第03章 资金的时间价值与等值计算

1、n第第3章章资金的时间价值与等值计算资金的时间价值与等值计算n一、资金的时间价值与资金等值一、资金的时间价值与资金等值q掌握相关概念掌握相关概念n二、利息与利率二、利息与利率q掌握利息与利率的基本涵义掌握利息与利率的基本涵义n三、资金的等值计算三、资金的等值计算q重点掌握各等值计算公式的推导重点掌握各等值计算公式的推导n预习：预习：资本是什么？资本是什么？n日常生活中常见：今天你是否该买东西或日常生活中常见：今天你是否该买东西或是把钱存起来以后再买？是把钱存起来以后再买？n例如你有例如你有1000元，并且你想购买元，并且你想购买1000元的元的冰箱。冰箱。q如果你立即购买，就分文不剩；如果你立

2、即购买，就分文不剩；q如果你把如果你把1000元以元以6%的利率（收益率）进行的利率（收益率）进行投资，一年后你可以买到冰箱并有投资，一年后你可以买到冰箱并有60元的结余。元的结余。（假设冰箱价格不变）（假设冰箱价格不变）q如果同时冰箱的价格由于通货膨胀而每年上涨如果同时冰箱的价格由于通货膨胀而每年上涨8%，那么一年后你就买不起这个冰箱。，那么一年后你就买不起这个冰箱。n最佳决策是立即购买冰箱。最佳决策是立即购买冰箱。q只有投资收益率通货膨胀率，才可推迟购买只有投资收益率通货膨胀率，才可推迟购买q2000年我国年我国GDP为为99214.6亿，亿，2010年年GDP为为397983.15亿，数

3、值倍数为亿，数值倍数为4.01。按公布的。按公布的GDP实际增长率计算数值倍数为实际增长率计算数值倍数为2.71。通货膨。通货膨胀胀47.97%。n也即：不同时间发生的等额资金在价值上也即：不同时间发生的等额资金在价值上的差别，称为的差别，称为资金的时间价值资金的时间价值，如利润、，如利润、利息。利息。q投资者看：资金具有增值特性投资者看：资金具有增值特性q消费者看：对放弃现期消费带来损失的一种补消费者看：对放弃现期消费带来损失的一种补偿偿n影响资金时间价值的因素：影响资金时间价值的因素：q1）投资收益率）投资收益率q2）通货膨胀率）通货膨胀率q3）项目风险）项目风险如何理解资金的如何理解资金

4、的时间价值？时间价值？通俗地说通俗地说钱能生钱钱能生钱n既然资金具有时间价值，则在既然资金具有时间价值，则在不同时点不同时点付付出或得到的出或得到的同样数额同样数额的资金，其的资金，其经济价值经济价值是不同是不同的。的。n资金等值资金等值：在利率的作用下，不同时点发：在利率的作用下，不同时点发生的、绝对值不等的资金具有相等的经济生的、绝对值不等的资金具有相等的经济价值。价值。n例如：今天拟用于购买冰箱的例如：今天拟用于购买冰箱的1000元，与元，与放弃购买去投资一个年收益率为放弃购买去投资一个年收益率为6的项目，的项目，在一年后获得的在一年后获得的1060元相比，二者具有相元相比，二者具有相同

5、的经济价值。同的经济价值。n利用等值的概念，把一个时点发生的资金利用等值的概念，把一个时点发生的资金金额换算成另一个时点的等值金额的过程，金额换算成另一个时点的等值金额的过程，称为称为资金的等值计算资金的等值计算。等值计算是。等值计算是“时间时间可比可比”的基础。的基础。2010年的年的1000元元与与2011年的年的1060元元是等值资金是等值资金2010.11年利率年利率6%2011.111000元元1060元元n钱生钱，利滚利钱生钱，利滚利n在经济社会里，货币本身就是一种在经济社会里，货币本身就是一种商品商品。利（息）率利（息）率是货币（资金）的是货币（资金）的价格价格。n利息利息是使用

