复杂网络上动力系统同步的研究进展ppt课件

1、复杂网络上动力系统同步复杂网络上动力系统同步的研讨进展的研讨进展 报告人：赵明2019.5.多种多样的同步景象多种多样的同步景象 夏日夜晚青蛙的齐鸣、萤火虫的同步发光； 心肌细胞和大脑神经网络的同步； 剧场中观众鼓掌频率的逐渐同步； 同步的根本概念同步的根本概念 两个或多个动力学系统，除了本身的演化外其间还有相互作用(耦合)，这种作用既可以是单向的，也可以是双向的。当满足一定条件时，在耦合的作用下，这些系统的形状输出就会逐渐趋同进而完全相等，称为同步(准确同步)。广义的同步还包括一样步和频率同步等等。 同步概念的数学表述同步概念的数学表述)()()(1211xHxHxFx1)()()(2122

2、xHxHxFx2当这两个系统同步时满足： x1x2 s。设差信号 z1 x1 - s，对系统1在同步流形s附近做线性化，得到 )()(1211zzsHzsFzDD3差信号z1表示系统形状变量与同步流形的间隔，假设随时间的演化，差信号趋近于零，就阐明系统的同步形状是稳定的。反之，同步形状失稳。描画同步稳定性的另一种方法描画同步稳定性的另一种方法 李雅普诺夫指数是用来描画系统稳定与否的数学量，它的符号描画了系统的稳定性：假设为负，系统稳定；为正，不稳定。 我们也可以用它来研讨同步系统的稳定性问题：计算差信号方程3的李雅普诺夫指数(此时的李雅普诺夫指数被称作条件李雅普诺夫指数)，假设其值为负，那么同

3、步形状稳定。复杂网络上的动力学：复杂网络上的动力学： 研讨网络构造和动力系统之间研讨网络构造和动力系统之间的相互影响，相互作用。同步是其的相互影响，相互作用。同步是其中的一个重要的景象。中的一个重要的景象。Pecora和和Carroll 给出的同步的根本给出的同步的根本假设：假设：(1)一切的耦合振子都是完全一样的，一切的耦合振子都是完全一样的，(2)从每个振子提取的用于耦合其它从每个振子提取的用于耦合其它振子的函数也是完全一样的，振子的函数也是完全一样的，(3)同步流形是不变流形，同步流形是不变流形，(4)节点的耦合方式使在同步流形附节点的耦合方式使在同步流形附近可以线性化。近可以线性化。复

4、杂网络同步的定义 假设在网络的每个节点上加上一个动力学系统，这个动力学系统既可以是极限环也可以是混沌的；假设两个节点之间有边相连，就表示其间存在相互的耦协作用，就构成了一个动力学网络。 详细地，设网络有N个节点，第i个节点在n时辰的m维形状变量为xi(n) ，单个节点(不存在耦协作用)所满足的形状方程是：xi(n+1) F(xi(n+1)。设： H:Rm Rm是每个节点形状变量的函数，用于对其它节点进展耦合。对于延续系统 )()() 1(nGnnjjijiixHxFx其中是耦合强度，Gij表示耦合矩阵G的矩阵元。)()(jjijiiGxHxFx这样，在存在耦协作用下第i个节点所满足的形状方程是

5、：45 01iijkGotherwisejjii其中ki是第i个节点的度，i是与节点i相连的节点的集合。耦合矩阵G包含了网络构造的全部信息。耦合矩阵定义如下：6几种规那么网络的邻接矩阵21010210012110121G10010101001111112NG11111111111111113NNNNG最近邻耦合网络 星型网络 完全网络 在耦合的作用下，经过一段时间的演化，使得 x1 x2 xN s ，网络就进入了同步形状。当然并不是一切的网络在恣意耦合强度或耦合方式下都能实现同步。报告的内容： 1.复杂网络同步的稳定性分析 ； 2.复杂网络上动力学系统同步的特点 ； 3.网络的几何特征量对同步

6、稳定性的影响 ； 4.提高网络同步才干的一种方法 。复杂网络同步的稳定性分析 Pecora和Carroll 的主稳定性函数(master stability function )方法 汪小帆和陈关荣的结论 Chen等人的结合主稳定性函数与Gershgrin 圆盘实际(Gershgrin disk theory) 方法Pecora和Carroll 的主稳定性函数方法 首先对动力学网络的同步流形进展线性稳定性分析。知延续系统的形状方程 )()(jjijiiGxHxFx在同步形状s附近对其进展线性化，得到( )( )iijijjDG DzF s zH s z其中DF()和DH()分别是函数F和H的m

