第七章 多元函数微分学基础

1、 在第十四章中，讨论了含有一个自变时的函数，即一元函数，但在实际问题中，还会遇到含有两个或两个以上自变量的函数，这就是本节所要讨论的多元函数.在这里重点介绍二元函数.一、二元函数的定义先看下面的例子.2VrhVr h 圆柱体的体积和它的底面积半径 及高 之间的关系为例1,.,(0,0)( , ),.Vr hr hrhr hV这里,是随着的变化而变化的当在一定范围内内取定一对数值时的对应值就随之确定(6-11) 三角形面积 见图例21sin2SbcA,.Sb cA其面积 依赖于三角形的两条边及其夹角图6-11 例2示意图ABCcba一般地，二元函数的定义如下.,( , )x y zx yzzx

2、yzf x y义 设有变量 , ,如果当变量 , ,在一定范围内任意取定一对数值时,变量 按照一定法则 总有惟一确定的数值与之对应 则称 是的二元函数,记作定1,;,x yzx y式中,叫作自变量 叫作因变量.的变化范围叫作函数的定义域.( , , )Wf x y z类似,可定义三元函数及三元以上的函数.二元及二元以上的函数称为多元函数.( ),( , )( , ),( , )( ),()yf xPxzf x yxOyP x yxyzf x yzf PzP 类似一元函数用数轴上点 来表示数值 而二元函数也可以用平面上的点来表示一对有序实数于时函数可简记为这时 也可称为点 的函数.三元函数是否也

3、可以看作点的函数00( , )(,)zf x yx y二元函数在点处的函数值记为000000(,)(,),x xy yf xyz xyz或22( 2,3)23,.zxxyyz 设求例332( 2,3)( 2)2 ( 2) 33 331.z 解 对于一元函数，一般假定在某个区间上有定义进行讨论.对于二元函数，类似地假定它在某平面区域内有定义进行讨论. 所谓区域（平面的）是指一条或几条曲线围成具有连通性的平面一部分（见图6-35），所谓的连通性是指如果一块部分平面内任意两点可用完全属于此部分平面的折线连结起来.图6-12 区域示意 若区域能延伸到无限远处，就称这区域是无界的，如图6-12(c)所示

4、，否则，它总可以被包含在一个以原点O为中心，而半径适当大的圆内，这样的区域称为有界的，如图6-12(a)、(b)所示，围成区域的曲线叫区域的边界. .1D1D( )a 有界区域2D( )b 有界区域3D( )c 有界区域闭区域：连同边界在内的区域的曲线叫区域的边界.开区域：不包括边界内的区域叫开区域.D一般没有必要区分开或闭时,通称区域,用字母 表示22,0(613)1(614)xyxy 例如 由所确定的区域是无界开区域 见图而由所确定的区域是有界闭区域 见图226141xy图 所确定区域1111xyO6130 xy图 所确定区域Oxy0 xy000(,)(0)Pxy 某点的邻域是指以该点为中

5、心的一个圆形开区域.如点的一个邻域是指2200( , )|() +()x yxxyy00(, ),()U PU P记作在不需要强调邻域的半径 的时 也可简记为 为方便使用，将开区域内的点称为内点，将区域边界上的点称为边界点.例例 4 4 求求二二元元函函数数222yxaz的的定定义义域域 解解 由由根根式式函函数数的的定定义义容容易易知知道道，该该函函数数的的定定义义域域为为满满足足222ayx的的, yx即即定定义义域域为为 222| ),(ayxyxD. 这这里里D在在xOy面面上上表表示示一一个个以以原原点点为为圆圆心心，a 为为半半径径的的圆圆域域它它为为有有界界闭闭区区域域（如如下下

6、图图所所示示）. O 2 2 2 a y x y x a a 例例 5 5 求求二二元元函函数数)ln(yxz的的定定义义域域 解解 自变量自变量yx,所取的值必须满足不等式所取的值必须满足不等式0 yx, 即定义域为即定义域为 0| ),(yxyxD. 点集点集D在在xOy面上表示一个在直线上方的半平面面上表示一个在直线上方的半平面(不不包含边界包含边界0 yx)，如下图所示，此时如下图所示，此时 D 为无界开区域为无界开区域 O y x 例例 6 6 求求二二元元函函数数1)9ln(2222yxyxz的的定定义义域域 解解 这这个个函函数数是是由由)9ln(22yx 和和122 yx两两部

