复变函数与积分变换期末考试试卷A及答案

1、WORD格式?复变函数与积分变换?期末试题（ A）答案及评分标准?复变函数与积分变换?期末试题（ A）一填空题（每小题3 分，共计 15 分）1 1 i 3 的 幅角 是（2k , k 0, 1, 2 ）； 2. Ln( 1i ) 的主 值是231 ln 23i ）；3.f ( z)1(5) (0) （ 0（2 ， f）；241zzsin z14z0 是z4的（一级）极点；5 f (z)z ，Res f ( z), （-1 ）；二选择题（每小题3 分，共计 15 分）1解析函数 f (z)u( x, y)iv ( x, y) 的导函数为（B）；（A） f ( z)uxiu y ； （B） f

2、( z)uxiu y ；（C） f ( z)u xiv y ； （D） f ( z)u yiv x .2C是正向圆周 z3 ，如果函数f (z)（D ），则( )d0 Cfz z（A）3； （B） 3(z 1) ； （ C） 3( z1)； （D）3.z 2z 2(z 2) 2( z 2)23如果级数n 1cn zn在 z2 点收敛，则级数在（C）（ A） z2点条件收敛 ；（B） z2i点绝对收敛；（ C） z1i 点绝对收敛；（ D） z12i点一定发散下列结论正确的是 (B)（A）如果函数 f ( z) 在 z0 点可导，则 f ( z) 在 z0 点一定解析；专业资料整理共6页第1 页

3、(B) 如果 f (z) 在 C 所围成的区域内解析，则 f (z)dz 0C（ C）如果f (z)dz 0，则函数 f ( z) 在 C 所围成的区域内一定解析；C（ D）函数 f (z)u( x, y) iv (x, y) 在区域内解析的充分必要条件是u( x, y) 、 v( x, y) 在该区域内均为调和函数5下列结论不正确的是（D）(A)为sin1 的可去奇点；(B)为的本性奇点；zsin z(C)为1的孤立奇点 ;(D)为1 的孤立奇点 .sin1sin zz三按要求完成下列各题（每小题10 分，共计 40 分）（ 1）设 f ( z)x2axyby 2i (cx2dxyy 2 )

4、 是解析函数，求 a, b,c, d.（ 2）计算ez2 dz 其中 C 是正向圆周： z 2 ；1)C z( z（ 3）计算z15z 3 (1 z2 ) 2 (2z4 )3 dz（ 4）函数 f ( z)z( z21)( z2)3 ( z3) 2(sinz)3在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级 .四、（本题 14 分）将函数 f (z)1在以下区域内展开成罗 朗级数；z2 ( z 1)（1） 0z 1 1，（2） 0 z1 ，（3） 1 z五（本题 10 分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题y ( x)5 y ( x)4 y( x)e xy(0)y (0

5、)1共6页第2 页六、（本题 6 分）求 f (t)e t (0)cos t2 de202的傅立叶变换，并由此证明：t三按要求完成下列各题（每小题10 分，共 40 分）（ 1 ） 设 f( )x2axy by2(cx2dxy y2 )是解析函数，求zia,b, c, d.解：因为 f ( z) 解析，由 C-R 条件uvuvxyyx2xaydx2 y ax2by2cxdy,a2, d2, ， a2c,2bd , c1, b1,给出 C-R 条件 6 分，正确求导给2 分，结果正确2 分。（ 2）计算ez2dz 其中 C 是正向圆周：C (z1)z解：本题可以用柯西公式 柯西高阶导数公式计算也

6、可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程ez因为函数 f (z)(z 1) 2 z 在复平面内只有两个奇点 z1 0,z21，分别以 z1,z2为 圆 心 画 互 不 相 交 互 不 包 含 的 小 圆 c1 ,c2且 位 于 c内ezez2ezdz( z 1)z2 dzC ( z 1)2zdzC2 ( z1)zC 12 i ( ez )2 iez2 izz 1(z1)2z 0无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。（3）z152 ) 2 (2z4 )3 dzz 3 (1 z解：设 f (z) 在有限复平面内所有奇点均在： z3 内，由留数定理共6页第3 页z15z4 ) 3

