第8章_采样控制系统2

1、1、线性离散系统的分析方法，2、讨论信号的采样和保持的数学描述，3、介绍Z变换理论和方法以及数学模型的离散 化。然后介绍脉冲传递函数。4、介绍线性离散系统性能分析，包括系统的稳 定性、稳态特性、动态特性。本章主要讲述 图图8-1计算机控制系统原理图计算机控制系统原理图 如图8-1所示，它的输入信号是一个数字序列，如数字仿真系统。由于被控量是一个物理量，而计算机只能处理数字的离散信号，因此采用模数转换器（A/D）将连续信号转换为离散信号（数字量）送给计算机，计算机按某种控制算法进行计算，输出的控制量为数字信号，然后再经过数模转换器（D/A）将离散信号转换为连续的模拟量来控制被控对象。 采样控制系

2、统包括了采样数字信号和数字信号，如图8-2所示。将计算机控制系统中的A/D换成采样开关，D/A换成保持器，那么计算机控制系统则变成了采样控制系统。 图图8-2 采样控制系统采样控制系统 采样过程：按一定的时间间隔对连续信号进行 采样 ，将其转换为相应的脉冲序列的 过程称为采样过程。采样器 ：把连续信号变为脉冲序列或数字序列 的装置称为采样器，又称采样开关。 采样开关的采样过程可以用一个周期闭合的开关K来表示，如图8-3所示。t e(t) K es(t) （a）采样 （b）连续输入信号 （c）实际采样的输出 （d）理想采样器的输出 图图8-3模拟信号的采样过程模拟信号的采样过程采样过程可以看成是

3、一个脉冲幅值调制过程。理想的采样开关相当于一个单位理想脉冲序列发生器，它能够产生一系列单位脉冲。单位脉冲序列的数学表达式为：( )()TnttnT (8-1)式中：T为采样周期，n为整数；它由周期为 的一系列宽度为零、幅值为无穷大、而面积为1的单位理想脉冲所组成（图8-4所示）。 T图图8-4 单位脉冲序列单位脉冲序列因此，单位脉冲序列 可以看成是脉冲调制器的载波信号如图8-5所示。( )Tt 图图8-5 8-5 采样信号的调制过程采样信号的调制过程 理想的采样过程可以看成是单位理想脉冲序列发生器的脉冲对输入信号 的调制过程，理想的采样器就像一个载波为 的幅值调制器。( )et( )Tt图8-

4、6（b）是理想脉冲发生器的脉冲序列( )Tt图8-6（c）是理想采样器的输出*( )et (a) (b) (c) 图图8-6 8-6 理想的采样过程理想的采样过程 ()et图8-6（a）所示的是输入的连续信号 。二、采样过程的数学描述二、采样过程的数学描述 10()00ttt (8-2) 理想的采样开关相当于一个单位理想脉冲序列发生器。单位脉冲函数的定义单位脉冲函数的定义：对函数进行积分： 函数与其它函数的关系：( ) t (8-3) ( )d1tt( ) t (8-4) ( ) ( )d(0)t e tte 函数的一个重要特性就是筛选性：函数的一个重要特性就是筛选性： ( ) t (8-5)

5、00( ) ()d( )e tttte t由此可见：用单位脉冲函数去乘以某一函数并对其进行积分，其结果等于脉冲所在处的该函数的值。移动脉冲所在处的位置，就可以筛选所需时刻上的函数值。脉冲调制器的输出信号可以表示为输入信号 与调制信号 的乘积：( )e tT (8-6) *( )( )( )Tete tt其中理想的单位脉冲序列其中理想的单位脉冲序列可以表示为：可以表示为：( )Tt(8-7) ( )()TttnT实际的控制系统中，当 时， ，所以式(8-7)求和下限变为零后代入式（8-6）中得到： 0t ( )0e t (8-8)0*( )( )()nete ttnT 的数值仅在采样瞬时才有意义

6、，所以式(8-8)又可以表示为： *( )et(8-9) 0*( )() ()(0) ( )( ) ()(2 ) (2 )ete nTtnTete Tt Te TtT对采样信号的拉氏变换：(8-10) 0*( )L *( )L() ()nESete nTtnT根据拉氏变换的位移定理：(8-11) 0L ()e( )edenTsstnTstnTtt可见，只要已知连续信号 采样后的采样函数 的值，即可求出 的拉氏变换 ( )e t*( )et()e nT*( )E s(8-12)0*( )()enTsnESe nT解：因为：则： 例例8-1 设采样器的输入信号为( )1( )e tt试求采样器输出

7、信号的拉氏变换。 *( )et( )1( )e tt()1()1(0,1,2,3.)e nTnTn由式（8-12）可得： 200*( )()ee1eenTsnTsTsTsnnEse nT 由等比级数的求和公式可得：*1e( )(e1)1 ee1TsTsTsTsEs三、采样定理三、采样定理 研究采样信号的特性，需讨论其频谱展开。 根据傅氏级数展开，周期性的理想单位脉冲序列可以展开为：(8-13) j0( )()esntTnnnttnTC式中： 为采样周期，为采样角频率；Ts2T (8-14) /2j/211( )edtTntnTTCttTT(8-15)j1( )esntTntT理想单位脉冲序列的