7、部分分构构成成，所所以以要要使使函函数数 z有有意意义义，yx,必必须须同同时时满满足足 , 01, 092222yxyx 即即9122yx,函函数数定定义义域域为为 .91 | ),(22yxyxD点点集集 D 在在xOy平平面面上上表表示示以以原原点点为为圆圆 心心，半半径径为为 3 的的圆圆与与以以原原点点为为 圆圆心心的的单单位位圆圆所所围围成成的的圆圆环环 域域(包包含含边边界界曲曲线线内内圆圆122 yx， 但但不不包包含含边边界界曲曲线线外外圆圆922 yx) (如如右右图图所所示示) x O 1 3 y 二、二元函数的几何意义,( ),;( , ),.,yf xzf x y已经

8、知道 一元函数的图形 是平面上的一条曲线对于二元函数的图形 则为空间的一个曲面在前面讲过的平面和曲面 都可以为二元函数图形的例子.222,(6 15.)zRxyRxOy 函数的图形是以原点为中心为半径,在平面上的半个球面 见图例6图6-15 例6示意图yxzRO三、二元函数的极限和连续性1.二元函数的极限 函数的极限是研究当自变量变化时，函数的变化趋势，但是二元函数的自变量有两个，所以自变量的变化过程比一元函数要复杂得多.00000000( , )( ,)( , )( ,)(,)(, )(,)x yx yzf x yP xyP x yP xyP x y现在把一元函数的极限概念推广到二元函数上.

9、考虑当点趋近于点时函数的变化趋势.虽然点趋近于点的方式是多种多样的,如果用 表示点与点之间的距离2200()()xxyy000,000( , )(,),0( , )(,).,x yx yxx yyx yx y那么的过程不论多么复杂 总可以用或来表示自变量的变化过程这样 可以提出二元函数极限的定义如下.00000000000( , )(,)(,).( , )(,),( , ),( , ),zf x yP x yP x yP x yP x yf x yAAf x yxxyy义 设在点附近有定义 在点可以没有定义 如果当趋向点时 对应的函数值总是趋向于一个确定的常数则称 为函数当时的极限 记作定20

10、00lim( , )lim( , )xxyyf x yAf x yA或 二元函数的极限是一元函数极限的推广，有关一元函数极限的运算法则和定理,都可以推广二元函数的极限，下面举例说明.2200lim?xyxyxy 讨论极限是否存在例80220000,( , )(0,0),lim,;( , )(0,0),(0,0).xyP x yPxyxyP x yPP 由极限定义知 当以任何方式趋于时 如果极限存在 其极限应该是惟一的 反之,如果选择沿两条特殊的路径让趋于时 只要有一个极限不存在或两个极限值不同,就可断定函数的极限不存在0,( , )(0,0),P x yykxP 现在取两条特殊的路径来考察上述

11、极限 例如,令沿直线趋于点时2222220000limlim(1)1xxyy kxxykxkxyxkk22220010,0;1,.211lim.xykkkkkkxyxy如果取时 则如果取时 则所以不存在解2.二元函数的连续性000( , )(,), ( , ),f x yP x yP x y义 设函数在点的某个邻域内有定义是邻域内的任意一点 如果定30000lim( , )(,)xxyyf x yf x y0000( , )(,).( , )f x yP xyf x yP则称函数在点连续在点是否一定有定义?( ,),( ,)f x yDf x yD如果函数在区域内各点连续 则称在区域上连续.函

12、数的不连续点称为函数的间断点.1,()zyxyx 函数在直线上无定义 所以此直线上的点都是函数的间断点.说明二元函数的间断点可以形成一条曲线例9() 和一元函数类似,连续函数经过四则运算所得的函数仍然是连续的,连续函数经过复合运算所得的函数也是连续的.由此得到:二元初等函数在其定义区域 包含在定义域内的区域内 是连续的与闭区间上一元连续函数的性质相类似,在界闭区域上连续的二元函数,有以下定理. 在有界闭区域上连续的二元函数在该区域上一定能取到最大值和最小值.定理1 在有界闭区域上连续的二元函数必能取得介于它的两个不同函数值之间的任何值至少一次.定理2思考题1.定义区域就是定义域吗?为什么?答案

