九年级数学期中复习资料

1、WORD格式一元二次方程及应用【知识梳理】专业资料整理1 一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下几点：只含有一个未知数；未知数的最高次数是2；是整式方程。知识点二一元二次方程的一般形式一般形式： ax2 + bx + c = 0(a 0).其中， ax2 是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项，是一次项系数；c 是常数项。知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。典型例题：b

2、m211、已知关于x 的方程（ m+2 降次解一元二次方程3 ） x+ （ m-3） -1=0是一元二次方程，求m 的值。配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a 0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a ,x2=a .（2）直接开平方法适用于解形如x2=p 或 (mx+a)2 =p(m 0)形式的方程，如果p 0，就可以利用直接开平方法。（ 3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（ 4

3、） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：移项；使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；解一元一次方程，求出原方程的根。知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法， 叫做配方法， 配方的目的是 降次 ，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。（ 1）把常数项移到等号的右边；（ 2）方程两边都除以二次项系数；（ 3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；（ 4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。公式法知识点一公式法解一元二次方

4、程（1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0)，如果b2 -4ac 0，那么方程的两个根2bb4ac为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，2a我们可以由一元二方程的系数a,b,c 的值直接求得方程的解，公式法。这种解方程的方法叫做（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a 0)的过程。（3）公式法解一元二次方程的具体步骤：方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a 0)，一般 a 化为正值确定公式中a,b,c的值，注意符号；求出 b2-4ac 的值；若 b2-4ac0，则把a,b,c 和b-4ac 的

5、值代入公式即可求解，若b2-4ac 0，则方程无实数根。知识点二一元二次方程根的判别式式子 b2 -4ac 叫做方程 ax2+bx+c=0(a 0)根的判别式，通常用希腊字母表示它，即 =b 2-4ac. 0，方程 ax2+bx+c=0(a 0)有两个不相等的实数根 =0 ，方程 ax2 +bx+c=0(a 0)有两个相等的实数根 0，方程 ax2+bx+c=0(a 0)无实数根因式分解法知识点一因式分解法解一元二次方程（1）把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。（2）因式分解法的详细步骤：移项，将所有的

6、项都移到左边，右边化为0；把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法 有提公因式、 平方差公式和完全平方公式；令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；解一元一次方程即可得到原方程的解。知识点二用合适的方法解一元一次方程3 一元二次方程的根与系数的关系2若一元二次方程x +px+q=0 的两个根为x1,x2,则有x1+x 2=-p,x 1x2=q.若一元二次方程a2x+bx+c=0(a 0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x 2 =b, x1x2=caa22.3 实际问题与一元二次方程知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：（ 1） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量

7、以及它们之间的等量关系。（ 2） 设：是指设元，也就是设出未知数。（ 3） 列：列方程是关键步骤 ,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。（ 4） 解：就是解方程，求出未知数的值。（ 5） 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。（ 6） 答：写出答案。知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型（1）数字问题三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1， x+1。三个连续偶数（奇数） ：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。三位数的表示方法：设百位、 十位、个位上的数字

8、分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c.（2）增长率问题设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1x ） 2=b 。（3）利润问题利润问题常用的相等关系式有：总利润 = 总销售价 -总成本；总利润 = 单位利润×总销售量；利润 =成本×利润率（4）图形的面积问题根据图形的面积与图形的边、 高等相关元素的关系， 将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。【典型例题分析】【例 1】已知 ABC 中， AB c， BC a， AC 6， x 为实数，且ab6 ， x2ab 9 (1)求 x 的值

9、；(2)若 ABC 的周长为10，求 ABC 的面积 S ABC 解： （ 1） a6 b 代入 x2ab 9 中得 x2(b3)20 ，x20 ， (b3)20 ，x0 ， b3 （ 2）由（ 1）知 ab 3，c1064，SABC143222252【例 2】、某商店购进600 个旅游纪念品，进价为每个6 元，第一周以每个10 元的价格售出200 个，第二周若按每个10 元的价格销售仍可售出200 个，但商店为了适当增加销量， 决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1 元，可多售出50 个，但售价不得低于进价） ，单价降低 x 元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4 元的价