8、傅氏级数为：( )Tt将式（8-15）代入式（8-9）可得： (8-16)j1*( )( )( )() ()( )esntTnnete tte nTtnTe tT拉氏变换： (8-17) 1*( )(j)snEsE snT式（8-17）表明，采样函数的拉氏变换式 是以 为周期的周期函数。 *( )Ess通常 的全部极点位于s平面的左半部，因此可用代替上式中的复变量，直接求得： *( )Essj (8-18) 1*(j )(jj)snEEnT为采样信号的频谱函数。 其中： 是连续信号 的频谱 (j )E ( )e t是采样信号 的频谱*(j )E*( )et对于采样信号来说，当时 ，采样信号为主

9、频谱： max0n （8-19） 1(j )ET一般来说，连续信号 的频谱 是单一的连续频谱，其频带宽是有限的，上限频率为有限值 如图8-7(b)所示。 (j )E( )e tmax(a)连续信号连续信号 （b）连续信号的频谱）连续信号的频谱（c）采样信号）采样信号 图图8-78-7连续信号和采样信号的频谱连续信号和采样信号的频谱 图图8-78-7连续信号和采样信号的频谱连续信号和采样信号的频谱 （d）采样信号的频谱采样信号的频谱 2smax（e） 采样信号的频谱采样信号的频谱 2max 当 ，相邻两频谱彼此不重叠，如图8-7(d)所示。2smax当 频谱会出现重叠，如图8-7（e）所示。 2

10、smax如果采用一个理想的低通滤波器如图8-8所示，可将 的高频频谱全部滤掉。 2smax图图8-8理想滤波器的频率特性理想滤波器的频率特性 香农采样定理：香农采样定理：的连续信号 采样，采样角频率为 ， 当 ，采样信号 才能无失真的地复现原连续信号 。 ( )e ts( )e t*( )et2smax对有限频谱maxmax四、采样保持四、采样保持 为了使得采样信号可以完全复现原连续信号，也需要除去高频信号。因此将采样后的信号经过一个理想的低通滤波器，从理想的低通滤波器的输出端便可以得到主频频谱，只是幅值变化了 倍，频谱形状并没有发生畸变。理想的低通滤波器实际上并不存在，工程上只能用特性接近理

11、想低通滤波器的保持器来代替。 1/T图图8-9 8-9 保持器保持器 零阶保持器：零阶保持器： 零阶保持器是一种按常值规律外推的保持器。它把前一时刻 的采样值 不增不减地保持到下一个采样时刻 。到来时，应换成新的采样值 继续外推。 (1)nT(1) e nTnT()e nT(1)nT(a)(a)采样信号采样信号 （b）零阶保持）零阶保持图图8-10 8-10 零阶保持器零阶保持器 零阶保持器可以实现采样点的常值外推，它的输出是一个高度为，宽度为的方波，如图8-11所示，零阶保持器的输出相当于一个幅值为的阶跃函数和滞后时间的反向阶跃函数之差，即： )()(tAte)()()(TtAutAuteh

12、零阶保持器的传递函数为：零阶保持器的传递函数为： sAsAsA)t ( e)t (e)s(GTsTshe1e11LL0令，令， 可得到零阶保持器的频率特性为：可得到零阶保持器的频率特性为： sj)Tsin(ee)(GTTTTT221j2e2eje1j2j2j2j2jj02j22TeTTsinT零阶保持器具有如下特性： 低通特性 相角滞后特性 时间滞后特性 零阶保持器使主频信号的幅值提高了 倍，刚 好 能补偿连续信号经过采样后使得主频谱的幅值衰 减的 倍。 T1T图图8-11 8-11 零阶保持器的频率特性零阶保持器的频率特性 用线性差分方程描述，用Z变换的方法分析系统的性能 。 Z变换在采样系

13、统中的作用与拉氏变换在连续变换在采样系统中的作用与拉氏变换在连续系统中的作用是等效的系统中的作用是等效的。 一、一、Z变换的定义变换的定义 连续函数 的拉氏变换为： ( )e t（8-20） 0( )L ( )( )edstE se te tt采样信号 ，其表达式为： *( )et （8-21） 0*( )() ()nete nTtnT采样信号的拉氏变换为：（8-22） 00000*( )*( )ed() ()ed()()edststnstnEsette nTtnTte nTtnTt根据脉冲函数 的筛选性： ( ) t （8-23） 0() ( )d()tnT e tte nT（8-24）0e

14、()destsnTtnTt则有：因此式（8-22）的采样的拉氏变换为：（8-25）0*( )()esnTnEse nT（8-26），令： 相应地：上式中含有指数因子为 ，为 的超越函数，为运算方便引入变量 esnTszesTz 1lnszT（8-25）0*( )()esnTnEse nT（8-25）0*( )()esnTnEse nT1ln0*( )()nszTnEse nT z（8-27）也是一个复自变量， 为采样周期。将式 代入式（8-25）中，得到采样信号 式中： 为复自变量，所以 的拉氏变换为： szT*( )etesTz 通常就把式（8-27）定义为 的 变换： *( )etz0(