6、（占用）资金的是使用（占用）资金的代价（成本）代价（成本），或是放弃资金的使用所获得的或是放弃资金的使用所获得的补偿补偿，其数，其数量取决于量取决于q1）使用的资金量）使用的资金量q2）使用资金的时间长短）使用资金的时间长短q3）利率）利率n设设P为本金，为本金，I为一个计息周期内的利息，为一个计息周期内的利息，则利率则利率i为为:%100PIiFPIPPin本利和本利和F:n单利法单利法：仅对本金计息，利息不生利息：仅对本金计息，利息不生利息)(niPFinPInn1n: 计息期数计息期数F: 本利和本利和n复利法复利法：当期利息计入下期本金一同计息，：当期利息计入下期本金一同计息，即利息也

7、生息。（利滚利）即利息也生息。（利滚利）nniPF1nnnniPiFFFiPiFFFiPiFFFiPiPPF111111322321121n举例：存入银行举例：存入银行1000元，年利率元，年利率6%，存期，存期5年，求本利和。年，求本利和。同一笔资金，同一笔资金，i、n相同，用复利法计息相同，用复利法计息比单利法要多出比单利法要多出38.23元，元，复利法更能反映实复利法更能反映实际的资金运用情况际的资金运用情况。1000(1 5 6%)1300F 单利法：单利法：51000(1 6%)1338.23F 复利法：复利法：n当当利率的时间单位利率的时间单位与与计息周期计息周期不一致时，不一致时

8、，若采用复利计息，会产生名义利率与实际若采用复利计息，会产生名义利率与实际利率不一致问题。利率不一致问题。n名义利率名义利率r：计息周期利率与一年内计息次：计息周期利率与一年内计息次数数n的乘积。的乘积。n在单利计息条件下，名义利率实际利率在单利计息条件下，名义利率实际利率n在复利计算条件下，名义利率在复利计算条件下，名义利率实际利率实际利率n若名义年利率为若名义年利率为r，一年中计息次数，一年中计息次数n，则，则一个计息周期的利率为一个计息周期的利率为r/nnnrPF1一年后本利和一年后本利和11nnrPPFI年利息年利息11nnrPIi年年实际利率实际利率n举例：本金举例：本金1000元，

9、年利率元，年利率12%q每年计息一次，一年后本利和为每年计息一次，一年后本利和为1120%)121 (1000Fq每月计息一次，一年后本利和为每月计息一次，一年后本利和为q计算年实际利率计算年实际利率8 .1126)1212. 01(100012 F%68.12%100100010008 .1126 in当当n=1时，时，i=r，实际利率，实际利率名义利率名义利率n当当n1时，时，ir，实际利率，实际利率名义利率，且名义利率，且n越大，即一年内计算复利的有限次数越多，越大，即一年内计算复利的有限次数越多，则实际利率相对于名义利率就越高。则实际利率相对于名义利率就越高。n决定资金等值的决定资金等

10、值的三要素三要素：q1）资金数额；）资金数额；q2）资金发生的时刻；）资金发生的时刻；q3）利率（收益率）利率（收益率）n折现（折现（Discount贴现）贴现）：把：把将来将来某一时点的某一时点的资金金额换算成资金金额换算成现在时点（基准时点）现在时点（基准时点）的的等值金额的过程。等值金额的过程。n现值现值P( Present Value)：折现到计算基准时：折现到计算基准时点点(通常为计算期初通常为计算期初)的资金金额。的资金金额。n终值终值F( Final Value)（未来值）（未来值）：与现值相：与现值相等的将来某一时点上的资金额。等的将来某一时点上的资金额。q现值和终值是相对的。