10、格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250 元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？解：由题意得出：200 ×（10-6） + （10-x-6）（ 200+50x） + （ 4-6）（ 600-200-（ 200+50x） =1250，即 800+（ 4-x）（ 200+50x） -2（ 200-50x） =1250，整理得： x2-2x+1=0 ，解得： x1 =x 2=1 ， 10-1=9 ，答：第二周的销售价格为9 元【例 3】、要在一块长 52m，宽 48m 的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路下面分别是小亮和小颖的设计方案（ 1）求小亮设计方案中甬路的宽度x

11、；（ 2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的与小亮设计方案中的取值相同）解：（ 1）根据小亮的设计方案列方程得：（ 52-x）（ 48-x） =2300解得： x=2 或 x=98 （舍去）小亮设计方案中甬道的宽度为2m；（ 2）作 AI CD， HJ EF，垂足分别为 I， J， AB CD， 1=60 °， ADI=60 °， BC AD，四边形 ADCB 为平行四边形， BC=AD由（ 1）得 x=2 ， BC=HE=2=AD在 Rt ADI 中， AI=2sin60°=3 ，小颖设计方案中四块绿地的总面积为52 × 48

12、-52 ×2-48 × 2+ （3 ） 2=2299 平方米【例4】、小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10 件，单价为80 元；如果一次性购买多于10 件，那么每增加1 件，购买的所有服装的单价降低2 元，但单价不得低于50 元按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了 1200 元请问她购买了多少件这种服装？解：设购买了 x 件这种服装，根据题意得出：80-2（ x-10）x=1200 ，解得： x1 =20， x2=30 ，当 x=30 时， 80-2（ 30-10）=40 （元） 50 不合题意舍去；答：她购买了 20 件这

13、种服装【例5】、“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具某运动商城的自行车销售量自 2013 年起逐月增加，据统计，该商城 1 月份销售自行车 64 辆， 3 月份销售了 100 辆（1）若该商城前4 个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4 月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3 万元再购进一批两种规格的自行车，已知 A 型车的进价为500 元 / 辆，售价为 700 元 / 辆， B 型车进价为1000 元 / 辆，售价为 1300元/ 辆根据销售经验， A 型车不少于 B 型车的2 倍，但不超过 B 型车的 2.8 倍假设所进车辆全

14、部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？解：（ 1）设平均增长率为 x，根据题意得：64（ 1+x） 2=100解得： x=0.25=25% 或 x=-2.25四月份的销量为：100（ 1+25% ） =125 辆，答：四月份的销量为125 辆（2）设 A 型车 x 辆，根据题意得： 2×30000 500x30000 500x2x 2.8，解得： 30 x 3510001000B型车的利润大于A 型车的利润，当 A 型车进货量最小时有最大利润，最大利润为：200 × 30+300 × 15=10500 ；【例 6】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20 件，

15、每件盈利40 元，为了扩大销售，增加盈利， 尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2 件，若商场平均每天要盈利1200 元，每件衬衫应降价多少元？【解析】设每件衬衫降价x 元，则每件衬衫盈利(40 x)元，降价后每天可卖出(20+2x)件，由关系式：总利润= 每个商品的利润×售出商品的总量，可列出方程【解答】设每件衬衫降价x 元， 依题意，得 (40 x)(20+2x)=1200 ，整理得： x2 30x+200=0 ， 解得： x1 =10 ， x2 =20 ，因为要尽快减少库存，所以x=10 舍去答：每件衬衫应降价20

16、元二次函数【知识梳理】一二次函数的基本概念1二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（ a，b ，c 是常数， a0 ）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：二次项系数 a 0 ，而 b ，c 可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数 y ax2 bx c 的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是 2 a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项二 二次函数的基本形式4. y a x2hk 的性质：总结：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质xh 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随a0向上h ，k