13、答案00,?2.二元函数在点处可导与可微的关系是什么Z = fx,yxy答案答案0003.,?判定在二重极限不存在 有哪些常用的方法fx yPxy答案答案课堂练习题21.ln21.求二元函数的定义域Zyx答案答案220112.lim.求极限xyxyxy答案答案223.?在何处是间断的yxZyx答案答案一、偏导数的定义及求法0( ,),( ,).zf x yyxzxzf x yxzx 对于二元函数若固定只让 变化 则 就成为的一元函数 比如说这样的一元函数对 的导数就称为二元函数 对 的偏导数.0000000000( , )(,)(,)(,),lim,( , )(,),xzf x yx yf x

14、x yf x yyyxzf x yx yx 义 设函数在点的某一个邻域内有定义.固定如果极限存在 则称此极限值为函数在点处对 的偏导数 记作定10000(,)(,)0000,( ,)( ,)x yx yxxfzz x yf x yxx或等00( , )( , )zf x yx yy同样,函数在点处对 的偏导数定义为00000(,)( ,)limxf yy yf x yy 0000(,)(,)0000,( ,)( ,).x yx yyyfzz x yf x yyx记作或等( , )( , ),( , )zf x yDx yxx yzf x yx如果函数在区域 内每一点处对 的偏导数都有存在,那么

15、这个偏导数就是的函数,称为函数对自变量 的偏导函数.记作,( , )xxfzzfx yxx,或,( , )zf x yy同样 函数对自变量 的偏导函数记作,( , )yyfzzfx yyy,或偏导函数也简称为偏导数.32432(1,2)zxx yy 求函数在点处的两个偏导数.例1因为22336,34zzxxyxyxy所以2(1,2)3 161215zx 23(1,2)3 14235zy解sin(),.zzzxxyxy 设求例2sin()cos(),cos()zzxyxxyxxyxy解,()1PVRTRPVTVTP 已知理想气体的状态方程为为常数证例32,RTPRTPVVV将原方程变形为则,RT

16、VRVPTP同理 对于有11,TTPVVRPR对于有21PVTRTRVRTVTPPRPVV 于是证222ux yy zz x 求三元函数的偏导数.例422,(,)uxyzy zx将看成常数22,uyzxy22.uzxyz解解解 把把 y看看作作常常量量对对 x求求导导数数, ,得得yxxzsin2 把把 x看看作作常常量量对对 y求求导导数数，得得yxyzcos2 解解 对对 x求求导导时时，把把 y看看作作常常量量对对 x求求导导，得得1yyxxz. . 对对 y求求导导时时，把把 x看看作作常常量量对对 y求求导导，得得xxyzyln 解解 偏导数偏导数 2212yxxxz，2212yxy

17、yz, , 在在(1(1，2)2)处的偏导数就是偏导数在处的偏导数就是偏导数在(1(1，2)2)处的值，处的值，所以所以 31)2, 1(xz，.32)2, 1(yz 223yyxxz解法解法1:xz)2, 1 (xz在点(1 , 2) 处的偏导数.,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213机动 目录 上页 下页 返回 结束 ，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 证证:xzyzxxzyxln1 例例7. 求222zyxr的偏导数 . 解解:xryryyxx yz求证,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry机动 目录 上页 下页 返回 结

18、束 00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线0),(xxyxfzyTM0在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线yxz0 xyToxT0y0M机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 y 轴的对于二元函数对于二元函数),(yxfz 的两个偏导数的两个偏导数 xz，yz，一般说来，它们仍然是自变量一般说来，它们仍然是自变量 , x y的函数如果的函数如果 xz，yz的偏导数存在，可以继续对的偏导数存在，可以继续对 x或或 y求偏导数，则称求偏导数，则称这两个偏导数的偏导数为函数这两个偏导数的

19、偏导数为函数),(yxfz 的二阶偏数 这的二阶偏数 这 样的二阶偏导数共有四个，分别表示为样的二阶偏导数共有四个，分别表示为 ),()(22yxfxzxzxxx, , ),()(2yxfyxzxzyxy, , ),()(2yxfxyzyzxyx, , ),()(22yxfyzyzyyy. . 其其中中第第二二、第第三三两两个个偏偏导导数数称称为为混混合合偏偏导导数数它它们们求求偏偏导导数数的的先先后后次次序序不不同同，前前者者是是先先对对 x后后对对 y求求导导，后后者者是是先先对对y后后对对x求求导导类类似似地地可可以以定定义义三三阶阶、四四阶阶、n阶阶偏偏导导数数二二阶阶及及二二阶阶以以