11、两时点上的等值资金，现值和终值是相对的。两时点上的等值资金，前时刻相对于后时刻，为现值；后时刻相对于前时刻相对于后时刻，为现值；后时刻相对于前时刻，为终值。前时刻，为终值。n年值年值A( Annual Value)：与某笔现值或终值：与某笔现值或终值相等的，发生在每年的资金序列。相等的，发生在每年的资金序列。n折现率折现率：等值计算的利率（假定是反映市：等值计算的利率（假定是反映市场的利率）。场的利率）。n一次支付类型（整付）一次支付类型（整付）12nn10P（现值）（现值）12nn10F（将来值）（将来值）q整付现值计算整付现值计算q整付整付终值计算终值计算n等额分付类型等额分付类型12nn

12、10 A（等额年值）（等额年值）12nn10F（将来值）（将来值）q等额分付等额分付偿债基金偿债基金q等额分付等额分付终值终值n等额分付类型等额分付类型12nn10A（等额年值）（等额年值）12nn10P（现值）（现值）q等额分付等额分付资本回收资本回收q等额分付等额分付现值现值n一次支付类型（整付）一次支付类型（整付）q整付终值计算整付终值计算：已知期初投资为：已知期初投资为P，利率为，利率为i，求第求第n年末收回的本利和（终值）年末收回的本利和（终值）F。12nn10P（现值）（现值）12nn10F（将来值）（将来值）),/(1niPFPiPFnni1niPF,/称为称为整付终值系数整付终

13、值系数，记为，记为n例：某人把例：某人把1000元存入银行，设年利率为元存入银行，设年利率为3%，5年后全部提出，共可得多少元？年后全部提出，共可得多少元？)(1159159. 110005%,3 ,/10001元PFiPFnn一次支付类型（整付）一次支付类型（整付）q整付现值计算整付现值计算：已知未来第：已知未来第n年末将需要或获得年末将需要或获得资金资金F，利率为，利率为i，求期初所需的投资，求期初所需的投资P 。12nn10P（现值）（现值）12nn10F（将来值）（将来值）),/(11niFPFiFPnni1niFP,/称为称为整付现值系数整付现值系数，记为，记为niPF1n例：你准备

14、毕业工作后尽快结婚买房，成例：你准备毕业工作后尽快结婚买房，成家立业，预计家立业，预计5年后需要资金年后需要资金1000万元，设万元，设年利率为年利率为10%，问现需要存入银行多少资，问现需要存入银行多少资金？金？)(9 .6206209. 010005%,10,/10001万元FPiFPnn等额分付类型等额分付类型-等额分付终值计算等额分付终值计算q等额分付等额分付终值计算终值计算：已知一个投资项目在每期已知一个投资项目在每期期末有年金期末有年金A发生，设收益率为发生，设收益率为i，求折算到第，求折算到第n年末的总收益年末的总收益F 。12nn10 A（等额年值）（等额年值）12nn10F（

15、将来值）（将来值）n等额分付类型等额分付类型-等额分付终值计算等额分付终值计算12nn10A(已知已知)F(未知未知)12(1)(1)(1)nnFAiAiAiA12(1)(1)(1)(1)(1)nnFiAiAiAiAi(1)nF iAiA(1)1(/, , )niFAA F A i ni称为称为等额分付终值系数等额分付终值系数，记为，记为(1)1nii(/, , )F A i nn例：你准备毕业后在母校设立奖学金，现例：你准备毕业后在母校设立奖学金，现每年年末存入银行每年年末存入银行2万元，若存款利率为万元，若存款利率为3%。第。第5年末可得款多少？年末可得款多少？)(618.10309. 5

16、25%,3 ,/11万元AFAiiAFnn等额分付类型等额分付类型-等额分付等额分付偿债基金偿债基金q等额分付等额分付偿债基金偿债基金：已知已知F，设利率为，设利率为i，求，求n年年中每年年末需要支付的等额金额中每年年末需要支付的等额金额A 。12nn10 A（等额年值）（等额年值）12nn10F（将来值）（将来值）n等额分付类型等额分付类型-等额分付等额分付偿债基金偿债基金12nn10A(未知未知)F(已知已知)(/, , )11niAFF A F i ni称为称为等额分付偿债基金系数等额分付偿债基金系数，记为，记为11niiA/F,i,n1(/, , )(/, , )A F i nF A