15、) *( )*( )()nnE zZ etEse nT z注意：注意：2、采样函数 所对应的 变换是唯一的，反之亦然。 但是一个采样函数 所对应 的连续函数却不是唯一的， 而是有无穷多个，如图8-12所示。 *( )e tz*( )et 图图8-128-12离散函数所对应的连续函数离散函数所对应的连续函数 1、实际上是采样信号 的 变换，而不是连的 变换。 *( )etzz( )e t( )E z续函数 二、二、Z变换的方法变换的方法 (1)级数求和法：级数求和法：（8-28） 120( )()(0)( )(2 )()nknE ze nT zee T zeT ze nT z 级数求和法是直接根

16、据 Z变换的定义，将采样函数的 变换写成展开式的形式： Z例例8-3 求单位阶跃函数的 Z变换 解：单位阶跃函数为： 代入式（8-28）得到：( )1( )e tt1200( )()11nnnnnE ze nT zzzzz 11( )11zE zzz若 则上式的无穷等比级数是收敛的11z(2)部分分式法部分分式法当连续函数 可以表示为指数函数之和，如： ( )e t 可表示为部分分式的形式： 或连续函数 的拉氏变换 ( )e t( )E s（8-30） 3121123( )niiiAAAAE sspspspsp（8-29） 312123( )eeep tp tp te tAAA则连续函数 的

17、Z变换可以根据指数函数的Z变换： ( )e t（8-31） eeataTzZz可得：（8-32） 1( )einipTiAE zz例例8-7 求 的 Z变换 1( )(1)E ss s解：将 展开成部分分式的形式： ( )E s11( )1E sss根据阶跃函数和指数函数的 Z变换，得到： 2(1)(1)( )1(1)()(1)TTTTTTzzzezeE zzzezzezeze三、三、Z变换的基本定理变换的基本定理（1）线性定理）线性定理 如果连续信号和的 Z变换分别为：1( )e t2( )e t11 ( )( )Z e tE z22( )( )Z e tE z且 均为常数，则有： , a

18、b （8-33）1212( )( )( )( )Z ae tbe taE zbEzZ变换的线性定理表明：连续信号线性组合的Z变换等于单独信号Z 变换的线性组合。满足线性变换的齐次性。（2）滞后定理）滞后定理 滞后定理又称负偏移定理。是指整个采样序列在时间轴上向右平移若干采样周期。设连续函数 ，当 时， ，且： ，那么滞后 个采样周期的函数为： ， 则其 Z变换： ( )e t0t ( )0e t ( )( )Z e tE zk()e tkT（8-34） ()( )kZ e tkTzE z（3）超前定理）超前定理超前定理可表示为： （8-35） ()( )kZ e tkTz E z（4）复数偏移

19、定理）复数偏移定理 设连续函数为 ，且 ，则： ( )e t ( )( )Z e tE z（8-36） ( )e( e)ataTZ e tE z（5）初值定理）初值定理 （8-37） (0)lim( )zeE z（6）终值定理）终值定理 111( )lim ()lim(1) ( )lim(1) ( )nzzee nTzE zzE z （8-38） （7）卷积定理）卷积定理1、对线性连续系统 ：（8-39）2、对离散系统 ：12120( )( )() ( )dte te te t e （8-40） 1212120*( )*( )()()( )( )knZ etetZe nT e kTnTE z

20、E z四、四、Z反变换反变换 与拉氏反变换类似，Z反换可表示为： 注意： 1、Z变换仅仅描述了采样时刻的特性，不包含采 样时刻之间的信息 1()Z ( )e nTE z2、Z反变换实质上求出的是 或 ，而不是连续函数 。 ( )e t*( )et()e nTZ反变换有三种方法： （1）长除法：）长除法： 根据 Z变换的定义： 120( )()(0)( )(2 )nnE ze nT zee T zeT z10112120( )mmmnnnb zb zbE znmza za za120120( )nnnnnE zcc zc zc zc z应用长除法：应用长除法： 0120()( )()(2 )()

21、()nnne nTctctTctTctnTctnT 用长除法求Z反变换。 解： 例例8-9 已知 为： ( )E z(1)( )(1)()aTaTezE zzze2(1)(1)( )(1)()(1)aTaTaTaTaTezezE zzzezzee用长除法：即分子多项式除以分母多项式： 221212212231223132(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1(1)(1)(1)(1aTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTzzeeezezeeezeeezeeezeezezeezezeeze1223333(1)(1)

22、(1)aTaTaTaTezezezez 展开式为： 其中： 采样函数为： 122330( )0(1 e)(1 e)(1 e)(1 e)aTaTaTnaTnnE zzzzz()(1 e)naTe nT0*( )(1 e) ()nTnettnT(2)部分分式法部分分式法: 该方法的基本思想就是已知 ，由于 在分子中都有因子 z，因此将 进行部分分式展开： 1212( )nnaaaE zzzzz( )E z( )E z上式两边同乘z，得到 的部分分式展开的期望形式： ( )E z( )E zz1212( )nnzazazaE zzzz然后查表，求出采样瞬时相应的脉冲序列表达式：1()Z ( )e n

