2020年高考数学专题三第1讲

1、第 1 讲 空间几何体的二视图、表面积和体积高考定位 1.三视图的识别和简单应用；2.简单几何体的表面积与体积计算，主要 以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合， 面积与体积的计算作为其中的一问.真题感悟1.（2018全国川卷）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）解析 由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所 以是虚线，结合榫头的位置知选 A.答案 A2.（2018 全国I卷）已知圆

2、柱的上、下底面的中心分别为Oi, 02,过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为（）A.12、：2nB.12nC.8 2nD.10n解析 因为过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8 的正方形，所以圆柱的高为 2 .2，底面圆的直径为 2 2 .所以 S表面积=2xn（寸 2）2+2 n2 22=12n.答案 B3.-（2018天津卷）已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1,除面 - -ABCD 夕卜，该正方体其余各面的中心分别为点 E，F，G，H，.M（如图），贝 U 四棱锥 M EFGH 的体积为_ .解析 连接 AD1, C

3、D1, B1A，B1C，AC，因为 E，H 分别为 AD1，1CDi的中点，所以 EH / AC, EH = qAC.因为 F, G 分别为 BiA, BiC 的中点，所1以 FG/ AC, FG = 2AC.所以 EH / FG , EH= FG,所以四边形 EHGF 为平行四边 形，又 EG= HF , EH= HG,所以四边形 EHGF 为正方形.又点M到平面 EHGF 的距离为 2,所以四棱锥 M EFGH 的体积为卜号 212.1答案14._ (2017全国I卷)已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球 0的球面上，SC 是球 0 的直径 若平面 SCA 丄平面 SCB, SA= AC,

4、 SB= BC,三棱锥 SABC 的体积为 9, 则球 0 的表面积为.解析 女口图，连接 OA, OB,因为 SA= AC, SB= BC, SC 为球O 的直径，所以 OA 丄 SC, OB 丄 SC.因为平面 SAC 丄平面 SBC，平面 SACn平面 SBC= SC,且 OA?平面 SAC,所以 OA 丄平面 SBC.设球的半径为 r，贝 U OA= OB= r, SC= 2r,1 1 1 1所以VASBC=SBCOA=322rM M= r3,所以 3=9? r 二 3,所以球的表面积为 4n2二 36n.答案 36n考点整合1.空间几何体的三视图(1) 几何体的摆放位置不同，其三视图

5、也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等 由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定 几何体.2.空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体的表面积公式：圆柱的表面积 S= 2n(r+ I)；2圆锥的表面积 S=n(r +1);3圆台的表面积 S= n(+r2+rl+rl);4球的表面积 S= 4nR2.(2) 柱体、锥体和球的体积公式：1V柱体=Sh(S 为底面面积，h 为高);12V锥体=3Sh(S 为底面面积，h 为高);433V球=nR3.热点一空间几何体的三视图与直观图【例 1】(1)(2018 兰州模拟)中国古代数学名著九章算术 中，将底面是直角三角形的

6、直棱柱称为堑堵”已知某 堑堵的正视图和俯视图如图所示，则该堑堵”的侧视图的面积为()A.18.6B.18.3C.182D27”2(2018 全国I卷)某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视图如图.圆柱表面上的 点 M在正视图上的对应点为 A,圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B,则 在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为()A.2 17B.2 5C.3解析 在俯视图 RtAABC 中，作 AH 丄 BC 交于 H. 由三视图的意义，则 BH= 6, HC= 3,根据射影定理，AH2= BH HC,二 AH = 3 2.易知该 堑堵”的侧视图是矩形，长为 6,宽为

7、 AH = 3 2.故侧视图的面积 S= 6 3 2=18 2.由三视图可知，该几何体为如图 所示的圆柱，该圆柱的高为 2,底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图 所示，连接 MN，则 MS= 2, SN= 4.则从 M到 N 的路径中，最短路径的长度为-MS2+ SN2 22+ 42= 2;5.答案 (1)C (2)B探究提高 1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确 认.二要熟悉常见几何体的三视图 .2.由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面 .(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应 的棱、面的位置 .(

8、3) 确定几何体的直观图形状 .【训练 1】 如图，在底面边长为1,高为2的正四棱柱 ABCD AiBiCiDi中, 点 P是平面 AiBiCiDi内一点，则三棱锥 P BCD 的正视图与侧视图的面积之和 为( )A.1B.2C.3D.4（2017 北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，贝 U 该四棱锥的最长棱的长度为（）A.3：2B.2：3C.2 ,；D.2解析（1）设点 P 在平面 AiADDi的射影为 P,在平面 CiCDDi PCD,因此所求面积 S=SAP AD+SA PCD解析（1）由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个相同=2x1 2+2x1 2=2.（2）根据三视图可得该四棱