7、 dz2 i Res f ( z),-（5 分）z3 (1z2 ) 2 (22 i Res f ( 1 )1-（8分）zz211( 1)151zf (z)z2(11) 2 ( 2(1 )4 )3 z2z2zf (1113 有唯一的孤立奇点 z0,)z2z(1z2)2(2z41)zRe s f ( 1) 12 ,0limzf ( 1)12lim22 141)31z zz 0z zz 0 (1 z) (2zz15dz2 i-（10 分）z 3 (1 z2 ) 2(2 z4 )3（ 4）函数 f ( z)z( z21)( z2)3( z3) 2在扩充复平面上有什么类型的奇(sinz)3点？，如果有极

8、点，请指出它的级 .解：f (z)z( z21)( z2)3 ( z3)2的奇点为 zk, k0,1,2,3, ，(sinz)3（ 1） zk , k0,1,2,3,为（ sin30的三级零点，z）（ 2）（ 3）z0， z1,为f ( z)的二级极点，z2是 f ( z)的可去奇点，z 3为 f ( z)的一级极点，（ 4） z2, 3, 4，为 f ( z)的三级极点；（ 5） 为 f (z)的非孤立奇点。备注：给出全部奇点给5 分 ，其他酌情给分。四、（本题 14 分）将函数 f (z)1在以下区域内展开成罗 朗级数；2( z 1)z（1）0z 1 1 ，（ 2） 0z 1 ，（ 3）

9、1 z解：（ 1）当 0 z1 1共6页第4 页f (z)111z2 (z 1)(z 1) ( z 1 1)而 11)( 1)n (z 1) n ( z1n 0(1) n n( z1)n 1n0f ( z)(1)n 1 n(z1)n 2-6分n0（2）当 0z1f (z)111znz2 (z 1)z2 (1 z) =z2n 0n 0zn2-10分（3）当 1zf ( z)11z2 ( z1)31z)(1zf ( z)1( 1 )n1-14分z3n 0zn 0 zn3每步可以酌情给分。五（本题 10 分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题：y ( x)5 y ( x)4y( x)e

10、xy(0)1y (0)1解：对 y(x) 的Laplace 变换记做 L(s)，依据Laplace 变换性质有s2 L( s)s 1 5(sL(s) 1) 4L( s)1（5分）s 1整理得共6页第5 页L (s)11(s1)(s1)( s4)s11111（7 分）10( s1)6(s1)15( s4)s115110( s1)6(s1)15( s4)y( x)1e x5ex1e4x（ 10 分）10615六、（ 6 分）求 f (t)et ( 0) 的傅立叶变换，并由此证明：cos tet022 d2解：F()e it et dt (0)-3分F ( )0e i t e t dt(0)e i

11、t e tdt00e(i ) tdte (i) tdt(0)0(i)t 0e(i) te(0)ii0F ()112(0)-4分ii22f (t)1eit F ()d(0) -5分21ei t22 d(0)22122 (costi sint)d(0)2cos tisint(0)022 d22 d2cos t0) ，f ( t )022 d(-6分共6页第6 页cos tdet2202?复变函数与积分变换?期末试题（ B)一填空题（每小题3 分，共计 15 分）二11i 的幅角是（）；2. Ln(i ) 的主值是2（）；3.a = （） ，f ( z) x 22xyy 2i( ax22xy y 2

12、 )在复平面内处处解析 4 z0 是zsin z）极点； 5f ( z)1z3的（，zRes f ( z),（）；二选择题（每小题3 分，共计 15 分）1解析函数 f ( z)u( x, y)iv ( x, y) 的导函数为（）；（A） f ( z)u yiv x ； （B） f ( z)uxiu y ；（ ） f ( z)uxivy； （ ） f ( z)uxiuy .CD2C是正向圆周 z2 ，如果函数 f ( z) （），则f( ) d0 zzC（A）3 ； （ B） 3z ； （C）3z； （D）3.z 1z 1( z 1)2(z 1)23如果级数cn zn 在 z2i 点收敛，则级

13、数在n 1（ A） z2点条件收敛；（B） z2i 点绝对收敛；（ C） z1i 点绝对收敛；（D） z12i 点一定发散共6页第7 页下列结论正确的是 ()（A）如果函数 f (z) 在 z0 点可导，则 f ( z) 在 z0 点一定解析；(B)如果f ( z) dz0 , 其中 C复平面内正向封闭曲线,则 f ( z) 在 C所围成C的区域内一定解析；（C）函数 f (z) 在 z0 点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为 zz0 的幂级数，而且展开式是唯一的；（ D）函数 f (z)u( x, y)iv ( x, y) 在区域内解析的充分必要条件是u( x, y) 、v

