高考中数列试题的应对策略

1、1咼考中数列试题的应对策略数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位, 是高考数学的主要考察内容之一，试题难度分布幅度大，既有容易的基本题和难度适中的小 综合题，也有综合性较强对能力要求较高的难题。大多数是一道选择或填空题，一道解答题。 解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题经常是 综合题，把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，探索性问题是高考的 热点，常在数列解答题中出现。应用问题有时也要用到数列的知识。数列试题形态多变，时常有新颖的试题入卷，学生时常感觉难以把握。为了在高考中取 得好成绩，必须复习、掌握好

2、数列这一板块及其相关的知识技能，了解近几年来高考中数列 试题的能力考察特点，掌握相关的应对策略，以培养提高解决数列问题的能力。第一讲：数列基础知识的梳理数列是按一定顺序排列好的一列数。它可以理解为以正整数集(或它的有限子集)为定 义域的函数。运用函数的观念分析和解决有关数列问题，是一条基本思路。递推是数列特有 的表示法，它更能反映数列的特征。等差数列和等比数列是两个基本的数列，除了要熟练掌握这两个数列的通项公式和求和 公式外，还要掌握以下基本性质：在等差数列中an中，an=am+(n-m)d或d= (n,mN);n -m若m+n=p+q，贝Van+am=ap+aq(m,n,p,qN).在等比数

3、列中an中，an=amqn-m, (n,mM);若m+n=p+q，则亠anam=apaq(m,n,p,qN).对于非等差等比的数列，要用转化的思想，转化成和等差、等比有关的数列。一、典型题的技巧解法1求通项公式(1)观察法。(2)由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列 或等比数列问题。1递推式为 an+i=an+d 及 an+i=qa (d, q 为常数)【例 1 已知an满足an+i=an+2,而且ai=1。求an。解/an+i-an=2为常数 an是首项为1,公差为2的等差数列/an=1+2(n-1) 即an=2n-1【例2】已知心满足

4、士二%而斑二2,求二？2解丁仏=2是常数益2二话是以2为首项，公比为的等比数列2递推式为 an+i=an+f （n）&1_21、 4n - 3)=2n -1 4n -2 说明 只要和f（1）+f（2）+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1,2，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求an。3递推式为 an+1=pan+q （p, q 为常数）【例 4】an中，a1=1，对于n1(nN)有an=3an-1+2,求an。 解法一：由已知递推式得an+1=3an+2,an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3(an-an-1)因此数列an+1-an是公比为3

5、的等比数列，其首项为a2-a1=(3X1+2)-1=4.n-1-an+1-an=43/an+1=3an+2/ 3an+2-an=43n-1即an=23n-1-1解法二：上法得an+1-an是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4,a3-a2=43,a4-a3=43，,an-an-1=43,把n-1个等式累加得：an-aL=4 (l+3+32+- +?1-2)二)1-3【例3】 己知J中軻方,解：由已知可知n+lan 1 _an -(2n1)(2n _1)2(2n-1 2n 1令n=1,2,（n-1），代入得（n-1)个等式累加，即(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)1=2(1

6、-|)1 12n - 3 2n - 1an1二a12(13 an=23n-1-1解法三：设递推式an+1=3an+2,可以化为an+1-t=3(an-t),即是an+i=3an-2t/ 2=-2t/ t=-1,于是得an+i+仁3(an+1),数列an+1是公比为3的等比数列，其首项为ai+1=2 an+1=23n-1即an=23n-1-14递推式为 an+1=p+qn(p, q 为常数)【例5】己知aj中，a-, aA+l= -a +(-)叫求耳 咯解在和严扫+ (|) 的两边乘以严得o2冋弘产三怜+1,令 =2池则于是可得6 1- g)32由上题的解法，得：bn=3_2()nmn说明对于递