7、m阶雅可比(Jacobian)矩阵。利用mN阶矩阵z(z1, z2 , , zN )重写(7)式，得 7( )( )TDD zF s zH sz G8根据约丹规范型(Jordan canonical forms)实际，上式的稳定性是由G的特征值决议的，设其对应的特征向量为e，并且令uze，将e右乘上式，得到 ( )( )DDuF sH su 这样原来要讨论的mN维空间的稳定性问题被简化到mm维空间，并且通常情况下m0以及两个常数 和 ，使得mTdtDdtDIsfDDsf)()(对一切 都成立， 是单位阵。假设 dd mmmRId2也成立，那么同步形状稳定。 1112设网络的形状方程是：1302

8、0d由于 、 ，不等式(6)等价于2d2的值越小， | 2|的值越大，这阐明网络(11)可以在一个很小的耦合系数下同步。因此，在特定的耦合方式下，耦合矩阵G的第二大特征值表征了网络(11)的同步才干。 Wu和Chua的任务阐明：只需耦合强度的值足够大，都会使耦合振子系统进入同步形状。 14Pecora和汪小帆等人的任务矛盾？ 延续系统同步区域无界(图(a)或有界(图(b)由耦合方式和系统的其它参量决议。 Pecora等人研讨的是同步区域有界情况下的同步稳定条件，汪小帆等人研讨的是同步区域无界情况下的同步稳定条件。几点结论当网络构造一样时，假设节点上的动力学系统不同，网络的同步稳定性是不同的。当

9、节点上的动力学系一致样，但耦合方式不同，即使将该系统放在同样的网络构造上，动力学网络的同步的稳定性依然不同；对于同一个动力学系统，一样的耦合方式，网络构造对动力学网络的同步稳定性也有影响。 动力学系统、耦合方式、网络构造决议了动力学网络同步稳定性Chen等人的结合主稳定性函数与Gershgrin 圆盘实际的方法 前面的分析方法都是要计算耦合矩阵的特征值，对于复杂网络来说计算出的都是近似值，因此前述的方法都是近似方法。Yonghong Chen 等人将主稳定性函数方法与Gershgrin 圆盘实际(Gershgrin disk theory)结合，为网络构造对同步稳定性的影响给出了更准确的实际。

10、 Gershgrin 圆盘定理的内容是：一个nn阶矩阵A=aij的特征值处于n个圆盘的并集中，这些圆盘的定义是：:,1,2,iijij izzaainC(15)将Gershgrin 圆盘定理运用于复杂网络同步稳定性的研讨中，需求将对应于同步流形的特征值0去掉，下面我们首先引见该过程。设有矩阵G，知它的一个特征值是 ，对应的特征向量是e。经过变换可以使e的任一部分等于1。在这里，不失普通性，我们令第一个元素为1，那么e=(1,eN-1T)T。将G写成下面的方式：其中：111NTGGsrGTNGG),(112rTNGG),(121sNNNNNGGGG22221G取11N1-NTIe0P经过P对G进

11、展类似变换，并设 得到111NTGerTNNTreG0rPGP111由于P-1GP与G有一样的特征值谱，那么(N-1)(N-1)阶矩阵D1=GN-1-eN-1rT与G有除了 外一样的特征值。 经过变换令e的不同元素为1，可以得到N个不同的约化矩阵，用Dk(k=1,2,N)表示。 将上述方法用于耦合矩阵G中，令 ，e=(1 1 1)T，得到Dk=dijk，其中dijk=GijGkj。根据Gershgrin圆盘定理，动力学网络同步稳定性条件表述如下：(1) 每个Gershgrin圆盘的中心位于稳定区域 即 ；(2) 每个Gershgrin圆盘的半径满足不等式 0(,0)iikiGGNiGGGGki

12、iiNijjkiji, 2 , 1),(, 1ki (16)这里(x)是实轴上x到稳定区域的边境的间隔。几个规那么网络的同步才干 最近邻耦合网络:耦合矩阵的特征值 其中 特征值比星型网络: 特征值比完全网络:耦合矩阵的特征值只需0和N 特征值比)/(sin42Nkk)/(sin421N4max)/(sin/1/21maxN1221NNN1max00N1max/1/1max复杂网络上动力学系统同步的特点 小世界网络上的相和频率同步； 小世界网络上动力学系统的准确同步；小世界网络的快速呼应和相关振动景象；无标度网络的准确同步 。 小世界网络上的相和频率同步 Hong，Choi和Kim在WS型小世界

