流体力学-1-8

1、大气流体力学大气科学学院，王伟回顾涡度、散度的定义以及物理含义（计算）形变率的概念第六节 速度势函数和流函数一、速度势函数(Velocity Potential)二、速度流函数(Stream Function)三、二维流动的表示四、流动的分类一、速度势函数 定义（速度势函数的引入及存在条件）流体运动无旋流动涡旋流动0V否则，则称之为涡旋流动：0V如果在流体域内涡度为零，即: 无旋流动； 据矢量分析知识，任意一函数的梯度，取旋度恒等于零：0对于无旋流动，必定存在一个函数 满足如： 或tzyx, V gradV无旋流动，其速度矢总可以用函数 的梯度来表示，把函数 叫做速度的（位）势函数，可以用这个

2、函数来表示无旋流动的流场。 通常将无旋流动称为有势流动或势流。tzyx, 2022年3月31日星期四5kwj viuVzwyvxu ,而引进了势函数后：引入势函数的优点 流速矢描述流体运动 含有三个变量； 需要给定三个变量 刻画流体的运动情况。只要一个变量（势函数）就可以来描述流体运动，大大地减少了描写流体运动所需的变量，简化了问题。2022年3月31日星期四6由流速场与势函数的关系可知： V用势函数来描述流体运动对于某一固定时刻 =常数为一空间曲面，称为等势函数面或者等位势面。上式取不同常数 不同的等位势面 等位势面族。tzyx, 2022年3月31日星期四7例1-6-1 已知流体作无旋运动

3、，对应的等势函数线分布如 图所示（其中， ）的，请判断并在图 中标出A、B两处流体速度的方向，并比较A、B 两处流速的大小。0122022年3月31日星期四82022年3月31日星期四9VHL 势函数的求解 假如流体的散度为： 根据势函数的定义有： 其中， 为三维拉普拉斯算子。 可以看出，如果给定D，通过求解泊松（Poisson）方程，即可求得势函数。zwyvxuD D 22222222zyx zwyvxu ,2022年3月31日星期四10求解势函数的具体方法（仅考虑二维的情况）：（2）如已知速度场，可以先求出D，然后再求解泊松方程，最终得到势函数。 （1）如已知D，直接求解泊松（Poisso

4、n）方程，可得势函数。2022年3月31日星期四11定义及存在条件二、速度流函数0/,0yvxutyxvvtyxuuw 考虑二维无辐散流动，即满足：0udyvdxvdyudx或其流线方程为：0 V0 V无辐散流辐散流流体运动引入流体散度的概念之后，可将流体运动分为：2022年3月31日星期四120,dytyxudxtyxvtyxd xvyu , kV 根据格林积分公式（平面曲线积分与路径无关的条件）可知，满足无辐散条件下:流速与该函数满足：矢量形式：0udyvdx2022年3月31日星期四13积分以上的全微分形式，可以得到： =常数tyx, 上式所描述的曲线就是流线，当然，它也是函数 的等值线

5、。将以上引进的函数 称之为流函数，而流线也就是等流函数线。对某一固定的时刻：一空间曲线流线方程积分曲线。流速与该函数的关系曲线的切线方向与流速矢的方向是相吻合的。2022年3月31日星期四142022年3月31日星期四152022年3月31日星期四16（2）表征流体通量 在流体中任取一条有向曲线A B，顺着该有向曲线流体自右侧向左侧的通量Q：曲线法向方向的单位矢量定义为：而：引入流函数的优点 BAnBAdlVdlnVQ流速在曲线法向方向上的分量（1）减少表征流动的变量dlnkdldyjdxil dAB2022年3月31日星期四17引用流函数，并考虑：或表明:经过以A和B为端点的任何曲线的流体通

6、量，决定于该两点的流函数差，而与曲线的长度和形状无关。 用流函数可以来方便地表征无辐散场的流体通量。 BAdxxdyyQ ABQ ()/dlnkdyidxjdldl BAnBAdlVdlnVQxvyu ,同样，求解流函数的方法为： （1）已知涡度，直接求解泊松（Poisson）方程； （2）已知速度场，先求出涡度，然后求解泊松方程。（3）表征流体涡度由涡度的定义 ，可得到用流函数来表示的涡度表达式：可见，对流函数取拉普拉斯运算即可得到流体的涡度。yuxv 2222yxxvyu ,2022年3月31日星期四20一般二维流动，既不满足无旋条件，也不满足无辐散条件，流动是有旋有辐散的。问：是否存在速

7、度势函数和流函数？三、二维流动00yvxuDyuxv VVV 一般二维流动，既不满足无旋条件，也不满足无辐散条件，流动是有旋有辐散的。此时，其涡度和散度均不为零，即满足： 无辐散涡旋流 无旋辐散流 VVVVVV 00 VkVDyxyx22222222 kVyxvxyu 上式为大气动力学中广泛采用的形式。 2022年3月31日星期四23四、流动的分类第一章 总结1 流体的物理性质和宏观模型 （概念） 流体的主要物理性质：流动性、粘性和压缩性； 流点的概念和流体的宏观模型-连续介质假设。 2 流体的速度和加速度 （理解、计算和应用） 描写流体运动的两种观点：Lagrange观点和Euler观点及其差别以及两种变量的相互转换； （理解、计算） 流体的加速度的定义、物理含义、计算； （理解、计算） 微商算符的物理实质及其应用。 （理解、和应用） Vtdtd 3迹线和流线 （概念、理解、计算） 迹线和流线的概念、迹线和流线的物理实质；（概念、理解） 迹线和流线方程求解的方法； （计算） 迹线、流线的差别以及迹线、流线重合的条件 （理解）4速度分解 （理解） 亥姆霍兹速度分解定理的主要内容及其有关计算。5涡度、散度和形变率 （概念、理解、计算） 涡度