7、推式张u讥可两边陈以严得許 4 电丄引辅助数列b)(5 晋)，得氐严仏订后用q q qqaq q的方法解。递推式为 an+2=pan+1+qan思路：设an+2=pai+1+qan可以变形为：an+2-aan+1=3(an+1-aan),CL + p = p就是也=a + 3)如-a B %则可从解得a, B ,Cl p = -qk于是an+1-aan是公比为3的等比数列，就转化为前面的类型。21【例6】已知数列仗J中fat= L a2= 2, an+3=-an+1+ -an,求an。42Q + P =3= 1a B =-3分析5解在仏2i，迪+匚兀两边减去和L得+%+】-孤）（an+1-%是

8、公比为冷，首项为衍-期二啲等比数列 二将如一% 二一）4%二1, 2、,G1T）再扌En l个等式累加得益-如=（气）+（冷）h+2递推式为 S 与 an 的关系式此类型可利用【例门i殳宙前n项的和关系；（2）试用n表示ano解（1）由彖=4-耳-右得 1（n = l）（n2）兀-尹 l 1）求+i与耳的Sn i _ SnSn+i = 4 - an+L-1 1= (an _an1)(2_a丄an 12*4丄2n-an 4二a(2)两边同乘以2n+1得2n+1an+i=2nan+2则2 b是公差为2的等差数列。 2nan= 2+(n-1)2=2n62.数列求和问题的方法(1)、应用公式法等差、等

9、比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。.f -n(n+l)1 + 2 + 3+?221+3+5+ +(2n-1)=nF + +n3=Q(n + 1)(2n + 1)；61P+爭+宀咛卒【例 8】求数列1, (3+5), (7+9+10), (13+15+17+19),前n项的和。 解本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，1共有1+2+n=n(n 1)个奇数，2最后一个奇数为：121+ n(n +1)-1x2=n+n-12因此所求数列的前n项的和为(2)、分解转化法对通项进行分解、组合，转化为等差数列或等比数列求和。【例 9】求和S=1 (n2

10、-1)+ 2 (n2-22)+3 (n2-32)+n(n2-n2) 解S=n2(1+2+3+n)-(13+23+33+n3)旳+D卡M仁=1 2_4n_ J_2_4n(3) 、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个 和式相加，然后求和。【例10】求和：=3C；+6C； +3nC：解SXC：+?C： + 6C； + +%C：又S. = 3nCS + 3 (n -1) C f + +0C相加,且运用可得G+1)Cn + 1) (n - 1)72Sn- 3n (Cj+Ci +C：) -3n* n-1Sn=3n2(4)、错位相减法如果一个数列是由一个等

11、差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘 以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和.【例 11求数列1，3x,5x2,(2n-1)xn-1前n项的和.解 设S=1+3+5x2+(2n-1)xn-1.X=0时，Sn=1.(3)当XM0且XM1时，在式两边同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn,-，得23只n-1n(1-x)Sn=1+2x+2x+2x +2x -(2n-1)x由公式知s严占1十竺尸巴-1)/1 -x1-x1 + x - (2n + l)xn十(2n - l)xn+1(1裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。 常见裂项方法：11

12、 ri 1 1n(n +k) k n n + kjiii i_n(n + l)(n + 2)28宜 -_ /- -)3):.-:二；_ r | 4-F- + +-1+- 14L53 75 92n-3 2n +1 2n -1 2n + 3J厶丄丄丄4L3 2n + l 2n + 3Jn(4n+5)3(2n + l)(2n + 3)注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。 在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。1函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例13】等差数列an的首项ai0,前n项的和为S,若S

13、=S（I丰k）问n为何值时Sn最大？解依题意，i殳f口）=彖=口两+口Dd二f （n） =|dn2+ （a! n此函数以n为自变量的二次函数。/ai0 Si=Sk（I丰k）,.dv0故此二次函数的图像开口向下-f（I）=f（k）二当学时f &最丸f G）中，nEN中111 +k二当1+k为偶数时，X 亍时*最大。 当i+k为奇数砒n=L|Al时沫最大。2.方程思想【例14】（1996全国）设等比数列an前n项和为Sn,若S+S6=2S,求数列的公比q。分析本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解 依题意可知1。.如果q=1，则S3=3ai,S6=6ai,S9=9ai。由此应推出ai=0

