第2章 测量误差分析及处理-3

1、电子测量技术电子测量技术第1页电子测量技术电子测量技术第2页电子测量技术电子测量技术第3页 1iipixE(X) dxxxpXE)()( 电子测量技术电子测量技术第4页011111niiniiniiniixnnxxnx电子测量技术电子测量技术第5页niinn121lim212)(1limxininExn2121limininn电子测量技术电子测量技术第6页为什么测量数据和随机误为什么测量数据和随机误差大多接近正态分布？差大多接近正态分布？电子测量技术电子测量技术第7页)2exp(21)(22 p2)(exp21)(22 xxp0)2exp(21)()(22 ddpE222222)2exp(21

2、)()0()( ddpED 2 电子测量技术电子测量技术第8页 随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏差相同，只是横坐标相差差相同，只是横坐标相差 ( (a a) )随随 机机 误误 差差( (b b) ) 测测 量量 数数 据据0 )( p x xp p( (x x) )0 0图图 3 3 1 1 随随 机机 误误 差差 和和 测测 量量 数数 据据 的的 正正 态态 分分 布布 曲曲 线线随机误差具有：对称性随机误差具有：对称性 单峰性单峰性 有界性有界性 抵偿性抵偿性 电子测量技术电子测量技术第9页 0)(p1 2 3 电子测

3、量技术电子测量技术第10页 a bP(x)概率密度概率密度: :均值均值: : 当当 时时, ,标准差标准差: : 当当 时，时， 01)(abxpbxaxbxa ,2ba ba 1222ab3bba 0 电子测量技术电子测量技术第11页997.021322233deP电子测量技术电子测量技术第12页内包含真值的概率称为置信概率内包含真值的概率称为置信概率 k kxEx )(置信概率是图中置信概率是图中阴影部分面积阴影部分面积电子测量技术电子测量技术第13页 kkdpkPkxExP)()(997. 0)2exp(21)()3(223333 ddpP区间越宽，区间越宽，置信概率越大置信概率越大电

4、子测量技术电子测量技术第14页k（P=1)反正弦均匀三角分布236k k a 3a 3akka 3 k- -a aa aP P( (x x) )x x0 0电子测量技术电子测量技术第15页用事件发生的频度代替事件发生的概率，当用事件发生的频度代替事件发生的概率，当 则则nnxpxXEimiimiii 11)(令令n n个可相同的测试数据个可相同的测试数据x xi i(i=1.2(i=1.2,n),n) 次数都计为次数都计为1 ,1 ,当当 时，则时，则 niiniixnnxXE1111)( n n（1 1）有限次测量的数学期望的估计值）有限次测量的数学期望的估计值算术平均值算术平均值被测量被测

5、量X X的数学期望，的数学期望，就是当测量次数就是当测量次数 时，各次测量值的算术时，各次测量值的算术平均值平均值 n电子测量技术电子测量技术第16页 niixnx11有限次测量值的算术平均有限次测量值的算术平均值比测量值更接近真值？值比测量值更接近真值？ 电子测量技术电子测量技术第17页*)()()(1)(1)1()(222122122122nniiniixxxnxnxnx )(1)(1222XnXnn nXx)()( n电子测量技术电子测量技术第18页算术平均值算术平均值：残差：残差：实验标准偏差实验标准偏差（标准偏差的估计值），标准偏差的估计值），贝塞尔公式贝塞尔公式：算术平均值标准偏差

6、的估计值算术平均值标准偏差的估计值 ：xxii niiniixxnn1212)(1111nx niixnx11电子测量技术电子测量技术第19页 【例【例2.4.12.4.1】 用温度计重复测量某个不变的温度，得用温度计重复测量某个不变的温度，得1111个个测量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。测量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。解：平均值解：平均值 用公式用公式 计算各测量值残差列于上表中计算各测量值残差列于上表中实验偏差实验偏差 标准偏差标准偏差 x=530.1 1.59 x=530.1 1.59 )( 1 .530)53153053253052953353