17、i n(1)1(/, , )niFAA F A i nin例：你家欲积累一笔资金，用于例：你家欲积累一笔资金，用于3年后你毕年后你毕业时创业。预计创业需投资业时创业。预计创业需投资200万元，设利万元，设利率为率为5%，问每年末至少要存多少钱？，问每年末至少要存多少钱？)(442.6331721. 02003%,5 ,/11万元FAFiiFAnn等额分付类型等额分付类型-等额分付等额分付现值计算现值计算q等额分付等额分付现值计算现值计算：某方案投资金额某方案投资金额P，预计在，预计在未来的未来的n年内，可以在每年年内，可以在每年年末年末获得相同数额的获得相同数额的收益收益A，设折现率为，设折现

18、率为i，问，问P是多少？是多少？12nn10A（等额年值）（等额年值）12nn10P（现值）（现值）n等额分付类型等额分付类型-等额分付等额分付现值计算现值计算11(/, , )1nniPAA P A i niiA（已知）（已知） 0 1 2 n-1 nP（未知）（未知）21(1)(1)nAAAPiii1(1)1(1)nAAPiAiiP/A,i,n称为称为等额分付现值系数等额分付现值系数，记为，记为111nniiin例：你准备贷款买房，预计工作后每年能例：你准备贷款买房，预计工作后每年能还还2万元，打算万元，打算15年还清，假设银行的按揭年还清，假设银行的按揭年利率为年利率为5%，最多能贷款多

19、少？，最多能贷款多少？万元76.20380.10215%,5 ,/2111APiiiAPnnn等额分付类型等额分付类型-等额分付等额分付资本回收资本回收q等额分付等额分付资本回收资本回收：已知某方案或投资项目期初已知某方案或投资项目期初投资额为投资额为P，设收益率为，设收益率为i，求在，求在n年内每年年末年内每年年末可以回收的等额资金可以回收的等额资金A 。12nn10A（等额年值）（等额年值）12nn10P（现值）（现值）n等额分付类型等额分付类型-等额分付等额分付资本回收资本回收1(/, , )11nniiAPP A P i niA（未知）（未知） 0 1 2 n-1 nP（已知）（已知）

20、A/P,i,n称为称为等额分付资本回收系数等额分付资本回收系数，记为，记为111nniii1(/, , )(/, , )A P i nP A i n11(/, , )1nniPAA P A i niin例：你准备投资例：你准备投资20万元购买商铺出租，希万元购买商铺出租，希望在望在5年内等额收回全部投资，若折现率为年内等额收回全部投资，若折现率为15%，问每年租金至少应收多少？，问每年租金至少应收多少？)(9664. 529832. 0205%,15,/20111万元PAiiiPAnnn例：你准备投资例：你准备投资5000万新建一民办学校，万新建一民办学校，希望开建后希望开建后10年内收回投资

21、，平均每个学年内收回投资，平均每个学生的学费是生的学费是12000/年。年利率为年。年利率为6%时，学时，学校平均每年在校学生至少应为多少？校平均每年在校学生至少应为多少？567(人)567(人)12000120001010679.35679.35在校学生人数在校学生人数679.35(万元)679.35(万元)0.135870.1358750005000%,10)%,10)5000(A/P,65000(A/P,6n)n)i,i,P(A/P,P(A/P,A A4 4n等额分付类型：疑似等额分付等额分付类型：疑似等额分付AA疑似疑似!n疑似等额分付疑似等额分付：若等额分付的：若等额分付的A发生在每