14、与等比数列不符。/ q丰1.有打(1-q) |坷(1-q)2坷(1-q)9) * 有丙+ 口口求和芯+1I7?+ (2n _ 1) (2n + 3)常用数学思想方法9整理得q3(2q6-q3-1)=0/ q丰0.-2q6- q3-1 = 0= l舍曲；=-此题还可以作如下思考：S=S+q3S3=(l+q)SS9=S8+qSb=Se(l+q+q6)由S3+S6=2Si9可得33663_2+q =2(1+q +q),2q +q =031 V4q=_2*q=_Tc3换元思想【例15】 已知a，b,c是不为1的正数，x，y，zR+,且1 1 2有=t7- c3n -+- -ox z y求证：a,b,c

15、顺次成等比数列。证明依题意令ax=by=cz=kx=1ogak,y=logbk,z=logck*112 1 1 2.+=,.-F- =-s z ylogtk logck logbk故鑒+忡宰即血猫辽k lgk lgkb2=aca,b,c成等比数列(a,b,c均不为0)掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质, 掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。第二讲：高考数列试题的考查特点及应对策略考试说明纵观近几年全国各地高考试题，发现高考数列试题具有贴近基础、模式多变、综合性强 等特点，据此，我们应采取夯实基础、抓住特征，掌握联系

16、等策略，以便于在高考中取得好10成绩。1、试题贴近基础，注重理解能力和推理运算能力的考查。以数列为背景或依托的试题，虽然有易有难，但通常是紧贴着数列基础知识（如有序性、 等差、等比、通项、求和等相关的概念和性质），把考察理解能力和推理运算能力作为基本的要求。对策：对数列相关概念、性质和公式的透彻理解及其恰当的运用，是解答好数列试题的 首要条件和基础，是正确理解题意的前提。对题设和求解目标有了正确认识，才能进一步列 出有效算式，进行推演，获得正确答案。例1:（2002江苏卷）据2002年3月5日九届人大五次会议 政府工作报告：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%.”如果

17、“十五”期间（2001年2005年）每年的国内生产总值都按此年 增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为（）.A.115000亿元B.120000亿元C.127000亿元D.135000亿元例2: （2002年上海卷）若数列an中，a1=3,且an+1=an2（n是正整数）,则数列的通项a2、试题模式多变，注重观察分析能力和数学思维能力的考查。数列试题的模式与形态多式多样，不拘一格。无论题设的给出，还是问题的提法，抑或 求解的要求，都常常打破定势，注意灵活多变，时常有新颖试题出现。这类试题，往往能比 较深刻考察观察和分析问题的能力，对思维的广阔性、灵活性和深刻性有一定要求。对策：解答

18、数列题，洞察并抓住所讨论的数列特征是关键。审题时，务必弄清试题是如 何描述给定的数列，涉及的是一个数列，还是存在关联的若干数列，力求在整体上把握住数 列的变化规律，明确求解的目标，理顺好题设的各种数量关系，进行必要的整合、归纳和转 化，从中找到解答的突破口和求解的途径。具体的推演要注意合乎逻辑，说理充分，计算准 确。_ 2 2例 设an是首项为1的正项数列，且(n+1)an+1-nan+an+1an=0 (n=1,2,3则它的通项公式是an=_。（2000年高考数学试题）解法一、取特殊值法：分别取n=1,2,3，由a1=1,得到a21进而猜测：an=,代入检验合适。n解法、(n+1)an+1n

19、an(an+1+an)=0,/an+计an0,(n+1)an+1nan=0 ,/ (n+1)an+1=nan=(n-1)an-1=1,1 an=n解法三、（n 1）（也）2也-n = 0,anan由此，得：an-n 1a21anna12).尹311将以上各式连乘，得：an_ 1 ?1-an=a1nn例设an是等比数列,Tn=na1+( n-1)a2-2an-1+an.已知T1=1,T2=4.(1)求数列an的首项和公比；（2）求数列Tn的通项公式。（2000年高考数学试题）解：（1）由TI=1,T2=4,可得a1=12哥i+aiq=4ai=1, q=2.（2）解法1:错位相消法：Tn-qTn=