9、锥的直观图（四棱锥 P ABCD）如图 所示，将该四棱锥放入棱长为 2 的正方体中.由图可知该四棱锥 的最长棱为 PD，PD = .、22+ 22+ 22= 2;3.答案B （2）B热点二几何体的表面积与体积考法 1 空间几何体的表面积【例 2 1】（1）（2017 全国I卷）某多面体的三视图如图所示， 其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方 形的边长为 2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A.10B.12C.14D.16（2018 西安模拟）如图，网格纸上正方形小格的边长1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为

10、（）A.20nB.24nC.28nD.32n1的梯形的面，S梯=2X2 + 4) )2= 6, S全梯二 6 2=12.由三视图知，该几何体由一圆锥和一个圆柱构成的组合体，tS圆锥侧=nX3 )32+42=15nS圆柱侧=2ni 2=4nS圆锥底= nX32=9n.故几何体的表面积 S= 15 卄 4n928n.答案(1)B(2)C探究提高 1由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小；(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和； 组合体的表面积注意衔接部分的处理(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开

11、图的应用.【训练 2】(1)(2016 全国I卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每 个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是号：则它的表面积是()(2018 烟台二模)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧,则几何体的表面积为()A.17nB.18nC.20nD.28nA.3n+4,2-23n .3n .-C.2 + 2 2 2D.2 + 2 2 + 2解析 由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球（被1过球心 o 且互相垂直的三个平面）切掉左上角的 8 后得到的组合71体，其表面积是球面面积的和三个 4 圆面积之和，易得球的半径7212为 2,则得 S= X

12、4n22+ 3 %冗22= 17n.（2）由三视图，该几何体是一个半圆柱挖去一直三棱柱，由对称性，几何体的底面面积 S底=nX12 ( ,2)2=n2.几何体表面积 S= 2(2炯+ *2 芮&) + S底=4. 2 + 2 + 冗2= 34 2 2.答案(1)A(2)A考法 2 空间几何体的体积【例 2 2】（1）（2018 河北衡水中学调研）某几何体的三视图如图所示，则该几B.3n+2 ,;2-2何体的体积为（）1由一个长方体和两个 4 圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为12n所以 V=2 1X1+2xn2 = 3.1211该图形为一个半圆柱中间挖去一个四面体，体积

13、V= 2 冗4 32&卅4 =o168 冗-亍4答案4(2)A热点三 多面体与球的切、接问题【例 3】（2016 全国川卷）在封闭的直三棱柱 ABC A1B1C1内有一个体积为 V 的球若 AB 丄 BC, AB = 6, BC = 8,AAu3,则 V 的最大值是（）9n32nA.4nB.2C.6nD-3-解析 由 AB 丄 BC, AB = 6, BC = 8,得 AC= 10.要使球的体积 V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设 底面 ABC 的内切圆的半径为 r.则坯8 = |（6 + 8+ 10） ，所以 r = 2.2r= 43,不合题意.B.4n-3

14、D.4n+8球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径 R 最大.34 a 9由 2R= 3,即R=2.故球的最大体积 v= 3nR = 2 冗答案 B【迁移探究 1】 若本例中的条件变为 直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球O 的球面上” 若 AB = 3, AC = 4, AB 丄 AC, AA1= 12,求球 0 的表面积.解 将直三棱柱补形为长方体 ABEC A1B1E1C1,则球 O 是长方体 ABECA1B1E1C1的外接球.体对角线 BC1的长为球 O 的直径.因此 2R= ；32+ 42+ 122= 13.故 S球=4TR2=169n.【迁移探究 2】若将题目的条件变为

15、如图所示是一个几何体的三视图”试求该几何体外接球的体积.解 该几何体为四棱锥，如图所示,连接 OP.由三视图，PH= OH = 1,则 OP= ;OH2+ PH2=2设正方形 ABCD 的中心为 O,又 OB= OC = OD = OA= , 2.点 O 为几何体外接球的球心,贝 U R=2,V球=3nR3=8g2n.探究提高 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接 球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或 切点” 接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题2.若球面上四点 P，A，B，C 中 FA，PB, PC 两两垂直或三棱锥的三

16、条侧棱两两 垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题 .【训练 4】（2018 广州三模）三棱锥 P-ABC 中，平面 PAC 丄平面 ABC, AB 丄 AC,PA= PC= AC= 2，AB= 4,则三棱锥 P-ABC 的外接球的表面积为（）解析 如图，设 O 为正 PAC 的中心，D 为 RtAABC 斜边的中点，H 为 AC 中点.由平面 PAC 丄平面 ABC.则 OH 丄平面 ABC.作OO/ HD, OD / O H，则交点 O 为三棱锥外接球的球心，连接OP,又 O P =2PH = 3232=寻，OO 丄 DH = AB = 2.二 R2= OP2= O P2+ O O