17、X=hx 的增大而减小；x h 时， y 有最小值 k xh 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随a0向下h ，kX=hx 的增大而增大；x h 时， y 有最大值 k 三 二次函数图象的平移1.平移步骤：将抛物线解析式转化成顶点式y a xh 2k ，确定其顶点坐标h，k ；保持抛物线 yax 2 的形状不变，将其顶点平移到h ，k处，具体平移方法如下：y=ax 2向上 (k>0)【或向下 (k<0) 】平移 |k|个单位y=ax 2+ k向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】向右 (h>0)【或左 (h<0) 】向右 (h>0)

18、 【或左 (h<0) 】平移 |k| 个单位平移 |k| 个单位平移 |k| 个单位向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|个单位y=a (x-h)2向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|个单位y=a( x-h)2+k2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减”四二次函数 y a x h2bxc 的比较k 与 y ax2总结：从解析式上看，ya xh 2k 与 yax2bx c是两种不同的表达形式，后者通过配2b2b ，kb 2方可以得到前者，即yaxb4ac，其中 h

19、4ac2a4a2a4a五二次函数 yax2bxc 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc 化为顶点式 ya (xh)2k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为： 顶点、与 y 轴的交点0 ，c、以及0 ，c 关于对称轴对称的点2h，c、与 x 轴的交点1，0，2（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.xx ，0画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点 .六二次函数 yax2bxc 的性质1. 当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb，顶点坐标为b ，4acb22a2a4

20、a当 xb 时， y 随 x 的增大而减小； 当 xb时， y 随 x 的增大而增大； 当 xb2a2a2a时， y 有最小值 4acb24a2.当 a 0 时，抛物线开口向下，对称轴为xb ，顶点坐标为b ，4ac b2当2a2a4axb 时， y 随 x 的增大而增大； 当 xb 时， y 随 x 的增大而减小； 当 xb时， y 有2a2a2a最大值 4ac b24a七、二次函数解析式的表示方法1.一般式： yax 2bx c （ a ， b ， c 为常数， a0 ）；2.顶点式： ya(xh)2k （ a ， h ， k 为常数， a0 ）；3.两根式： ya (xx1)( xx2

21、) （ a 0 ， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b24ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便 一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两

22、个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数y ax2bx c 中， a 作为二次项系数，显然 a 0 当 a0 时，抛物线开口向上， a 的值越大， 开口越小， 反之 a 的值越小， 开口越大； 当 a0 时，抛物线开口向下， a 的值越小， 开口越小， 反之 a 的值越大， 开口越大总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴 在 a0 的前提下，当 b0 时，b0，

23、即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b0 时，b0，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0 时，b0，即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a 在 a0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0 时，b0，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0时，b0，即抛物线对称轴在 y轴的左侧2a总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置总结：3. 常数项 c 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0； 当 c0 时

24、，抛物线与y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置总之，只要a，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称y2b x 关c于 x 轴对称后，得到的解析式是yax2bxc ；a xya x2ya xh2hk 关于 x 轴对称后，得到的解析式是k ；2. 关于 y 轴对称y2b xcyax2bxca x；关于 y 轴对称后，得到的解析式是ya x2k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是ya xh2k ；h3. 关于原点对称y2b

25、x 关c于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc；a xya x2ya xh2h关k于原点对称后，得到的解析式是k ；4. 关于顶点对称y2b xc2b 2a xyaxbx c；关于顶点对称后，得到的解析式是2aya x2k 关于顶点对称后，得到的解析式是ya2k hx h5. 关于点m，n 对称222n ky a x hk 关于点 m，n 对称后，得到的解析式是ya x h 2m根据对称的性质， 显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a永远不变 求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）

26、的顶点坐标及开口方向， 再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十 二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2bx c 0 是二次函数 y ax2bxc 当函数值 y0 时的特殊情况 .图象与 x 轴的交点个数： 当b24ac0 时，图象与 x 轴交于两点 Ax1 ，0，B x2 ，0 ( x1x2 ) ，其中的 x1 ，x2是一元二次方程ax2bxc0 a0 的两根这两点间的距离ABx2 x1b24ac.a当0时，图象与 x 轴只有一个交点；当0时，图象与 x 轴没有交点 .1'当 a0