20、naa2-a3-an-an+1a2 _an七=nar -1 -ql,n+1n+1又a1=1, q=2, Tn= -（n+2-2 ）=2 -（n+2）.解法2:记S为an的前n项和，化Tn为Tn=S +S2+S ,. s=a1ak1=2k-1,k=o,1,2,1-q2nn+1- Tn=2+2 +2 -n=2-（2+n）.3、数列为引线，编制综合性强，内涵丰富的试题，比较深入的考查综合素质和学习力。 数列是按一定顺序排列好的一列数。它可以理解为以正整数集（或它的有限子集）为定 义域的函数，能够产生和引发数列问题的背景材料及其丰富，既可以是实际应用，又可以是 各种数学研究对象（如函数、集合、几何图形

21、等等） 。同时，围绕给定的数列，能够提出许多的数学问题，这些问题除数列自身各种性质外，还有大量的外延性的问题，如函数、不等式、 方程、三角、几何性质之类问题。这些现象反映出数列与其它的知识存在着大量的内在联系， 有着广泛的应用。对策：关注各知识板块之间的横向联系，注重综合能力的培养。例1、（2003北京春季试卷）x12bn+1=b1x0.94n+x(1+0.94+0.94n-1)=b1x0.94n+1 -0.94n0.062（本小题满分审分）如图5”在边长为J的等边AABC中0AABC的内 切圆.O Q与0外切冃与AB .BC相切 Q与o a外切冃与AB . BC相切如此无E限继续下公.记G）

22、 G的血积为 g(H E N) *(I)证明 為 是等比数列；(II)求li m(例n - e21 .（1 ） 111 r垢鬪（X半桧，则T tan30 = 2 0F- =si n3( (V* raftfc卷成等比数列例：某城市2001年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新 增汽车数量不应超过多少辆？（2002年高考数学全国卷）解法1:设2001年末汽车保有量为bi万辆,以后各年末汽车保有量依次为b2万辆,b3万辆，,每年新增汽车x万辆，则b1,有bn+1=bnx0.94+x=b

23、n-1X0.942+（1+0 94）x,+ an）的值；C? B2 所以略=2) TI13xx=(30) 0.94n0.060.06x当300,即xW1.8时,bn+1WbnW Wb1=30.0.06xx当300,即X1.8时，并且数列bn逐项增加，可以任意靠近0.060.06因此,如果要求汽车保有量不超过60万辆，即bnW60(n=1,2,3,).x则W60,即xW3.6(万辆).0.06综上，每年新增汽车不应超过3 6万辆.解法2:由解法1知b1=30,-bn+1=0.94bn+x,505050由此可得bn“-x = 0.94(bn-x),这说明数列bn-是等比数列，3335050ni50

24、50ni因而bnx=(30 x) 0.94nJ即bnx (30 x) 0.94n,3333解法3：由bn+1=0.94bn+X，得bn=0.94bn-1+X,两式相减得bn+1-bn=0.94(bn-bn-1).(1)若b2-b1=0,则bn+1-bn=bn-bn-1=0,即bn=bn-1=b1=30,此时x=30 - 30X0.94=1.8;(2)若b2-b1丰0,则数列bn+1-bn是以b2-b1=x-1.8为首项,以0.94为公比的等比数列,从而bn+1-bn=0.94n(x-1.8).即有bn=b1+(b2-b1)+(bn-bn-1) =30+0.94(x-1.8)+0.942(x-1.8)+0.94n-1(x-1.8)0.06解法4:依题意要求汽车保有量不超过60万辆，即bnW60(n=1,2,3,),1解这个关于x的一元一次不等式，得xW1.8(17)1-0.941令f(n)=1.8(1応)1-0.94.f(n)是关于n的单调递减函数，当n趋于无穷大时，要使(* )式恒成立，当且仅当xW3.6.故每年新增汽车不应超过解法5:换一种思维方式来思考本题，会发现用小学数学知识就能求解.如果每年新增汽车的数量比年末报废汽车的数量要少，那么汽车的保有量就要逐年减少,这显然能使该城市汽车保有量不超过60