22、年发生在每年年初年初，则需将年初值折算为当年的，则需将年初值折算为当年的年末值年末值后，再运用等额分付公式。后，再运用等额分付公式。3AF0n12n- -1 14AiniiAiniAFiAA111111n例：假设你家境困难，需贷款读书，每年例：假设你家境困难，需贷款读书，每年初从银行贷款初从银行贷款6000元，年利率为元，年利率为4%，4年年后毕业时共计欠银行本利和为多少？后毕业时共计欠银行本利和为多少？ 元04.26495246. 404. 160004%,4 ,/04. 01600011111AFiiiAiiAFnnn永久年金永久年金：无限期的等额分付现值计算：无限期的等额分付现值计算iA

23、PiiiiniiiAPnnnnn1)1 (1)1 (lim,111时当q在大多数情况下，年金都是在大多数情况下，年金都是在有限时期内发生的。在有限时期内发生的。q但实际上，有些年金是无限但实际上，有些年金是无限的，如公司的经营就具有连的，如公司的经营就具有连续性，可认为有无限寿命。续性，可认为有无限寿命。q又比如永久性的基金。又比如永久性的基金。n例：你准备在母校设立奖学金，每年颁发例：你准备在母校设立奖学金，每年颁发10万元，在银行存款利率为万元，在银行存款利率为3%的情况下，的情况下，现在需向银行存入多少钱？现在需向银行存入多少钱？333.33(万元)333.33(万元)3%3%1010i

24、 iA AP Pn或：你准备出资或：你准备出资10万元在母校设立奖学金，万元在母校设立奖学金，在银行存款利率为在银行存款利率为5%的情况下，每年可颁的情况下，每年可颁发的奖学金金额多少？发的奖学金金额多少？10 5%0.5()AP i 万元已知 未知 P P F F A Aq3组互为逆运算的公式组互为逆运算的公式q3对互为倒数的等值计算系数（复合利率）对互为倒数的等值计算系数（复合利率）n现值与将来值之间的换算现值与将来值之间的换算12nn10P（现值）（现值）12nn10F（将来值）（将来值）q以上两式亦可记作：以上两式亦可记作：(/, , )FP F P i n(/, , )PF P F

25、i n1nFPi11nPFin等额年值与将来值之间的换算等额年值与将来值之间的换算q以上两式亦可记作：以上两式亦可记作：12nn10 A（等额年值）（等额年值）12nn10F（将来值）（将来值）iiAFn1111niiFAF/A,i,nAF A/F,i,nFA n等额年值与现值之间的换算等额年值与现值之间的换算12nn10A（等额年值）（等额年值）12nn10P（现值）（现值）P/A,i,nAP A/P,i,nPA nniiiAP111111nniiiPAniAP q永久年金永久年金n特殊变额分付类型特殊变额分付类型q等差序列现金流的等值计算等差序列现金流的等值计算n特殊变额分付类型特殊变额分

26、付类型q等差序列现金流的等值计算等差序列现金流的等值计算221 (1)1(/, , )/, , )/, , )(1)1/, , )(1)(1)/, , )/, , )(/, , )(1)1(1)(1)1(1)(1)1(1)1nGnGGnnGGnnnnnninFA i nnFG i niiiiiFG i niinPG i niiiAG i nPG i nA P i niiniiiiniiiii 终终值值系数系数（）（）现现值值系数系数（年年值值系数系数（）（）（）（）231231122112121211112 12 11 1112 12 11 111()()()()()().() ()() ()

27、()().()()()()()()().()()()()()().(nnGnnGnnGGPGiGinGinGiPiininiGPiiininiGPiiiG11111 11111()()()()() .()()()nnnnniniiiiniq以等差序列现值计算为例以等差序列现值计算为例n例：某公司发行的股票面值例：某公司发行的股票面值120元，第一年元，第一年股息股息10%，预计以后每年股息增加，预计以后每年股息增加1.8元，元，10年后股票以面值一半回购。若年后股票以面值一半回购。若10年内希年内希望达到望达到12%的投资收益率，问目前投资购的投资收益率，问目前投资购进该股票是否合算？进该股票