20、上上的的偏偏导导数数都都称称为为高高阶阶偏偏导导数数 例例 8 8 设设函函数数,3323yxyxz求求它它的的二二阶阶偏偏导导数数 解解 函函数数的的一一阶阶偏偏导导数数为为 3263xyyxxz，2239yxxyz, , 二阶偏导数为二阶偏导数为 22xz)(xzx )63(32xyyxx366yxy , , yxz2)(xzy )63(32xyyxy= =22183xyx , , xyz2)(yzx )9(223yxxx= =22183xyx , , 22yz)(yzy )9(223yxxy218xy. . 从从上上例例看看到到，3333yxyxz的的两两个个二二阶阶偏偏导导数数是是相相

21、等等的的，但但这这个个结结论论并并不不是是对对任任意意可可求求二二阶阶偏偏导导数数的的二二元元函函数数都都成成立立，不不过过当当两两个个二二阶阶混混合合偏偏导导数数满满足足如如下下条条件件时时，结结论论就就成成立立 定理定理 若若),(yxfz 的两个二阶混合偏导数在点的两个二阶混合偏导数在点),(yx连续，则在该点有连续，则在该点有 yxz2xyz2. . 对对于于三三元元以以上上函函数数也也可可以以类类似似地地定定义义高高阶阶偏偏导导数数，而而且且在在偏偏导导数数连连续续时时， 混混合合偏偏导导数数也也与与求求偏偏导导的的次次序序无无关关 *二、全微分在数值计算中的应用二、全微分在数值计算

22、中的应用 应用 一元函数 y = f (x) 的微分)( xoxAyxxfy)(d近似计算估计误差本节内容本节内容:一、全微分的定义、全微分的定义 全微分一一元元函函数数的的微微分分概概念念回回顾顾 如 果 一 元 函 数如 果 一 元 函 数)(xfy 在 点在 点 x处 的 改 变 量处 的 改 变 量)()(xfxxfy， 可以表示为关于， 可以表示为关于 x的线性函数与的线性函数与一个比一个比x的高阶无穷小之和，即的高阶无穷小之和，即 )()(xfxxfyA)( xox. . 其中其中 A 与与 x无关， 仅与无关， 仅与 x有关，有关，)( xo 是当是当 x0时比时比x高阶的无穷小

23、，则称一元函数高阶的无穷小，则称一元函数)(xfy 在在 x可可微，并称微，并称 xA是是)(xfy 在点在点 x处的微分，记为处的微分，记为ydxA，且有若且有若)(xf可导则可导则 )(xfA 第三节第三节 全微分全微分 定义定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oyBxAz其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，称为函数),(yxf在点 (x, y) 的全微分全微分, 记作yBxAfz dd若函数在域 D 内各点都可微,22)()(yx则称函数 f ( x, y ) 在点

24、( x, y) 可微可微，机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量则称此函数在在D 内可微内可微.yBxA(2) 偏导数连续),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微),(lim00yyxxfyx得zyx00lim0),(yxf函数在该点连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微可微 ,则该函数在该点偏导数yzxz,yyzxxzzd), (), (yfyfzxxz同样可证,Byzyyzxxz

25、zd证证: 由全增量公式, )(oyBxAz,0y令)(xoxA必存在,且有得到对 x 的偏增量xxx因此有 xzxx0limA机动 目录 上页 下页 返回 结束 反例反例: 函数),(yxf易知,0) 0, 0()0, 0(yxff 但)0, 0()0, 0(yfxfzyx因此,函数在点 (0,0) 不可微 .)(o注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏导数存在函数 不一定可微 !即:0,2222yxyxyx0, 022 yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(yyxxfyzxz,证证：),(),(yxfyyxxfz)1,