23、TE z对应的采样函数为： （8-41）0*( )() ()nete nTtnT 用部分分式法求 Z反变换。 解：因为： 所以： 例例8-10 已知 为： ( )E z(1 e)( )(1)(e)aTaTzE zzz( )(1 e)11(1)(e)1eaTaTaTE zzzzzz( )1eaTzzE zzz然后查 变换表得到采样瞬时相应的脉冲序列： z()1 eanTe nT 采样函数为： 0*( )(1 e) ()anTnettnT8.4.1微分方程的离散化微分方程的离散化微分方程的离散化微分方程的离散化 差分方程差分方程 线性系统：输入输出之间用线性常微分方程描述。线性离散系统：输入输出之

24、间用线性常系数差分方程 描述。差分:所谓差分是指两个采样信息之间的差值称为差分。 而在实际应用中，常常采用数学中的微商来代替 差分。 一阶微分方程的离散化： 1d( )( )dyTy tkx tt （8-42） 近似差分为: d(1)( )dyy ky ktT（8-43）将式（8-43）代入式（8-42）中： 1(1)( )( )( )y ky kTy kkx kT经整理得到： (1)( )( )y kay kbx k其中： 111,TTkTabTT用近似差分： d(1)( )dyy ky ktT（8-45）22dd(1)( )1(2)(1)(1)( )dd(2)2 (1)( )yy ky k

25、y ky ky ky kttTTTTy ky ky kT（8-46）二阶微分方程离散化： 21 2122dd()( )( )ddyyTTTTy tkx ttt（8-44） 将式（8-45）和式（8-46）代入式（8-44）：1 2122 (2)2 (1)( ) (1)( )( )( )TTTTy ky ky ky ky ky kkx kTT经整理：12(2)(1)( )( )y ka y ka y kbx k其中： 221212121 21 21111()2 ,1,TkTaTaTbTTTTTTTT 阶微分方程离散化： n121211212012112dddd( )dddddddd( )()dd

26、ddnnnnnnnnmmmmmmmmyyyyaaaa y tttttxxxxbbbbb x tnmtttt阶差分方程为： n12101()(1)(2)(1)( )()(1)( )()nnmy kna y kna y knay ka y kb x kmb x kmb x knm8.4.2连续状态方程的离散化连续状态方程的离散化 连续状态方程离散状态方程线性定常系统的状态方程为：xAxBuyCxDu 经过采样后连续信号变为离散信号。而连续状态方程经离散后变为离散状态方程为：(1)( )( )( )( )( )x kGx kHu ky kCx kDu k其中：,G H C D均为常数矩阵。且有：eA

27、TG 0edTATHB t其中： 为采样周期。 TZ变换法求变换法求离散状态方程离散状态方程： 变换求解的方法是对离散差分方程两边取 ZZZ变换，并利用 变换的超前定理，得到以 为变量的Z代数方程，将初始条件带入 Z变换式，求出 再利用( )X zZ反变换求出离散状态变量的解。离散状态方程：(1)( )( )( )( )( )x kGx kHu ky kCx kDu k（8-47） 对式（8-47）做 变换： Z( )(0)( )( )zX zzxGX zHU z对上式（8-48）做 Z反变换： 111111( )() (0)( )()(0)()( )x kZzIGzxHU zZzIGzxZz

28、IGHU z与用迭代法得到的公式相比：10( )( ) (0)(1)( )kix kk xkiHu i 得到离散状态转移矩阵：11( )()kkGZzIGz经整理有： 1( )() (0)( )X zzIGzxHU z（8-48） 例例8-19离散系统状态方程为：010(1)( )( )0.40.31( )01( )x kx ku ky kx k 输入信号： 10( )00ku kk初始条件： 12(0)1(0)(0)1xxx，求：用 变换法求 的数值。 Z( )x k解：先求出： 1110.311()0.40.30.4(0.8)(0.5)zzzIGzzzz再求出： 210(0)( )2111

29、1zzzxHU zZzzzz 将以上两式代入式（8-48）中： 120.311( )() (0)( )20.4(0.8)(0.5)152100.83(0.5)3(1)4100.83(0.5)3(1)zzX zzIGzxHU zzzzzzzzzzzzzzzzzzz取 反变换可得到离散状态方程的解： Z2105 (0.8)( 0.5)33( )(1,2,3)1104 (0.8)( 0.5)33kkkkx kk 8.4.3 脉冲传递函数脉冲传递函数系统在零初始条件下，输出采样信号的 线性采样系统的脉冲传递函数的定义为：与输入采样信号的 变换之比，称为脉冲传递函数，表示为： ZZ00()( )( )(

30、 )()nnnny nT zY zG zR zr nT z （8-49）8.4.3.1脉冲传递函数的定义 变换8.4.3.2脉冲传递函数的求法求取采样控制系统的脉冲传递函数 ( )G z，有两种方法：（一）、采用系统的脉冲响应来求取。 ( 二 ) 、( )G zZ( )G z 直接根据 变换表，采用查表法将连续系统的传递函数 离散化，从而得到脉冲传递函数 。 第一种方法求取脉冲传递函数的步骤是：1、知系统的传递函数 。 ( )G z2、据 1( ) ( )g tLG s来求取系统的脉冲响应 。 ( )g t3、 进行采样，得到采样表达式 ( )g t*( )gt或离散化表达式 。 ()g nT