27、时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y0 ；2'当 a0时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y0 2. 抛物线 yax2bx c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ， c) ；3. 二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数yax2bxc 中 a ，b ，c 的符号， 或由二次函数中a ，b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知

28、与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.【典型例题分析】【例 1】若抛物线y= （ m 1） xm2 m 开口向下，则m=_ 【答案】 -1【解析】试题分析：根据二次函数的定义条件可得 m2m=2 ，m 1 0 解得 m=2 或 m= 1，且 m 1，因此当 m=2 或 1 时，这个函数都 是二次函数；由 m 1 0， m 1 可知 m= 1考点：二次函数的性质；二次函数的定义【点睛】根据二次函数的定义条件可得二次项系数不为0，且最高次项的系数为2，由此即可求解考点典例二、二次函数的解析式【例 2】如图，二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点B（ 0， 2）它与反比例函数y=

29、 的图象交于点 A （ m， 4），则这个二次函数的解析式为（）A y=x 2 x 2B y=x2 x+2C y=x2 +x 2D y=x 2+x+2【答案】 A【解析】试题分析：将A （m， 4）代入反比例解析式得：4= 8 ，即 m= 2，m A（ 2， 4），42bc 4将 A （ 2， 4）， B（ 0， 2）代入二次函数解析式得：2，c解得： b= 1，c= 2，则二次函数解析式为y=x 2 x 2故选 A【点晴】先根据 A 在反比例函数图象上，求出m 的值，再把A 、 B 点坐标代入二次函数y=x 2+bx+c 中，求出 b、 c 的值即可 .考点典例三、二次函数的最值【例 3】已

30、知 0 1 ，那么函数 = 22+8 6 的最大值是（）xyxx2A 10.5B 2C 2.5D 6【答案】 C1【点睛】根据顶点式得到它的顶点坐标是（2，2），再根据其a 0 且 0x，即可求出2函数的最大值【例 4】.当 2 xl时，二次函数 yx m21 有最大值4，则实数 m 的值为【】m 27(B)3或3(c)2 或3(D)2 或3 或7(A)44【答案】 C【解析】试题分析：当2 xl时，二次函数yx m2m21 有最大值4，二次函数在2 xl上可能的取值是x= 2 或 x=1 或 x=m.当 x= 2时，由42mm 21 解得 m7，此时 yx265，它在7244162 xl的最

31、大值是65 > 4 ，与题意不符 .16当 x=1 时，由412m 21 解得 m2 ，此时 yx222 xl的m5，它在最大值是4，与题意相符 .当 x= m 时 ， 由 4m m221 解 得 m3 ， 此 时 y2mx34 . 对yx24 ，它在2 xl的最大值是 4，与题意相符；对yx3234 ，它在 2 xl在 x=1 处取得，最大值小于4，与题意不符 .综上所述，实数m 的值为 2 或3 .故选 C考点典例四、二次函数的图象与性质【例 5】二次函数y ax2bxc （ a0 ）的图象如图所示，下列结论：2a b0 ； abc 0 ； b24ac 0 ； ab c0 ； 4a

32、2b c 0 ，其中正确的个数是 （）A2B3C4D5【答案】 B故选 B考点：二次函数图象与系数的关系【点睛】根据二次函数的图象与性质进行逐项分析即可求出答案.考点典例五、二次函数图象与平移变换【例 5】)如果将抛物线 yx22x 1向上平移，使它经过点A(0,3) ，那么所得新抛物线的表达式是 _ 【答案】 y x22x3【解析】试题分析：可知抛物线过(0, 1)，上下平移时只改变常数项，由条件知平移后经过(0,3) ，故平移后解析式为yx22x3.考点： 1.抛物线平移的含义；2.求抛物线的函数解析式 .【点睛】 根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物

