第2章 单元和插值函数的构造

1、工程力学系工程力学系工程力学系工程力学系一维单元：一维单元： 直线直线曲线曲线直线单元直线单元（杆、梁单元）（杆、梁单元）曲线单元曲线单元（索单元）（索单元）杆单元、梁单元、索单元杆单元、梁单元、索单元空间梁单元空间梁单元空间杆单元空间杆单元工程力学系工程力学系二维单元：二维单元：三角形三角形矩形矩形四边形四边形平面应力（应变）单元平面应力（应变）单元平板单元平板单元壳单元壳单元壳单元壳单元平板单元平板单元平面应力单元平面应力单元工程力学系工程力学系轴对称单元：轴对称单元：绕对称轴旋转形成环状单元绕对称轴旋转形成环状单元环状单元环状单元二维单元离散二维单元离散工程力学系工程力学系三维单元：三维

2、单元：四面体四面体六面体六面体四面体单元四面体单元六面体单元六面体单元三维实体单元三维实体单元工程力学系工程力学系一次单元一次单元：线性单元，只有角结点。：线性单元，只有角结点。二次单元二次单元：在角结点间的边界上配置一个边内结点。：在角结点间的边界上配置一个边内结点。工程力学系工程力学系三次单元三次单元：边界上配置二个内结点。：边界上配置二个内结点。 弹簧单元、阻尼单元、间隙单元、界面单元、刚体单元、弹簧单元、阻尼单元、间隙单元、界面单元、刚体单元、集中质量单元等。集中质量单元等。模拟裂纹的奇异单元模拟裂纹的奇异单元工程力学系工程力学系x1x2xnxyf(x)用用一较简单的函数一较简单的函数

3、(x)代替代替 f(x)，使，使( )( ), (1,2, )iiixf xyin称称 (x)为为插值函数插值函数。若。若(x)为多项式，称为为多项式，称为多项式插值多项式插值。1)插值函数插值函数已知函数已知函数f(x)在在a,b上一系列点上的值上一系列点上的值( )(1,2, )iiyf xin可由可由 (x)确定确定a,b上其它点的函数值。上其它点的函数值。工程力学系工程力学系例子：例子：2 2点插值点插值xkxk+1xyf(x)11111111( )()( )( )kkkkkkkkkkkkkkkkkkyyyxyxxxxxxxxyyxxxxlx ylx y(x)xkxk+1xy1( )k

4、lxxkxk+1xy11( )klx111111( )( )1kkkkkkkkkkkkxxxxxxxxlxlxxxxxxx11( )( )( )( )kkkkNxlxNxlx11( )( )kkkkuNx uNx u线性组合线性组合工程力学系工程力学系2) Lagrange插值公式插值公式(1)12111,1211()()()()()()( )()()()()()()njniinijj iiiiiiiinijxxxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxxxxiniiyxlx1)()(设函数设函数f(x)在在a,b上一系列互不相同的点上一系列互不相同的点12( ,)nx xx上的值上的值12(

5、,)ny yy构造一个（构造一个（n-1）次的多项式）次的多项式)(xli具有形状函数具有形状函数Ni(x)的性质，可以作为有限单元的插值函数。的性质，可以作为有限单元的插值函数。jijixlji01)(讨论：讨论：1( )( )( )niiif xxl x y1)(1niixl( )1let f x 工程力学系工程力学系3)Lagrange单元单元iiixlxn21)1()()(, 2121)1(2212)1(1)(,)(xxxxxlxxxxxl21211212)(xxxxxxxxx一次单元次单元x1xnl作变换：作变换：lxxxxxxn11110,)()()(, 1)1(nijjjijni

6、l可得：可得：自然坐标自然坐标x1xnl(1)1,( )njnijj iijxxlxxx11111111()()()()jjjjjiijijijxxxxxxxxxxllxxxxxxxxxxll11 工程力学系工程力学系例子：例子：(1)(1)21121221( )1,( )ll 12( )(1) 一次单元次单元x1x2l11211221212,0,1xxxxnxxxxx1x321313,()2nxxxx231112112331313110,12xxxxxxxxxxxx(2)(2)23131212132123(2)1233132()()()()12()(1),4 (1)()()2()()()()

7、12 ()()()2lll 二次单元次单元工程力学系工程力学系 若场方程的最高阶导数为若场方程的最高阶导数为m，要求场函数及其，要求场函数及其m-1阶导数在结点上阶导数在结点上均连续。如梁、板、壳结点的挠度和转角均要连续，转角即为挠度的均连续。如梁、板、壳结点的挠度和转角均要连续，转角即为挠度的一阶导数关系。一阶导数关系。2121)1(21)0()dd( )()()(iiiiiiiiiQNHHijijiiijjijjHHHHd)(d0)(0d)(d)()1()1()0()0(2121)dd()dd(Q工程力学系工程力学系ijmPAiAmAj(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)Li=0Lj