13、网络的每一个节点上放置一个振子，节点i上的形状由位相描画，网络上N振子系统的动力学方程是： iijjiiikKt)sin(2)(Ni, 2 , 1(17)K是耦合强度，i是与节点i相衔接的节点的集合，i是节点i的固有频率，它们根据分布函数g()随机取值。网络上耦合振子系统运动的整体行为由以下两个参数表示： NjijeNm11NjijicNNq)(exp) 1(22 对时间求平均； 对各种能够的固有频率取值的实现方式求平均；c是一个足够大的常数。当到达相和频率同步时，m 1，q 1；反之m 0，q 0。(19)(18)重连概率为P0.5时得到了和P1时几乎一样的同步结果。取k3，固有频率取自方差

14、为1的高斯分布函数耦合强度、重连概率空间中的一样步临界曲线不同耦合强度下实现一样步和频率同步的驰豫时间当重连概率添加到0.5时，网络的同步就到达了“饱和，再次阐明当P0.5时就能得到和P1接近的同步效果Hong，Choi和Kim还研讨了热噪声和相的随机淬火对一样步的影响，当存在热噪声时，网络上N振子系统的动力学方程是：)()sin()(tJtijjiiiiNi, 2 , 1) (2) ()(ttTttijji这里J是耦合强度； i根据高斯分布随机取值，高斯分布的方差为2，当一切振子的频率一样(2=0)时，系统没有随机淬火，系统退化为经典的XY自旋模型；i表示热噪声，即平均值为零的白噪声，其相关

15、性为： (20)噪声幅值T(=0)可以为是波尔兹曼常数为1(kB=1)的系统的温度。 (21)(a)2=0.00，(b)2=0.05。当没有随机淬火时，假设系统的温度很低，即使重连概率很小，系统也能实现一样步；但是，当存在随机淬火时，即使系统温度很低，也只需在重连概率比较大的情况下系统才干实现一样步。即随机淬火不利于网络的一样步。 一样步临界曲线O:同步区域，D:非同步区域 小世界网络上动力学系统的准确同步长程衔接网络(2019 ，Gade)：设有N个独立的节点，每个节点都随机的与其它k个节点相衔接，允许节点的重连和自连。耦合振子满足的动力学方程是： jjjiitxfIktx)() 1(,1(

16、22)设0是耦合矩阵对应于特征向量e=(1 1 1)T的特征值，其它N1个特征值i，i=1,2,N 1，其顺序是 ，设映射f的李雅普诺夫指数是121N那么网络同步形状稳定的条件是：只需| 0e |1 ，其它| ie |1，对一切i=1,2,N 1都成立。因此，只需耦合矩阵的非0的绝对值最大的特征值小于一常数，即 | 1|e -，同步形状就是稳定的。Gade发现对于长程衔接| 1|与 成正比。 中程衔接网络(近邻耦合网络)(2019 ，Gade和胡进锟 )：与长程衔接网络不同，其同步才干取决于节点每一边邻居的数目与总节点数的比值，而不是这一数目本身。 k/1NW型小世界网络(2000 ，Gade

17、和胡进锟 )：网络的同步才干与长程衔接网络类似，是由与某个节点耦合的长程节点数决议，即| 1|与 成正比，p是加边概率。 pN/1不是与某个节点耦合的节点数与网络总节点数的比而是其数目决议了同步的稳定性汪小帆、陈关荣关于NW型小世界网络同步的结论对于一定的节点数目N，当加边的概率p从0到1变化时，耦合矩阵次最大特征值降到-N对于一定的加边的概率p ，节点数目N添加到时，耦合矩阵次最大特征值降到加边概率、节点数目空间中的一样步临界曲线Barahona和Pecora得出的(NW型)小世界网络的同步性质 (a) (b)(a)随机网络(点划线)、近邻耦合网络(方块(数值模拟)和实线(实际分析)和小世界