31、4、由 变换的定义： Z0( )()nnG zg nT z求出脉冲传递函数 。 ( )G z例例8-20 已知如图8-13所示的开环系统1( )(1)G ss s求：相应的脉冲传递函数。 解：方法一：先求系统的脉冲响应：111111( ) ( )1 e(1)1tg tLG sLLs sss 脉冲响应的离散形式为：()1 enTg nT 图图8-13 开环采样系统开环采样系统 由 变换的定义求出脉冲传递函数： Z0000( )()(1)1(1)1(1)()nnTnnnTnnnnnTTTG zg nT zezzezzzzezzezze 方法二：用查表法：将 ( )G s展开成部分分式： 111(

32、)(1)1G ss sss查 变换表得到： Z(1)( )1(1)()TTTzzzeG zzzezze8.4.3.3开环系统的脉冲传递函数 根据采样系统的方块图求采样系统的脉冲传递函数，必须注意采样开关的位置，采样开关的数目和位置不同求出的开环脉冲传递函数也会截然不同。根据图8-14，有： 21( )( )*( )Y sG s Ys 连续环节串联之间有采样开关：图图8-14两环节串联之间有采样开关两环节串联之间有采样开关 1( )G s2( )G s之间，有采样开关分隔。设：系统如图8-14所示，在两个串联环节 和 对 进行离散化有： ( )Y s21212112*( )( )*( )*( )

33、*( )*( )( )*( )*( )*( )*( )YsG sYsGsYsGs G sRsGsGsRs由于 变换为采样的拉氏变换，即 Z( )*( )Y zYs则有：12( )( )( ) ( )Y zG z G z R z因此，开环脉冲传递函数为：12( )( )( )( )( )Y zG zG z G zR z当被采样开关分隔的两环节串联时，其开环等效脉冲传递函数为这两个环节脉冲传递函数之积。这一结论可以推广到 个环节串联的情况。 n结论：（2）连续环节串联之间无采样开关：12( )( )( )*( )Y sG sG s Ys对 进行离散化有： ( )Y s1212*( )( )( )*

34、( )*( )( )*( )YsG s G sRsG s G sRs由于 变换为采样的拉氏变换，即： Z( )*( )Y zYs则有： 1( )G s2( )G s设：系统如图 8-15所示，在两个串联环节 和 之 间没有采样开关分隔。根据图8-15，有：图图8-15两环节串联之间无采样开关两环节串联之间无采样开关 12( )( )( )Y zGG zR z因此，开环脉冲传递函数为：12( )( )( )( )Y zG zGG zR z图8-14和图8-15两种情况下，脉冲传递函数是不一样的，即： 1212( )( )( )G z G zGG z图图8-14两环节串联之间有采样开关两环节串联之

35、间有采样开关 图图8-15两环节串联之间无采样开关两环节串联之间无采样开关 注意：例例8-21 在图8-14和图8-15中： 1211( ),( )1G sG sss分别求两图的脉冲传递函数。 解：在图8-14所示的开环系统中，其脉冲传递函数为：1212( )( )( )( )( )1eTzzG zG zG zZ G sZ G szz而在图8-15所示的开环系统中，其脉冲传递函数为：12121111( )( )Z( )( )ZZ111eTzzG zGG zG s G ss ssszz显然：1212( )( )( )G z G zGG z（3）带有零阶保持器的脉冲传递函数：图图8-16带有零阶保

36、持器的开环离散系统带有零阶保持器的开环离散系统 实际的采样系统都带有采样器和零阶保持器，如果在开环系统中带有零阶保持器，其采样控制系统如图8-16所示。 开环系统的脉冲传递函数为：011( )( )( )1TspeG zZ G sGsZss根据 变换的线性定理：上式可写成： Z11( )(1)(1)TsG zZZes ss s再根据 变换的滞后定理：Z1111111( )(1)(1)(1)(1)111 e(1)(1)11eeTTTG zZzZzZs ss ss szzzZzsszzz8.4.3.4采样系统的闭环脉冲传递函数采样系统的闭环脉冲传递函数 求取脉冲传递函数要根据闭环系统的结构以及采样

37、开关的位置。不同的采样控制系统结构和不同的采样开关位置得到的脉冲传递函数是不同的。如图8-17是一种常见的采样控制系统闭环结构图。图图8-17 闭环采样控制系统结构图闭环采样控制系统结构图 输出的拉氏变换：( )( )*( )Y sG sEs（8-50）而误差信号的拉氏变换为：( )( )( ) ( )E sR sH s Y s（8-51） ( )( )( ) ( )*( )E sR sH s G s Es采样后变为： *( )*( )( ) ( )*( )EsRsH s G sEs（8-52） 整理得到：*( )*( )1 ( ) ( )*RsEsH s G s（8-53） 采样系统输出对输

