量x的对应关系是隐藏在方程中的. .因此，在求导数时，不要忘记y是x的函数，在对y的函数求导后切记再乘以y对x的导数y. .依隐函数求导数的步骤求导. .解(1)(1)方法 1 1由导数得到微分 方程两边对自变量x求导，视y为中间变量，有2x 2yy (y xy) = 0，即卩(x 2y)y = _(y 2x)整理方程，解出y，得：y-*空，dy二ydx丄dx x+2y x+2y方法 2 2方程两边对变量求微分， 这时变量y和x的地位是相同的，即不再将y看作

11、x的函数. .2 2d(x y xy) =0，2xdx 2ydy ydx xdy = 0(2)(2) 方程两边对自变量x求导，视y为中间变量，有于是(xexyIn x)y =-2sin 2 - - yexyx整理方程解出y，得：2sin2x+f +y驟2xsin2x+y + yxe八xexyInxx2exyxl nx例 4 4 求由曲线x2xyy 4在点M (2,-2)的切线方程分析如果函数y二f(x)可导，函数曲线在点xo处的切线方程为因此求曲线在某点处的切线方程，必须知道两点：曲线在点xo处的导数f (xo)；切点(xo,y). .此题中，切点M(2,-2)已知，只需对隐函数方程求导数，求

12、出f (xo). .解 方程两边对x求导，得：2x y x 2y = o于是，在点M(2,-2)的切线方程为：y-(-2)=1 (x-2)，即y = x-4请注意：求曲线的切线方程是导数概念的一个重要应用，一般地,dy= =y 2xx 2ydx解出y，得，七xz21鸟_2在题目中只给出切线(3(3)找出在定义域内的所有导数不存在的点;方程的两个要点中的一个， 另一个是要根据已知条件求出来的 再则，如果已知条件中只给 了切点的横坐标X。，那么纵坐标yo可以通过yo= f(x。)得到. .例 5 5 求函数y Vxlnx的二阶导数. .分析 函数的二阶导数为函数一阶导数的导数.(.(如果仍然可导)

13、.).二1lnx”匚1(1lnx 1)2.xx x 2微积分初步学习辅导导数的应用部分学习辅导一、学习重、难点解析(一)函数的单调性与极值：函数的单调性判别法，函数极值及其求法了解驻点、极值点、极值等概念。了解可导函数极值存在的必要条件。知 道极值点与驻点的区别与联系。掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点(包括判别)的方法。1.1.函数单调性的判别方法：求函数的单调区间的步骤为：(1)确定函数的定义域；(2)求出函数在其定义域内 的点和导数不存在的点，这些点把定义域分成若干子区间；(3)确定在每个子区间内的符号：一般在该区间内任取一点，求出的符号，由于在该区间内有单调性，故的符号就是在该

14、区间内的符号. .(4)根据每个子区间内 的符号，确定的单调增减性，得到的单调区间 2.2. 函数极值的求法： 求函数极值的步骤为：解因为所以y汕nx 12、22Jx32In x. .(3(3)找出在定义域内的所有导数不存在的点;(1)确定函数的定义域，并求 的导数 ；(2)解方程，求出 在定义域内的所有驻点；(4)讨论在驻点和不可导点的左、 右两侧附近符号变化情况， 确定函数的极值点(二)最大值、最小值问题掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为 主。函数最值得求法：求函数最值的步骤为：(1) 求函数的一阶导数，确定函数在指定区间的内的驻点和不可导点；(2) 求出所给区

15、间上所有驻点、不可导点及边界点的函数值进行比较；(3)上述驻点、不可导点及边界点的函数值中最大者为最大值，最小者为最小值. .二、典型例题例 1 1 在指定区间1010，1010内，函数y二()是单调增加的。A.A.sinxB.B.eC.C.x2D.D.ln(x 20)解这个题目主要考察同学们对基本初等函数图形的掌握情况。因它们都是比较简单 的函数，从图形上就比较容易看出它们的单调性。A A 中sinx是正弦函数，它的图形在指定区间1010，1010内是波浪形的，因此不是单调增 加函数。B B 中e是指数函数，( (e)1 e“011 或f( (x) ) f(1)(1)，所以点x= = 1 1

16、 是函数f(x)=|x1+2的最小值点。应该填写1 1例 4 4 应用题x 1 1 时,圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为I，问当底半径与高分别为多少时,圆柱体的体积最大？求曲线y2二X上的点，使其到点A(3,0)的距离最短解：如图所示，圆柱体高h与底半径r满足h2r2圆柱体的体积公式为V=：r2h将r2=l2-h2代入得V K(l2-h2)h求导得V = :(-2h2(I2-h2)=二(I2-3h2)令八0得h牛1，并由此解出r哼。即当底半径r讨1，高h诗时,圆柱体的体积最大。曲线y2=X上的点到点A(3, 0)的距离公式为d=1(x-3)2y2d与d2在同一点取到最大值，为计算方便求d2的最大值点，将y2二x代入得求导得令()7得x=5。并由此解出 V，即曲线y2=x上的点(汁)和点(舟点A(3, 0)的距离最短例 5 5 证明题证明函数f(x)二