26、0(21xyxfx),( yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf),( yxf),(yyxfyyxfy),(若函数),(yxfz 的偏导数,),(连续在点yx则函数在该点可微分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 0lim00yx,0lim00yxxxu类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如, 三元函数),(zyxfu ud习惯上把自变量的增量用微分表示,udyyudzzudxxud的全微分为yyuzzu于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点 (2,1) 处的全微分. yxez 解解:xz222) 1 , 2(,) 1 , 2(eyzexzyexezd2dd22

27、) 1 , 2(例例2. 计算函数的全微分. zyeyxu2sin解解: udxd1yyd) cos(221zeyzydyz,yxeyyxex)d2d(2yxezyez机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解 由由定定义义知知，全全增增量量 1624. 0) 1(2)01. 01()02. 02(2222z. . 函函数数22yxz 的的两两个个偏偏导导数数 22xyxz，yxyz22. . 因因为为它它们们都都是是连连续续的的， 所所以以全全微微分分是是存存在在的的， 于于是是所所求求在在点点( (2 2，- -1 1) )处处的的全全微微分分为为 0.16(-0.01)(-8) 02. 0

28、4dz. . 可知当1. 近似计算近似计算由全微分定义xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(较小时,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及有近似等式:),(yxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 (可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算) 半径由 20cm 增大解解: 已知,2hrVV,100,20hr) 1(2005. 01002022V即受压后圆柱体体积减少了 .cm2003到 20.05cm , 则 rrh2hr 21,05. 0hr)cm(2003高度由100cm 减少到 99cm ,体积的近似改变量. 机动 目录

29、上页 下页 返回 结束 求此圆柱体的近似值. 02. 204. 1解解: 设yxyxf),(,则),(yxfx取, 2, 1yx则)02. 2,04. 1(04. 102. 2fyfxffyx)2, 1 ()2, 1 ()2, 1 (08. 102. 0004. 021),(yxfy,1yxyxxyln02. 0,04. 0yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 微分定义:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要关系:)( o函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续机动 目录 上页 下

30、页 返回 结束 思考题1.,1?因为导数就是微商 所以此命题是否正确xyzyzx答案答案2.是否只有可微函数才有极值点?请举例说明.答案答案3.试说明二元函数在某点处偏导数存在与可微之间的关系.答案答案课堂练习题221,21.求 =在点处的全微分.Zxy答案答案22211.2.设 =验证yzzzZxyxxyyy答案答案一元复合函数)(),(xuufy求导法则xuuyxydddddd本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数

31、的求导法则 )(),(ttfz定理定理. 若函数,)(, )(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导连续, ),(vu在点在点 t 可导, tvvztuuztzddddddz则复合函数证证: 设 t 取增量t ,vvzuuzz)()(22vu)(o则相应中间变量且有链式法则vutt机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量u ,v ,0t令,0,0vu则有to)( 全导数公式全导数公式 )tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 时,根式前加“”号)tvtvtutudd,dd机动 目录 上页 下页 返回 结束 tvvztuuztzddddd

32、d1) 中间变量多于两个的情形. 例如, ),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微 .tzdd321fff2) 中间变量是多元函数的情形.例如,),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(, )(, )(twtvtu),(, ),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时, 有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 这里xzxfxz表示固定 y 对 x 求导,xf表示固定 v 对 x 求导口诀口诀 : 分段用乘, 分叉

33、用加, 单路全导, 叉路偏导xfxvvfyvvf与不同,v机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf

34、2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全导数,teu ,costv 解解:tusintcos注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 隐函数的求导方法 定理定理1.1. 设函数),(0

35、0yxP),(yxF;0),(00yxF则方程00),(xyxF在点单值连续函数 y = f (x) , )(00 xfy 并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxFy满足条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数0)(,(xfxF两边对 x 求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在),(00yx的某邻域内则机动 目录 上页 下页 返回 结束 若函数 ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某

36、邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ,则方程0),(zyxF在点),(00yx并有连续偏导数, ),(000yxfz 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足0),(000zyxF0),(000zyxFz 在点满足:某一邻域内可唯一确机动 目录 上页 下页 返回 结束 0),(,(yxfyxF两边对 x 求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得,0),(),(所确定的隐函数是方程设yxFyxfz则zFxz00),(000zFzyx的某邻域内在机动 目录 上页 下页 返回 结束 解一解一 因为因为e0zxyz确定了函数确定了函数),(yxzz