33、线的解析式【例 6】如图，已知二次函数y=a（ x h） 2+3 的图象经过原点O （0， 0），A （ 2， 0）（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA 绕点 O 逆时针旋转60 °到 OA，试判断点A是否为该函数图象的顶点？【答案】 (1)x=1；（ 2）是 .【解析】试题分析：（ 1）由于抛物线过点O（ 0， 0）， A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1 ；（2）作 A Bx 轴与 B，先根据旋转的性质得OA =OA=2， A OA=2，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=12OA =1 ，A B=3 OB=3 ，则 A点的坐标为 （

34、 1，3 ），根据抛物线的顶点式可判断点A为抛物线y =3 （ x 1） 2+3 的顶点试题解析：（ 1）二次函数y=a（xh） 2+3 的图象经过原点O （ 0， 0）， A（ 2， 0）抛物线的对称轴为直线x=1 ；（ 2）点 A是该函数图象的顶点理由如下：如图，作 A Bx轴于点 B，线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 60 °到 OA， OA =OA=2， A OA=2，在 Rt A OB中， OA B=30 °，1OA =1 ， OB=2AB=3OB= 3， A点的坐标为（1，3 ），点 A为抛物线y= 3 （ x 1） 2+3 的顶点考点：1.二次函数的性质；2.

35、坐标与图形变化-旋转 .【例7】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A、C 分别在x 轴、 y轴的正半轴， 抛物线y1x2bxc 经过B、C 两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、2BD、 CD（ 1）求此抛物线的解析式（ 2）求此抛物线顶点 D 的坐标和四边形 ABCD 的面积【答案】（ 1） y1 x22x 4 ；（ 2） D（ 2， 6）， 122考点： 1待定系数法求二次函数解析式；2二次函数图象上点的坐标特征【例 8】如图，顶点 M 在 y 轴上的抛物线与直线上，点 B 的横坐标为 2，连结 AM 、BM yx1 相交于A 、 B 两点，且点A 在 x 轴（ 1）

36、求抛物线的函数关系式；（ 2）判断 ABM的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线yx 的交点称为抛物线的不动点若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（ m ， 2m ），当 m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？【答案】（ 1）抛物线的解析式为 yx 21 （2） ABM 是直角三角形，且BAM 90 °理由见试题解析；（ 3）平移后的抛物线总有不动点，m1 4【解析】试题解析：解： （ 1）点 A 是直线 yx 1 与 x轴的交点，A 点为（ -1， 0）点 B 在直线 yx 1上，且横坐标为2，B 点为（ 2， 3）过点 A、 B 的抛物线的顶点M 在 y 轴上，故设其解析

37、式为： y ax2cac0a 1c，解得：c14a3抛物线的解析式为 yx 21 （2） ABM 是直角三角形，且BAM 90 °理由如下：作 BC x 轴于点 C， A（-1， 0）、 B（ 2， 3） ACBC3， BAC 45 °；点 M 是抛物线 y x21 的顶点，M 点为（ 0， -1） OA OM 1， AOM 90 °MAC 45 °； BAM BAC MAC 90 °ABM 是直角三角形（ 3）将抛物线的顶点平移至点（m ，2m），则其解析式为yx22m m抛物线的不动点是抛物线与直线yx 的交点，x22mxm化简得： x22

38、m1 x m22m0 2m 122m 4m 14 1 m2当 4m 1 0 时，方程 x22m1xm22m 0 总有实数根， 即平移后的抛物线总有不动点 m 1 4考点：二次函数的综合应用（待定系数法；直角三角形的判定；一元二次方程根的判别式）旋转【知识梳理】1 图形的旋转知识点一旋转的定义在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度，就叫做图形的旋转，点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。知识点二旋转的性质旋转的特征：（ 1）对应点到旋转中心的距离相等； （ 2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（ 3）旋转前后的图形全等。理解以下几点：（ 1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（ 2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。 （ 3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。知识点三利用旋转性质作图旋转有两条重要性质： （ 1）任意一对对应点