28、是否合算？/,12%,10)60(/,12%,10)12 5.65021.8 20.254160 0.3220123.58(GPPGP F=12(P/A,12%,10)+1.8(=12(P/A,12%,10)+1.8(元元） 1120 10%12,1.8,10,120602AGnF1 1因此合算。因此合算。 q解：购进股票在解：购进股票在12%收益下未来收益下未来10年的收益现值年的收益现值n特殊变额分付类型特殊变额分付类型q等比序列现金流的等值计算等比序列现金流的等值计算n特殊变额分付类型特殊变额分付类型q等比序列现金流的等值计算等比序列现金流的等值计算123(1)2(1)(1)(1).(1

29、)11111nniiiiPAAqAqAqqh其其中中 1231223(1)1(1)2(1)(1)(1).(1)1111(1)(1)(1)(1) (1).(1)(1)1111(1)1nnnniiii h= iiiiiiiiiPAAqAqAqAAAAAn特特别别 当当时时 n特殊变额分付类型特殊变额分付类型q等比序列现金流的等值计算等比序列现金流的等值计算111 (1) (1),1nnhiAi hi hnAi hiP 其其中中，其其中中2(1)(1), , , )(, , , )(1), , , )(, , , )(/, , )nnihi h nPi h niihi h nPi h n A P i

30、 n11111111终终值值系系数数（F/A/AF/A/A年年值值系系数数（A/A/AA/A/A n例：如果租赁某仓库，目前年租金为例：如果租赁某仓库，目前年租金为5000，预计租金在今后预计租金在今后20年内每年上涨年内每年上涨6%。如果购。如果购买该仓库，需一次性支付买该仓库，需一次性支付70000，预计，预计20年年后能以原价后能以原价2倍出售。若投资收益率设定为倍出售。若投资收益率设定为15%，问是租赁合算还是购买合算？，问是租赁合算还是购买合算？ 解：租赁仓库，解：租赁仓库，20年内全部租金的现值：年内全部租金的现值： 15000,15%,6%,20)5000 8.933844669

31、P 1 1（P/AP/A（元元）购买仓库，全部费用的现值：购买仓库，全部费用的现值： 270000140000 (/,15%,20)70000140000 0.066161446PP F（元元）租赁更合算租赁更合算 n计息周期等于支付期计息周期等于支付期：设年利率：设年利率12，每，每季计息一次，从现在起三年内每季末季计息一次，从现在起三年内每季末200元元等额值支出，问与其等值的终值是多少。等额值支出，问与其等值的终值是多少。解：解：irm0124003.（次）1234n计息周计息周期利率期利率计息计息期数期数FA FA i nFA/, ,/, .,.20000312283840 1 2 3

32、 4 8 12（季度）（季度） 1年年 2年年 3年年200n计息周期等于支付期计息周期等于支付期：你分期付款购买价：你分期付款购买价值值2000元的手机，在元的手机，在2年内分年内分24次偿还。次偿还。每月偿还每月偿还99.80元，复利按月计算，试求月元，复利按月计算，试求月实际利率、年名义利率和年实际利率。实际利率、年名义利率和年实际利率。9980200024./, ,A P iA P i/, ,.249980200000499即即 解：解：年实际利率年实际利率 ic 15%.r ic 12 18%irmm 111018121 1956%12.查表可得查表可得 月实际利率月实际利率年名义利率年名义利率n计息周期小于支付期计息周期小于支付期：你勤工俭学每半年：你勤工俭学每半年存入银行存入银行500元，共三年，年利率元，共三年，年利率8，每，每季复利一次，试问季复利一次，试问3年底你帐户总额。年底你帐户总额。n方法一：先求计息期实际利率，再进行复方法一：先求计息期实际利率，再进行复利计算利计算 计息周期总数为计息周期总数为12（季）（季）%24%8季i500/,2%,10500/,2%,8500/,2%,6 500/,2%,