14、( x, y) 在该区域内均为调和函数5下列结论不正确的是（）（ A）、znl是复平面上的多值函数；(B)、 cosz是无界函数；(C)、sin z 是复平面上的有界函数； （D）、 ez 是周期函数得分三按要求完成下列各题（每小题8 分，共计 50 分）（ 1 ）设 f ( z)u( x, y)i( x 2g( y) 是 解 析函 数 ， 且 f (0)0 ， 求g( y), u( x, y), f ( z) （ 2）计算z2 dz 其中 C是正向圆周 z 2 ；C ( z21)( zi )z21（ 3）计算ez dz ，其中 C 是正向圆周 z 2 ；C (1z)（ 4）利用留数计算1dz

15、 其中 C 是正向圆周 z3 ；C( z 1)( z2)2z( z212)3（ 5）函数 f ( z)( z3在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果(sin z)有极点，请指出它的级 .四、（本题 12 分）将函数 f ( z)1在以下区域内展开成罗 朗级数；z2( z1)共6页第8 页（1） 0z11 ，（2） 0z1 ，（3） 1z五（本题 10 分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题y ( x)5 y ( x)4 y( x)e xy(0)y (0)1六、（本题 8 分）求 f (t) et (0) 的傅立叶变换，并由此证明：cos tet22 d02?复变函数与积分变换?期末

16、试题简答及评分标准（B）一填空题（每小题3 分，共计 15 分）1 1 i 的幅角是（2k , k 0 1, 2,）； 2. Ln( 1i ) 的主值是24（ 1 ln 2i）； 3.f ( z)12 ， f( 7)(0)（ 0）；1 z244 f (z)zsin z( z),0 （ 0； 5f (z)1z3， Re s f）z2 ，Res f ( z),（ 0）；二选择题（每小题3 分，共计 15 分）1-5 A A CC C三按要求完成下列各题（每小题10 分，共计 40 分）（ 1）求 a,b,c, d使f( )x2axyby2(cx2dxy y2 )是解析函数，zi解：因为 f ( z

17、) 解析，由 C-R 条件uvuvxyyx共6页第9 页2xaydx2 y ax2by2cxdy,a2, d2, ， a2c,2bd , c1, b1,给出 C-R 条件 6 分，正确求导给2 分，结果正确 2 分。（2）12 dz 其中 C 是正向圆周 z2 ；Cz( z 1)解：本题可以用柯西公式 柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数 f (z)1在复平面内只有两个奇点 z1 0,z21，分别以1) 2z(z为 圆 心 画 互 不 相 交 互 不 包 含 的 小 圆 c1 ,c2且 位 于1211dz( z1)zdzC (z 1)2zdzC2 ( z

18、1)2zC 12 i ( 1)2i10zz 1(z1)2z 01（ 3）计算z3ez2 ；C (1dz，其中 C是正向圆周 zz)解：设 f (z) 在有限复平面内所有奇点均在：z2 内，由留数定理f (z)dz2i Re s f (z), 2ic 1-（5分）z 21 z11z3 ezz2e zz2(11111 11(1 z)1z 2! z23! z3)(1z3z z21zz1,z2c 内)(z2z111)(1111)2! 3! z 4! z2zz2z3c 1(1 111 )82!3!3共 6页第10 页f (z)dz8 2iz 23(z21)( z2) 3（ 4）函数 f ( z)(sin

19、 z) 3在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级 .f ( z)的奇点为 zk,k0,1,2,3, ，z k ,k 0, 1,2,3,30的三级零点，为（ sin z）z1,为 f (z)的二级极点，z2是 f (z)的可去奇点，z0,2, 3, 4，为 f ( z)的三级极点；为 f ( z)的非孤立奇点。给出全部奇点给5 分。其他酌情给分。四、（本题 14 分）将函数 f ( z)1在以下区域内展开成罗 朗级数；2(zz1)（1） 0 z 11，（ 2） 0 z1 ，（3） 1 z（1）0z 1 1 ，（ 2） 0 z1 ，（ 3） 1 z解：（ 1）当 0z11f (z)111z2 (z1)(z1)(1 ( z1)而 1( z 1) n n(z 1)n 1(1(z1)n0n0f (z)n 0n( z1) n2-6分（2）当 0z 1f (z)