7、1527529531528(11111Cxnxonii xxii )(767.111)(12Cnxsonii )(53.011767.1)()(Cnxsxso x电子测量技术电子测量技术第20页 c a 0 t 图3 7 多 种 系 统 误 差 的 特 征 其 中 ： a -不 变 系 差 b -线 性 变 化 系 差 c -周 期 性 系 差 d -复 杂 规 律 变 化 系 差 d b 在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。

8、多次测量求平均不能减少系差多次测量求平均不能减少系差。 电子测量技术电子测量技术第21页电子测量技术电子测量技术第22页ii0ii0 存在线性变化的系统误差存在线性变化的系统误差无明显系统误差无明显系统误差累进性系差电子测量技术电子测量技术第23页21111snniii 2/112/ninniiiD 2/)1(12/)1(ninniiiD（5）公式判断法电子测量技术电子测量技术第24页电子测量技术电子测量技术第25页电子测量技术电子测量技术第26页电子测量技术电子测量技术第27页电子测量技术电子测量技术第28页电子测量技术电子测量技术第29页 niixnx11xxii 01 nii niins

9、1211 nssx xskxA 电子测量技术电子测量技术第30页1205.300.090.099205.710.410.410.50.52204.94-0.4-0.4-0.27-0.2710204.7-0.6-0.6-0.51-0.513205.630.330.330.420.4211204.86-0.44-0.44 -0.35-0.354205.24-0.1-0.10.030.0312205.350.050.050.140.145206.651.351.3513205.21-0.09-0.09 06204.97-0.3-0.3-0.24-0.2414205.19-0.11-0.11 -0.0

10、2-0.027205.360.060.060.150.1515205.21-0.09-0.09 08205.16-0.1-0.1-0.05-0.0516205.320.020.020.110.11残残 差差残残 差差测量值测量值序号序号残残 差差 残残 差差序号序号测量值测量值电子测量技术电子测量技术第31页电子测量技术电子测量技术第32页-0 .8-0 .6-0 .4-0 .200 .20 .40 .6图 3 9 残 差 图51 01 5ni电子测量技术电子测量技术第33页电子测量技术电子测量技术第34页1niiifyxx 电子测量技术电子测量技术第35页1. 和差函数的合成误差和差函数的合

11、成误差设y=x1x2y+y=(x1+x1)(x2+x2)以上两式相减得绝对误差为 y=x1x2 (2.6-7)当x1、 x2符号不能确定时， 同式(2.6-4)一样的考虑， 取y=(|x1|+|x2|) (2.6-8)2.2.4.4.7.27.2常用函数的合成误差常用函数的合成误差电子测量技术电子测量技术第36页相对误差为2121xxxxyyy(2.6-9)或者写成：221212112212212111 )()(xxyxxxxxxxxxxxxxxxx(2.6-10)电子测量技术电子测量技术第37页对于和函数， 由式(2.6-8)得(2.6-11)|22121211xxyxxxxxx对于差函数，

12、 有(2.6-12)|22121211xxyxxxxxx由式(2.6-12)可见， 对于差函数， 当测量值x1、 x2较接近时， 可能造成较大的误差。电子测量技术电子测量技术第38页2. 积函数的合成误差积函数的合成误差设y=x1 x2， 由式(2.6-3)得绝对误差为2112222111211 )()(xxxxxxxxxxxxxxyyinii相对误差为212211212112xxyxxxxxxxxxxyy(2.6-13)若x1、 x2都有正负号， 则y=(|x1|+|x2|) (2.6-14)电子测量技术电子测量技术第39页3. 商函数的合成误差商函数的合成误差设y=x1x2, x1、 x2的绝对误差分别为x1、 x2， 则由式(2.6-3)得绝对误差为222112222111211xxxxxxxxxxxxxy(2.6-15)相对误差为212211xxyxxxxyy(2.6-16)若x1、 x2都带有正负号， 则y=(|x1|+|x2|) (2.6-17)电子测量技术电子测量技术第40页4. 幂函数的合成误差幂函数的合成误差设y=kxm1 xn2, k为常数， 将积函数的合成误差公式略加推广得y=mx1+nx2(2.6-