37、，所，所以方程两边对以方程两边对 x 求导得求导得 e0zzzyzxyxx, 所以所以 xzezyzxy. 类似可得类似可得yzxyxzze ,04222zzyx解法解法1 利用隐函数求导0422xzxzzxzxxz2机动 目录 上页 下页 返回 结束 xz求设zzyxzyxF4),(222则,2xFxzxFFxz2zxzx242 zFz机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题1.,.对于在存在偏导且的一阶偏导数在对应点连续.请写出复合函数对 的偏导数公式x yx yx yZfZ =fx yx yy 答案答案 2., ,.?若那么dzZfxxxdy 答案答案003.0,.xxyyyF x y

38、xyFF FyF 若 是方程F x,y确定的隐函数,且,在某邻域连续且存在连续偏导数则该命题是否正确?为什么?答案答案课堂练习题2,.1.设sin =求xdyy xyedx答案答案2.,.求函数的一阶偏导数f x xy xyzx答案答案一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值应用问题二、最值应用问题三、条件极值三、条件极值机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法xyz定义定义: 若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如例如 :在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.极大值和极小值统称为极值, 使函数取

39、得极值的点称为极值点.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有xyzxyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如,函数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值 ,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.且在该点取得极值 , 则有),(),(00yxyxfz在点存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxf

40、z 0yy yxz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 时, 具有极值的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令则: 1) 当A0 时取极小值.2) 当3) 当时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解 设设),(yxfxyyx333 ),(yxf的偏导数的偏导数 yxyxfx33),(2， xyyxfy33),(2, xyxfxx6),(， 3),(yxf

41、xy， yyxfyy6),(. 求函数求函数),(yxf的驻点，即解方程组的驻点，即解方程组 , 033, 03322xyyx 得驻点分别为得驻点分别为)0 , 0(，)1 , 1( 关关于于驻驻点点) 1 , 1 (: 有有6) 1 , 1 (xxf，3) 1 , 1 (xyf，6) 1 , 1 (yyf， 所所以以 ACB22)3(02766且且06 A，因因此此，),(yxf在在点点) 1 , 1 (取取得得极极小小值值. 1) 1 , 1 (f 关关于于驻驻点点)0 , 0(: 有有0)0 , 0(xxf，3)0 , 0(xyf，0)0 , 0(yyf， 所所以以 ACB20900)3

42、(2，因因此此，),(yxf在在点点)0 , 0(不不取取得得极极值值 求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值.求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值

43、.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在点(1,2) 处不是极值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个只有一个极值点P 时, )(Pf为极小 值)(Pf为最小 值( (大大) )( (大大) )依据机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于实际问题中的最值问题

44、， 往往从问题本身能断对于实际问题中的最值问题， 往往从问题本身能断定它的最大值或最小值定它的最大值或最小值一定存在， 且在定义区域的内部一定存在， 且在定义区域的内部取得，这时，如果函数在定义区域内有取得，这时，如果函数在定义区域内有惟惟一的驻点，则一的驻点，则该驻点的函数值就是函数的最大值或最小值该驻点的函数值就是函数的最大值或最小值 求求实实际际问问题题中中的的最最值值问问题题的的步步骤骤是是： (1)根根据据实实际际问问题题建建立立函函数数关关系系，确确定定其其定定义义域域; (2)求求出出驻驻点点; (3)结结合合实实际际意意义义判判定定最最大大、最最小小值值 解解 从这个实际问题知

45、材料最省的长方体容器一从这个实际问题知材料最省的长方体容器一定存在，设容器的长为定存在，设容器的长为 xm，宽为，宽为 ym，高为，高为 zm(见下图见下图)，则无盖容器所需钢板的面积为，则无盖容器所需钢板的面积为 xzyzxyA22, 又已知又已知 3axyzV, 于是把于是把xyaz3代入代入 A 中，得中，得 )0, 0()(23yxxyyxaxyA x y z 求求 A 的偏导数的偏导数 232xayxA, 232yaxyA, 求驻点，即解方程组求驻点，即解方程组 , 02, 022323yaxxay 因为因为0, 0yx，解方程组，得，解方程组，得ayx32，代入代入xyaz3中，得