8、=0Lm=01 1）面积坐标）面积坐标),(mjiAALii特点：特点： 在本点为在本点为1 1，其它点为，其它点为0 0 与三角形的具体形状及其在总体坐标系中的位置无关。与三角形的具体形状及其在总体坐标系中的位置无关。1AAAALiii自然坐标自然坐标2 2）与直角坐标间的转换关系）与直角坐标间的转换关系)(2111121ycxbayxyxyxAiiimmjjimmjjiiyxyxyxA11121iiiiiiNycxbaAAAL)(21工程力学系工程力学系可以证明：可以证明：mmjjiimmjjiivNvNvNvuNuNuNummjjiimmjjiimmjjiimmjjiiyNyNyNyLy

9、LyLyxNxNxNxLxLxLx结论：结论： 三角形域内点的坐标和位移可以通过相同的插值函数分别由结点的三角形域内点的坐标和位移可以通过相同的插值函数分别由结点的坐标和位移得到。坐标和位移得到。等参变换等参变换3 3）面积坐标的微分运算）面积坐标的微分运算),(21,21mjicAyLbAxLiiii)(21mmjjiimmjjiiLcLcLcAyLLyLLyLLy)(21mmjjiimmjjiiLbLbLbAxLLxLLxLLx工程力学系工程力学系4 4）面积坐标表示的插值函数）面积坐标表示的插值函数一次单元一次单元插值函数的构造式插值函数的构造式njiiiijijiLLLfLLLfN13

10、21)(321)(),(),(通过除结点通过除结点 i 以外所有结点的直线方程的左端项以外所有结点的直线方程的左端项直线方程在结点直线方程在结点 i 的取值的取值3 (0,0,1)1 (1,0,0)2(0,1,0)L3=0L1=0L2=04 (1/2,1/2,0)5(0,1/2,1/2)6 (1/2,0,1/2)L1-1/2=0L3-1/2=0L2-1/2=0iiLN 二次单元二次单元) 12(12112111111LLLLN3163252143332224,4,4) 12() 12(LLNLLNLLNLLNLLN三次单元三次单元略。略。工程力学系工程力学系 (0,0) (r,0) (0,p)

11、 (r,p)rIjjjIjrIl, 1)1()()()(pJjjjJjrJl, 1)1()()()()()()()(pJrIIJillNN缺点：缺点： 随着插值函数方次的增高而增加内结点，从而增加自由度，随着插值函数方次的增高而增加内结点，从而增加自由度，且不能提高计算精度。应用不多。且不能提高计算精度。应用不多。工程力学系工程力学系1 (-1,-1)2 (1,-1)3 (1,1)4 (-1, 1)-1=0+1=0-1=0+1=01）四结点双一次单元）四结点双一次单元njiiijijiffN1)()(),(),()1)(1 (41) 1)(1(411111111N同理：同理：)1)(1 (41

12、),1)(1 (41),1)(1 (41432NNNiiiN0000,)1)(1 (41统一形式：统一形式：2）变结点单元）变结点单元5 (0,-1)1)(1 (2110110111125N52251121,21NNNNNN02121)5(21)5()5(101) 1 (21) 1 () 1 (511511NNNNNN可以构造变结点的可以构造变结点的过渡单元过渡单元。工程力学系工程力学系利用体积坐标：利用体积坐标：1234一次单元：一次单元：4结结点点二次单元：二次单元：10结点结点5678910( , ,),1iiiVLi j mLViiLN 角结点：角结点：(21)(1,2,3,4)iii

13、NLLi棱内结点：棱内结点：5126137148239341024444444NL LNL LNL LNL LNL LNL L工程力学系工程力学系一次单元：一次单元：8结点结点二次单元：二次单元：20结点结点12345678913121114101516171819200000001(1)(1)(1)8,iiiiN 角结点：角结点：0000001(1)(1)(1)(2)8iN典型的棱内结点典型的棱内结点(0,1,1)iii 2001(1)(1)(1)4iN工程力学系工程力学系p方案：网格不变，提高单元的阶次后重分析。方案：网格不变，提高单元的阶次后重分析。h方案：单元阶次不变，细化网格后重分析

14、。方案：单元阶次不变，细化网格后重分析。 对于对于p方案，希望提高单元阶次后仍可使用已计算的低阶单元方案，希望提高单元阶次后仍可使用已计算的低阶单元的单元结果。阶谱单元可以解决这一问题。的单元结果。阶谱单元可以解决这一问题。工程力学系工程力学系12lLagrange单元单元iniiN1)() 11(),1 (21),1 (21, 221NNn在单元内增加结点在单元内增加结点33233223111,21,21NNNNNNN)2(21332211NNN代入插值表达式代入插值表达式)1 (21),1 (2121NN原线性单元的插值函数原线性单元的插值函数31pppaH2,)(,)(,)(213322

15、11332211aaaNHNHNH原线性单元原线性单元的插值函数的插值函数原线性单元原线性单元的结点参数的结点参数不再是结点不再是结点3的函数值的函数值工程力学系工程力学系H1 和和 H2 在结点在结点 3 不再等于不再等于 01321HHH H1 , H2, H3 不再具有标准不再具有标准 C0 型单元插值函数所具有的性质，型单元插值函数所具有的性质，称为称为阶谱函数阶谱函数。线性单元的刚度矩阵线性单元的刚度矩阵)2(22)2(21)2(12)2(11)2(KKKKK三次阶谱单元的刚度矩阵三次阶谱单元的刚度矩阵)3(33)3(32)3(31)3(23)2(22)2(21)3(13)2(12)2(11)3(K