函数的幂级数展开41737

1、2 函数的幂级数展开教学计划：课时教学目的：让学生掌握函数的幂级数展开方法教学重点：对初等函数的幂级数展开教学难点：用间接的方法以幂级数形式表示某些非初等函数教学方法：讲授法教学步骤：一 泰勒级数在第六章3的泰勒定理中曾指出,若函数在点的某邻域内存在直至阶的连续导数,则(1)这里为拉格朗日型余项(2)其中在与之间,称(1)为在的泰勒公式如果在(1)中抹去余项,那么在附近可用(1)式右边才多项式来近似代替,如果函数在处存在任意阶的导数,这时称形式为 (3)的级数为函数在的泰勒级数对于级数(3)是否能在附近确切地表达,或说在的泰勒级数在附近的和函数是否就是,这就是本节所要讨论的问题先看一个例子例由

2、于函数在处任何导数都等于0(第六章4第二段末尾），即所以在的泰勒级数为显然它在上收敛,且其和函数由此看到,对一切都有这个例子说明,具有任意阶导数的函数,其泰勒级数并不是都能收敛于函数本身下面定理指出：具备什么条件的函数,它的泰勒级数才能收敛于本身定理14.11设在点具有任意阶导数,那么在区间内等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：:对一切满足不等式的,有这里是在的泰勒公式余项我们可自行由第六章3泰勒定理推出本定理的证明如果能在的某邻域上等于其泰勒级数的和函数,则称函数在的这一邻域内可以展开成泰勒级数,并称等式 (4)的右边为在处的泰勒展开式，或称幂级数展开式由级数的逐项求导性质可推得：:若为幂

3、级数在收敛区间上的和函数,则就是在上的泰勒展开式,这是幂级数展开的唯一性问题在实际应用上,主要讨论函数在处的展开式,这时(3)式可以写作称为麦克劳林级数从定理14.11知道,余项对确定函数能否展开为幂级数是极为重要的,下面我们重新写出当时的积分型余项、拉格郎日型余项和柯西型余项,它们分别是二 初等函数的幂级数展开式例2求次多项式函数的展开式解由于总有因而=即多项式函数的幂级数展开式就是它本身例3求函数的展开式.解由于所以的拉格郎日余项为显见.它对任何实数,都有.因而.由定理14.11得到例函数由于.现在考察正弦函数的拉格郎日余项,由于,所以在内能展开为麦克劳林级数.同样可证(或逐项求导),在内

4、有 . 例函数的各阶导数是.从而, 所以的麦克劳林级数是, (5)用比式判别法容易求得级数(5)的收敛半径,且当时收敛,时发散,故级数(5)的收敛域是.现在讨论在这收敛区间上它的余项的极限情形当时用拉格朗日余项，有. 对于的情形，拉格朗日余项不易估计，改用柯西余项进行考察。我们有.因为，故有.即，所以.这就证得在上等于起麦克劳林级数（5）将(5)式中换成后就得到函数在处的泰勒展开式：.它的收敛域为例讨论二项式函数的展开式.当为正整数时,由二项式定理直接展开,就得到的展开式,这已在前面例2中讨论过下面讨论不等于正整数时的情形,这时于是的麦克劳林级数是（6）运用比式判别法,可得(6)的收敛半径现在

5、内考察它柯西余项由比式判别法，级数当时收敛，故有又由于有,且，从而有再当时,有.于是当时是与无关的有界量;当时,也有同样结论.综上所述,当时,。所以在上,（7）对于收敛区间端点的情形,它与的取值有关,其结果如下(其推导参见菲赫金哥尔茨著微积分学教程第二卷第二分册):当时,收敛域为当时,收敛域为;当时,收敛域为.当(7)式中时就得到（8）当时得到（9）一般的说,只有少数比较简单的函数,其幂级数展开式能直接从定义出发,并根据定理14.11求得更多的情况是从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项求积等方法,间接地求得函数的幂级数展开式例以与分别代入(8)与(9)式,可得（10）（11）对于(10)、(11)分别逐项求积可得函数与的展开式:由此可见,熟悉某些初等函数的展开式，对于一些函数的幂级数展开是极为方便的特别是前面介绍的例3至例7的结果，对于用间接方法求幂级数展开式特别有用作为本节的结束，最后举例说明怎样用幂级数形