18、网络(点线)的拉普拉斯算子的特征值比同f的变化关系，f表示网络的边数与同样节点数目的完全网络的边数的比值(b)在同样的网络规模下不同的网络实现同步所要求的边数比f，祁丰、侯中怀和辛厚文给出了钟摆模型的小事界网络同步才干分析 祁丰、侯中怀和辛厚文研讨了一种与小世界网络类似的网络的运动规律。该网络的模型是：满足自在边境条件的最近邻耦合网络，随机地参与M条捷径，捷径数与总的能够的捷径数的比是q=2M/(N1)(N2)。在每个节点上放置一个受迫阻尼钟摆，钟摆所满足的运动方程是： mnmnmnnnnntmglml)(sinsin2 n表示第n个节点上钟摆的摆角，n=0,1,N1，N=128 (23)当q

19、0.0时，系统处于时空混沌形状；当q0.01时，M80，系统在空间上处于同步态而在时间上处于周期运动形状；当q0.02时，系统在空间上仍处于同步态而在时间上处于混沌态了。这阐明随机的捷径可以使混沌运动规那么化，并且存在一个最优的随机程度使得系统运动最规那么。 为了进一步量化他们的结论，祁丰等人还引入了一个参数， 值越大表示系统的运动越规那么 随比率q的变化关系带误差棒的圆点:小世界网络,虚线:随机网络插图:当增大近邻耦合范围，即每个节点与K个邻居耦合， 随K的变化规律 给规那么网络随机的添加捷径更有助于系统构成规那么的时空行为 01. 0q 小世界网络的快速呼应(fast response)和

20、相关振荡(coherent oscillations)景象 Lago-Fernndez等人分析了以Hodgkin-Huxley神经元为节点上动力学系统的近邻耦合网络、WS型小世界网络和随机网络的运动规律，发现近邻耦合网络虽然可以构成网络整体上的相关振荡但对刺激的反响速度很慢；随机网络虽然对刺激可以作出快速呼应，但构成不了相关振荡；而小世界网络对刺激的反响既迅速，又能构成大振幅的相关振荡，可以很好的描画神经网络的快速呼应和相关振荡景象 规那么网络：一致振荡小世界网络：快速相应、一致振荡随机网络：快速呼应无标度网络的准确同步汪小帆、陈关荣关于无标度网络同步的结论0)(),(lim22mNmsfsf

21、N耦合矩阵次最大特征值 (24)无标度网络同步的鲁棒性和脆弱性Lind、Gallas和Herrmann对无标度网络同步规律的研讨 Lind等人以Logistic映像为节点上的动力学系统，研讨了无标度网络同步稳定性与随节点上的动力系统和拓扑参数的函数关系。在他们的研讨中，当存在耦协作用时节点所满足的动力学方程是： iKjjtjiititxfkNxfx)()()1 (, 1函数 f 取Logistic映像 f (x)=1-ax2。参数是用来调理耦合的均匀性的实数：当为正值时，度大的点具有更大的耦合强度；反之当0时，度小的节点起到更大的作用；0表示节点间的均匀耦合。 (25)三种无标度网络模型随机无

22、标度网络(BA网络)确定性伪分形无标度网络(deterministic pseudofractal scale-free network)阿波罗网络(Apollonian network)随机无标度网络上的同步规律1 动力学网络的同步才干除了受耦合强度的影响外，更主要地收到了网络生成时参与的每个节点伸出的边数k的影响；2 分割网络同步与否的临界耦合强度c是临界边数kc的幂函数，即 ，指数的取值由动力学参数a决议；cck3 经过调理耦合强度和新参与节点的度k使动力学网络向同步态的转变都是一阶相变确定性网络上的同步规律1在同样的动力学参数a下，无论如何调理耦合强度的取值，都不能使确定性网络同步，其

23、缘由是这两种网络的k值太小(分别为2和3)。假想象实现确定性无标度网络的同步，要求耦合非对称，即 并且耦合强度太小和太大都会使同步形状失稳5 . 12对于确定性无标度网络经过调理耦合强度使动力学网络向同步态的转变也是一阶相变网络的几何特征量对同步稳定性的影响(a)(b):同步区域有界时半随机无标度网络(semirandom model of SF networks) 的几何特征量对同步稳定性的影响;(c)(d):DM老化网络的一些相应结果 他们以为度和负载分布的不均匀性降低了网络的同步才干Nishikawa等人的研讨结果：一种变形的小世界网络的几何特征量对同步稳定性的影响maxmax maxm