38、入量的误差脉冲传递函数：（8-54） )(11)()()(zHGzRzEze式（8-53）代入式（8-50）得到：( ) *( )( )1 ( ) ( )*G s RsY sH s G s（8-55） 采样后变为：*( )*( )*( )1 ( ) ( )*GsYsRsH s G s（8-56） 采样系统输出对输入的脉冲传递函数表达式：( )( )( )( )1( )Y zG zzR zHG z（8-57） 式（8-54）与式（8-57）是闭环采样系统中经常使用的两个闭环脉冲传递函数，令式（8-54）与式（8-57）的分母多项式为零，便可得到采样系统的闭环特征方程： 1( ) 0HG z（8-

39、58） 1、式中 为开环采样系统的脉冲传递函数。( )HG z这是因为采样开关的位置不同得到的结果也不同，脉冲传递函数与采样开关的位置有着密切的关系。注意：( ) sZ( )Z ( )zs2、闭环采样系统的脉冲传递函数不能直接从闭环传 递函数 的 变换来求得。即： 例例8-23 求图8-18所示采样系统的脉冲传递函数。（a） （b） 图图8-18采样控制系统采样控制系统 所以其闭环脉冲传递函数为： 解：对于图8-18（a），由于 和 之间有采样开关，1( )G s2( )G s而 与 之间无采样开关， 2( )G s( )H s1212( )( )( )1( )( )G z GzG zG zG

40、 H z对于图8-18（b），由于 、 和 之间均有采样开关，所以其脉冲传递函数为： 1( )G s2( )G s( )H s1212( )( )( )1( )( )( )G zG zG zG zG zH z（b） 图图8-18采样控制系统采样控制系统 8.5.1差分方程差分方程 脉冲传递函数脉冲传递函数 用差分方程表示的数学模型是离散系统的时域表达形式，而用脉冲传递函数表示的数学模型是离散系统的 域表达形式。两种数学模型之间可以相互转换， Z1101()(1)(1)( )()(1)( )nnmy kna y knay ka y kb u kmbu kmb u k（8-59）对式（8-59）两

41、边作 变换，并令初始条件为零，则有： Z(0)(1)(1)0(0)(1)(1)0yyy kuuu k则式（8-59）变为：111101() ( )()( )nnmmnnmza zaza Y zb zb zb U z8.5.1.1差分方程差分方程 脉冲传递函数脉冲传递函数一个单输入单输出的线性离散系统的一个单输入单输出的线性离散系统的 阶差分方程阶差分方程： n采样系统的脉冲传递函数为：1011111( )( )( )mmmmnnnnb zb zbzbY zG zU zza zaza8.5.1.2.脉冲传递函数脉冲传递函数 差分方程差分方程一个单输入单输出的线性离散系统的 阶脉冲传递函数： n1

42、011111( )( )( )mmmmnnnnb zb zbzbY zG zU zza zaza（8-60） 式（8-60）整理成：1111011() ( )() ( )nnmmnnmmza zaza Y zb zb zbzb U z对上式进行 反变换，得到前差分方程的形式： Z11011()(1)(1)( )()(1)(1)( )nnmmy kna y knay ka y kbu kmbu kmb u kb u k 或写成后差分的形式：11011( )(1)(1)()( )(1)(1)()nnmmy ka y kay kna y knb u kbu kbu kmb u km 例例8-25 已

43、知采样控制系统中，控制器的脉冲传递函数为：2( )2( )( )53U zzD zE zzz现要化成计算机可以实现的算法，求差分方程。 解：把脉冲传递函数写成：2(53)( )(2) ( )zzU zzE z对上式进行 反变换，得到前差分方程的形式： Z(2)5 (1)3 ( )(1)2 ( )u ku ku ke ke k或后差方程的形式：( )5 (1)3 (2)( )2 (1)u ku ku ke ke k8.5.2差分方程差分方程 离散状态方程离散状态方程单输入单输出的 阶差分方程：8.5.2.1差分方程差分方程 离散状态方程离散状态方程1、m=0时，即输入变量不包含高于一阶的差分时，

44、即输入变量不包含高于一阶的差分n（8-61） )() 1()()() 1()(101kubmkubmkubkyankyankymn（8-62） )()() 1()(01kubkyankyankyn选状态变量：)1()()1()()()(21nkykxkykxkykxn（8-63）写成矩阵的形式： 1122211221010000( )001000( )( )000100(1)000010nnnnnnnmxx kxx ku kxx kxaaaaaxb( )100( )y kx k（8-64） 由（8-65）式： )()()()()() 1()()2() 1()() 1() 1(012113221

45、kubkxakxakxankykxkxkykxkxkykxnnnn例例8-26 线性离散系统的差分方程为：(4)3 (3)5 (2)4 (1)6 ( )2 ( )y ky ky ky ky ku k试导出离散控制系统的状态空间表达式。 解：由已知的差分方程可知：输出序列的阶数： 4n ，输入序列的阶数： 0m 差分方程的系数分别为： 12343,5,4,6,2maaaab则状态矩阵或系统矩阵为：0100001000016453G输入矩阵或驱动矩阵为：0002H 输出矩阵为： 1000C 2、m0时，即输入变量包含高于一阶的差分时，即输入变量包含高于一阶的差分方法：将差分方程化为脉冲传递函数的形