17、2=3+4=?.故几何体外接球的表面积 S= 4n2=64n.答案 DA.23n23C.64n小 64Dpn1求解几何体的表面积或体积(1) 对于规则几何体，可直接利用公式计算(2) 对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积 转换法求解.(3) 求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等 腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用.(4) 求解几何体的表面积时要注意 S表=S侧+ S底.2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a的正方体的外接球、 内 切球、棱切球的半径分别为 貝，2, fa.1 13. 锥体体积公式为 V= -Sh,

18、在求解锥体体积中，不能漏掉 3.、选择题1.牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构 造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成，相对 的两个曲面在同一个圆柱的侧面上， 好似两个扣合（牟合） 在一起 的方形伞（方盖）.其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所 作的辅助线当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）解析 由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线, 在俯视图中应为实线，因此，选项 B 可以是几何体的俯视图答案 B2.（2018 北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）解析 在正方体中作出该几何

19、体的直观图，记为四棱锥 PABCD,如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 3,是厶 PAD , PCD, PAB.答案 C 3.（2018 湖南师大附中联考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.8（卄 4）C.16（卄 4）A.1B.2C.3D.4B.8（卄 8）D.16 （卄 8）ti解析 由三视图还原原几何体如右图：该几何体为两个空心半圆柱相切，半圆柱的半径为 2,母线长为 4,左右为边长是 4 的正方形.该几何体的表面积为 2 4 4+ 24+ 2（4 4 冗22） = 64 + 8n= 8（卄 8）.答案 B的球面上，则该圆柱的体积为（）答案 B4.（20

20、17 全国川卷）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球3nA.nB.T4解析如图画出圆柱的轴截面 ABCD,一 1=1,球心到底面圆的距离为 OM = 2.底面圆半径J32 ,3n故圆柱体积 V=nr2h=n2r =25.（2018 北京燕博园押题）某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（）4n5n7n11nA.yBpCWD.61 1解析由三视图可知，该几何体是由半个圆柱与 8 个球组成的组合体，其体积为 221 4n35nXTCX1X3+83X1 =亍答案 B6.（2018全国川卷）设 A, B, C, D 是同一个半径为 4 的球的球面上

21、四点， ABC 为等边三角形且其面积为 9 .3，则三棱锥 D ABC 体积的最大值为（）A.12 3B.18 3C.24 3D.54 3A解析 设等边 ABC 的边长为 x,则sin 60 =9.3,得 x= 6.设 ABC 的外接圆半径为 r，则 2r 二 sin60，。解得 r 二 2 3,所以球心到ABC 所在平面的距离 d =-；42-（ 2 3）2= 2,则点 D 到平面 ABC 的最大距离 di= d + 4 = 6.所以三棱锥1 1D ABC 体积的最大值 Vmax=SAABCW=3刈.36= 18,3.答案 B二、填空题7.（2018 浙江卷改编）某几何体的三视图如图所示（单

22、位:cm）,则该几何体的体积（单位：cm3）为_ .解析 由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何1体的体积 V= 21+ 2） 22= 6.答案 68. （2018 郑州质检）已知长方体 ABCD A1B1C1D1内接于球 O,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，E 为 AA1的中点，OA 丄平面 BDE，则球 O 的表面积为_.解析 取 BD 的中点为 O1,连接 OO1, OE，O1E，O1A，则四边形 OO1AE 为矩形，vOA 丄平面 BDE,/OAEO1，即四边形 OO1AE 为 正方形，则球 O 的半径 R= OA= 2,二球 O 的表面积 S= 4n

23、22= 16n.答案 16n9. （2018 武汉模拟）某几何体的三视图如图所示，其中正视图的轮廓是底边为 2.3,高为 1 的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，侧视图是个半圆则该几何体的体积为_ .解析 由三视图知，几何体是由两个大小相同的半圆锥的组合体 其中 r = 1,高 h= .3故几何体的体积 V=3nX12X,3= fn.答案 fn三、解答题ABC， AAi= AiC = AC= AB= BC = 2，占八、(1) 证明：AiO 丄平面 ABC;(2) 求三棱锥 Ci ABC 的体积.(1)证明 因为 AAi= AiC，且 O 为 AC 的中点，所以 AiO 丄 AC，又面 AAiCiC 丄平面 ABC，平面 AAiCiCn平面 ABC = AC,且 AiO?平面 AAiCiC，二 AiO 丄平面 ABC.解TAiCi/ AC，A1C1?平面 ABC，AC?平面 ABC，10.在三棱柱 ABC AiBiCi中，侧面 AiCi/平面 ABC，即 Ci到平面 ABC 的距离等于 Ai到平面 ABC 的距离.由(1)知 AiO 丄平面 ABC 且 AiO=；AA2AO2= . 3,4 .1 11i VCi ABC=