24、axmin211(1)NekNklDDNk各个几何特征量与同步稳定性的关系式(未经实际上的严厉证明)： (26)Hong等人对WS型小世界网络的研讨结果 小世界网络特征值比和各个几何特征量随重连概率p的变化关系 最大介数是描画网络同步稳定性的最恰当的特征量，并且网络的最大介数越小，网络的稳定性越强。 valbeforeremoalafterremov)/()/(minmaxminmaxMotter，Zhou和Kurths的经过调理耦合强度提高网络同步才干的方法设动力学网络所满足的方程是： NjjijiixhGxfdtdx1)()(Ni, 2 , 1(26) 是拉普拉斯算子L的矩阵元。当可调参数

25、0时，耦合矩阵退化为拉普拉斯矩阵； 时，网络(耦合)变成有向含权网络(耦合)，从而降低了网络的不均匀性，提高网络的同步才干。iijijkLG/ijL0耦合矩阵G的定义如下：(27)(a) 随机无标度网络(Random SFNs); (b) 理想无标度分布网络(Networks with expected scale-free sequence);(c) 生长无标度网络(Growing SFNs)(d) NW型小世界网络 参考文献L. M. Pecora and T. L. Carroll, Phys. Rev. Lett. 80, 2109 (2019).J. F. Heagy, T. L.

26、Carroll, and L. M. Pecora, Phys. Rev. E 50,1874(1994).J. F. Heagy, T. L. Carroll, and L. M. Pecora, Phys. Rev. Lett. 74, 4185 (2019).P. M. Gade, H. Cerdeira and R. Ramaswamy, Phys. Rev. E52, 2478-2485(2019).P. M. Gade, Phys. Rev. E54, 64-70(2019).G. Hu, J. Yang and W. Liu, Phys. Rev. E 58,4440 (2019

27、).K. Fink, G. Johnson, T. Carroll, D. Mar and L. Pecora, Phys. Rev. E 61,5080(2000).J. Jost and M. P. Joy, Phys. Rev. E 65,016201(2019).X. F. Wang and G. Chen, IEEE Trans. Circuits Syst. I. 49, 54-62(2019).M. Barahona and L. M. Pecora, Phys. Rev. Lett. 89, 054101 (2019).Y. Chen, G. Rangarajan and M.

28、 Ding, Phys. Rev. E 67,026209 (2019).Y. Jiang, M. Lozada-Gassou and A. Vinet, Phys. Rev. E 68,065201(2019).C. W. Wu, L. O. Chua, IEEE Trans. Circuits Syst. I. 42, 430-447(2019).X. F. Wang and G. Chen, Int. J. Bifurcationand Chaos 12, 187-192(2019).G. Rangarajan, M. Ding, Phys. Lett. A 296,204-209(20

29、19).C. W. Wu, IEEE Trans. Circuits Syst. I. 3, 287-290(2019). C. W. Wu, IEEE Trans. Circuits Syst. I. 3, 302-305(2019).M. Timme, F. Wolf, and T. Geisel, Phys. Rev. Lett. 89, 258701(2019).M. G. Earl and S. H. Strogatz, Phys. Rev. E 67,036204(2019).H. Hong, M.Y. Choi, and B. J. Kim, Phys. Rev. E 65,02

30、6 (2019).H. Hong, M.Y. Choi, and B. J. Kim, Phys. Rev. E 65,047104 (2019).P. M. Gade and C-K. Hu, Phys. Rev. E60, 4966-4969(2019).P. M. Gade and C-K. Hu, Phys. Rev. E62, 6409-6413(2000).M. E. J. Newman and D. J. Watts, Phys. Rev. E60, 7332-7342(2019).F. Qi, Z. Hou and H. Xin, Phys. Rev. Lett. 91, 06

31、4102 (2019).L. F. Lago-Fernndez, R. Huerta, F. Corbacho and J. A. Sigenza, Phys. Rev. Lett. 84, 2758 (2000). O. Kwon and H. T. Moon, Phys. Lett. A 298, 319 (2019).P. G. Lind, J. A. C. Gallas, and H. J. Herrmann, Phys. Rev. E 70, 056207(2019).S. N. Dorogovtsev, A. V. Goltsev, and J. F. F. Mendes, Phys. Rev. E 65, 066122 (2019).J. S. Andrade, Jr., H. J. Herrmann, R. F. S. Andrade, and L. da Silva, Phys. Rev. Lett. 94, 018702(2019).