46、式，然后再获得离散状态方程这种方法将在由脉冲传递函数求离散状态方程中给予介绍8.5.2.2.离散状态方程离散状态方程 差分方程差分方程例例8-28 线性离散系统的状态方程为：011(1)( )( )0.1611( )10( )x kx ku ky kx k ，试求差分方程。 解：由离散状态方程直接求差分方程：由状态方程可得：12(1)( )( )x kx ku k（8-65） 212(1)0.16 ( )( )( )x kx kx ku k （8-66） 式（8-65）可以写成：12(2)(1)(1)x kx ku k（8-67） 将式（8-66）代入式（8-67）可得：112(2)0.16

47、( )( )( )(1)x kx kx ku ku k （8-68） 由式（8-65）得：21( )(1)( )x kx ku k（8-69） 将式（8-69）代入式（8-68）中：111(2)(1)0.16( )(1)2 ( )x kx kx ku ku k（8-70）再由输出方程：1( )( )y kx k（8-71）1(1)(1)y kx k（8-72） 1(2)(2)y kx k（8-73） 将式（8-71）、（8-72）和式（8-73）代入（8-70）中，得到系统的差分方程：(2)(1)0.16 ( )(1)2 ( )y ky ky ku ku k8.5.3 离散状态方程离散状态方程

48、 脉冲传递函数脉冲传递函数8.5.3.1脉冲传递函数脉冲传递函数 离散状态方程离散状态方程由脉冲传递函数求取离散状态方程也称为实现问题 这里主要讲直接程序法、并联程序法、串联程序法： （1） 直接程序法（2） 嵌套程序法（3） 并联程序法（4） 串联程序法 常用的方法有： （1）、直接程序法：）、直接程序法：采样系统的脉冲传递函数为： 10111( )( )( )nnnnnnb zb zbY zG zU zza za（8-74） 将式（8-74）化为： 10111( )1nnnnbb zb zG za za z（8-75） 此方法不需要将脉冲传递函数的分子和分母写成因式相乘的形式。 当脉冲传递

49、函数的零点和极点未知时，可采用直接程序法求离散状态空间表达式。 以下分两种情况考虑： （1）、当 时 00b 10111( )1nnnnbb zb zG za za z由 得到系统的流程图 如图8-19根据梅逊公式：01( )nkkkPG zP（8-76） 其中： 12121()nna za za z ；并令 1k 画出系统的流程图如图8-19，然后根据流程图在每个 ，1z环节后选取状态变量 。 12( ),( )( )nx kx kx k方法：脉冲传递函数 状态流程图 离散状态方程 图图8-19 系统流程图系统流程图由图由图8-19 信号流程，可得状态方程为：信号流程，可得状态方程为：122

50、334121121112100110121010(1)( )(1)( )(1)( )(1)( )( )( )( )( )( )( )( )( )(1)() ( )()( )()( )( )nnnnnnnnnnnnnnx kx kx kx kx kx kx ka x ka xkax ka x ku ky kb x kbx kb x kb x kbb ax kbb ax kbb a x kb u k 写成离散状态矩阵的形式：112212112010110100100( )( )00010( )( )( )000001( )( )1( )( )( )( )( )nnnnnnnnnnx kx kx k

51、x ku kx kx kaaaax kx ky kbb abb abb ab u kx k 例例8-29 采样系统的脉冲传递函数为：22251( )32zzG zzz试求采样系统的离散状态空间表达式并画出系统的流程图。 解：所给出的脉冲传递函数中： ， ， 。 02b 15b 21b 且有： ， 。 13a 22a 将脉冲传递函数分子分母同除以 2z，得到： 121225( )1 32zzG zzz画出系统的流程图：然后根据流程图选取状态变量：如图8-20示。图图 8-20 时系统的流程图时系统的流程图 00b 根据流程图写出离散系统状态方程：12(1)( )x kx k212(1)2 ( )

52、3( )( )x kx kx ku k 122121212( )( )5( )2(1)( )5( )2 2 ( )3( )( )3 ( )( )2 ( )y kx kx kx kx kx kx kx ku kx kx ku k （2）、当 时00b 此时，式（8-74）变为： 1111( )1nnnnb zb zG za za z（8-77）根据梅逊公式得到的流程图如图8-19所示，图中取掉 0b这根线。写成离散状态矩阵的形式： 10111( )( )( )nnnnnnb zb zbY zG zU zza za（8-74） 图图8-19 系统流程图系统流程图112212112110100( )

53、( )00010( )( )( )000001( )( )1( )( )( )( )nnnnnnnnx kx kx kx ku kx kx kaaaax kx ky kbbbx k （2）并联程序法）并联程序法: 当脉冲传递函数 的极点已知， 的分母可以分解成因式相乘的形式时，则可以利用部分分式展开的形式对其实现状态流程图及编程，这种方法就是并联程序法。 ( )G z( )G z脉冲传递函数为： 10111( )( )( )nnnnnnb zb zbY sG zU sza za（8-78） 具有 个不同的极点（特征根无重根），系统矩阵呈对角阵时( )G zn根据式（8-78）脉冲传递函数可以写