46、中，得az223，于是驻点，于是驻点惟惟一，所以一，所以当长方体容器的长与宽取当长方体容器的长与宽取m23a，高取，高取m223a时，时，所需的材料最省所需的材料最省 例例 7 7 某工厂生产两种产品甲与乙， 出售单价分别为某工厂生产两种产品甲与乙， 出售单价分别为10 元与元与 9 元，生产元，生产 x单位的产品甲与单位的产品甲与 y单位的产品乙单位的产品乙总费用是总费用是)33(01. 03240022yxyxyx元元,求取得最求取得最大利润时，两种产品的产量各多少大利润时，两种产品的产量各多少? 解解 设设),(yxL表表示示产产品品甲甲与与乙乙分分别别生生产产 x与与 y单单位位时时所

47、所得得的的总总利利润润因因为为总总利利润润等等于于总总收收入入减减去去总总费费用用，所所以以 )910(),(yxyxL )33(01. 03240022yxyxyx 400)33(01. 06822yxyxyx, 再再由由 06. 0,01. 0, 006. 0yyxyxxLLL, 得得 0105 . 3)06. 0()01. 0(3222ACB 所所以以，当当120 x与与80y时时，320)80,120(L是是极极大大值值由由题题意意知知，生生产产 120 单单位位产产品品甲甲与与 80单单位位产产品品乙乙设设所所得得利利润润最最大大 由由 0)6(01. 08),(yxyxLx, 0)

48、6(01. 06),(yxyxLy, 得得驻驻点点(120，80) 极值问题无条件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如 ,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz )(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz机动 目录 上页 下页 返回 结束 考虑函数考虑函数),(yxfz 在满足约束条件在满足约束条件0),(yx时的时的条件极值问题，求解这一条件极值问题的常用方法是拉条件极值问题，求解这一条件极值问题的常用方法是拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法的具体求解步

49、骤如下：格朗日乘数法拉格朗日乘数法的具体求解步骤如下： (1) 构造辅助函数构造辅助函数(称为拉格朗日函数称为拉格朗日函数) ),(),(),(yxyxfyxLL 其中其中为待定常数， 称为拉格朗日乘数， 将原条件极值问为待定常数， 称为拉格朗日乘数， 将原条件极值问题化为求三元函数题化为求三元函数),(yxL的无条件极值问题的无条件极值问题; (2) 由无条件极值问题必要由无条件极值问题必要条件有条件有 0,0,( , )0,xxyyLfxLfyLx y 联联立立求求解解这这三三个个方方程程，解解出出可可能能的的极极值值点点 ),(yx和和乘乘数数；判判别别求求出出的的 ),(yx是是否否为

50、为极极值值点点，通通常常由由实实际际问问题题的的实实际际意意义义判判定定 对对于于多多于于两两个个自自变变量量的的函函数数或或多多于于一一个个约约束束条条件件的的情情形形也也有有类类似似的的结结果果 解解 设设拉拉格格朗朗日日函函数数为为 )(22),(3axyzyzxzxyzyxL, 由由 , 0, 022, 02, 023axyzLxyyxzLxzzxyLyzzyxL 将上述方程组的第一个方程乘将上述方程组的第一个方程乘 x， 第二个方程乘以， 第二个方程乘以 y， 第， 第三个方程乘以三个方程乘以 z，再两两相减得，再两两相减得 , 02, 022xzxyyzxz因为因为0, 0zx，所

51、以有，所以有zyx2，代入第四个方程得惟一，代入第四个方程得惟一的可能极值点的可能极值点 ayx32，az223. 由 问 题 本 身 可 知 最 小 值 一 定 存 在 ， 因 此 当由 问 题 本 身 可 知 最 小 值 一 定 存 在 ， 因 此 当ayx32m，m223az 时，容器所需材料最省时，容器所需材料最省 解解 约约束束条条件件为为042),(yxyx 设设拉拉格格朗朗日日函函数数 )42(128),(22yxyxyxyxF, 求求其其中中对对 x，y，的的一一阶阶偏偏导导数数，并并使使之之为为零零，得得方方程程组组 , 042, 024, 016yxFyxFyxFyx 解解得得 25x 件件，17y件件，故故惟惟一一驻驻点点(25,17)也也是是最最小小值值点点，它它使使成成本本为为最最小小，最最小小成成本本为为 804317121725258)17,25(22C(元元). 2a 求表面积为 而体积为最大的长方体的体积.例5, , ,(0,0,0)Vx y zVxyz