54、成： 01( )niiiCG zbzp（8-79） 其中： lim() ( )1,2,3iiizpCzp G zin其流程图如图8-21所示：图图8-21 流程图流程图式（8-79）变为：1010( )1niiiC zG zbp z（8-80） 根据流程图列写离散系统的状态方程：11 12221 1220(1)( )( )(1)( )( )(1)( )( )( )( )( )( )( )nnnnnx kp x ku kx kp x ku kx kp x ku ky kC x kC x kC x kb u k （3）串联程序法：）串联程序法： 当脉冲传递函数 的分子和分母均可以分成因式相乘的形式

55、时，可以将脉冲传递函数写成一阶环节相乘的形式对其实现状态流程图及编程，这种方法就是串联程序法。 ( )G z脉冲传递函数为： 1212()()()( )( )()( )()()()mnzczczcY zG zKnmU zzpzpzp（8-81） 从式（8-81）可见，串联程序法主要有两种环节的串联： 因此 ，所以 时，主要是以下两种环节的串联： nm1,2,3kn1,2,3km时： 11111( )1mmkkkkkkkzcc zGzzpp z（8-82） 1,2kmmn 时： 11111( )1nnkk mk mkkzG zzpp z（8-83） 可分别画出这两种环节的信号流程图，根据流程图可

56、写出系统的离散状态方程。对于式（8-82）中的 个环节的串联，其中第 个环节的流程图如图8-22所示mk图图8-22 流程图流程图而对于式（8-83）中的 个环节的串联，其中第 个环节的流程图如图8-23所示。 nmk图图8-23 流程图流程图 总的流程图就是 个图8-22的串联和 个图8-23的串联后两者再串联。 mnm例例8-32 采样控制系统的脉冲传递函数为：25( )32zG zzz试用串联程序法求采样系统的离散状态空间表达式。 解： 将脉冲传递函数分解成两环节相乘的形式：1121155151 5( )32(1)(2)12112zzzzzG zzzzzzzzz根据上式的脉冲传递函数的形

57、式，画系统的信号流程图如图8-24所示：图图8-24 信号流程图信号流程图根据信号流程图写出离散系统状态方程：1122211212(1)2( )( )(1)( )( )( )5 ( )2( )( )3 ( )( )x kx kx kx kx ku ky kx kx kx kx kx k 8.5.3.2.离散状态方程离散状态方程 脉冲传递函数脉冲传递函数 对于多输入多输出的线性采样系统的离散状态空间表达式： (1)( )( )( )( )( )x kGx kHu ky kCx kDu k（8-84）对式（8-84）做 变换，得到： Z( )(0)( )( )( )( )( )zX zzXGX z

58、Hu zy zCX zDU z（8-85） 经整理：11( )()(0)()( )( )( )( )X zzIGzXzIGHU zY zCX zDU z（8-86） 则有：11( )()(0)()( )( )Y zC zIGzXC zIGHU zDU z 当初始条件为零时，可以求出描述系统输入输出关系的脉冲传递函数（矩阵）：1( )( )( ) () ( )Y zG z U zC zIGHD U z对于单输入单输出系统来说， 是脉冲传递函数。( )G z对于多输入多输出系统来说， 是脉冲传递矩阵。 为 维的。 ( )G zm rDHGzICzUzYzG1)()()()( 本节主要讨论如何在 域

59、中分析离散控制系统的稳定性，稳态特性以及动态特性。 Z系统的性能分析包括：2 、 稳态性能3 、 动态响应1 、 稳定性分析方法：1 、时域动态响应2 、根轨迹法3 、频率法连续控制系统中：判别系统稳定性的方法是根据特征方 程的根在 平面的位置。若系统特征 方程的所有根都在 平面的左半部， 系统是稳定的。SS判别系统稳定性的方法：ZZZS离散控制系统中：由于进行了 变换，所以采样控制 系统的的稳定性分析是在 平面上 的。只要找到 平面与 平面的关 系，采样控制系统的稳定性分析就会 迎刃而解。 8.6.1 稳定性分析稳定性分析8.6.1.1 平面与平面与 平面的映射关系平面的映射关系 SZ根据

60、变换的定义，复自变量 与 之间的关系是： ZsZeTsz （8-87） 域的任何一点都可以表示成： sjs（8-88） 式（8-88）代入式（8-87）：(j )jeeeeTsTTTz（8-89） 域到 域的基本映射关系为： sZ模： eTz复角： zT 其中： 为采样周期。 T0 （1）、当 时， ，相当于取 平面的虚轴， jsse1Tz ，复角随 的变化而变化，所以 平面的虚轴映射到 圆心的单位圆周。 sZ平面上是以原点为分析：映射关系如图8-25所示。 图图8-25 平面与平面与 平面的映射关系平面的映射关系sZ 当 时， 由 到 变化时， 的模为 ， 平面上的曲线是逆时针旋转一周，模为