《大学物理学》毛骏健_顾杜课件第04章 振动和波动(4)

1、复习：复习： 同频率垂直简谐振动的合成同频率垂直简谐振动的合成合振动轨迹为一椭圆（又称合振动轨迹为一椭圆（又称“椭圆振动椭圆振动”）。）。椭圆轨迹的形状取决于振幅和相位差。椭圆轨迹的形状取决于振幅和相位差。 不同频率垂直简谐振动的合成不同频率垂直简谐振动的合成当当 时：时： 轨道闭合，形成李萨如图轨道闭合，形成李萨如图212121/,nn且 阻尼振动阻尼振动txOa： 0c： =0 cba 受迫振动受迫振动 共振共振1) 位移共振位移共振2) 速度共振速度共振波是无处不在的波是无处不在的波浪和海啸波浪和海啸多米诺骨牌多米诺骨牌电磁波：电磁波：无线电波无线电波微波微波热辐射热辐射可见光可见光X

2、射线射线什么是波？什么是波？波是振动的传播波是振动的传播机械波：机械波：机械振动在连续介质中的传递形成机械振动在连续介质中的传递形成 机械波机械波电磁波：电磁波：交变电磁场在空间中的传播交变电磁场在空间中的传播4-5 4-5 波的产生和传播波的产生和传播 4-6 4-6 波动表达式波动表达式 4-7 4-7 波的能量波的能量4-8 4-8 波的干涉波的干涉 驻波驻波4-9 4-9 惠更斯原理惠更斯原理 波的衍射波的衍射 波的反射和折射波的反射和折射1）波的产生波的产生2）横波和纵波横波和纵波3）波面和波线波面和波线4）波长和波数波长和波数5）波速波速4-5 4-5 波的产生和传播波的产生和传播

3、1.1 1.1 波的产生波的产生机械波产生条件：机械波产生条件：1）波源；）波源；2）媒质。）媒质。 真空真空波：波：振动在媒质中的传播，形成振动在媒质中的传播，形成波波。1波的产生与传播波的产生与传播1.2 1.2 横波与纵波横波与纵波 横波：横波：质元的振动方向与波的传播方向垂直质元的振动方向与波的传播方向垂直有波峰和波谷有波峰和波谷纵波：纵波：质元的振动方向与波的传播方向平行质元的振动方向与波的传播方向平行 横波只能在固体中传播，横波只能在固体中传播， 而纵波可以在固体、液体和气体中传播而纵波可以在固体、液体和气体中传播存在相间的稀疏和稠密区域存在相间的稀疏和稠密区域注意：注意： 波传播

4、的只是振动状态波传播的只是振动状态( (相位相位) )，媒质中各质元并未，媒质中各质元并未“随波逐流随波逐流”。 有些波是横波与纵波的有些波是横波与纵波的叠加。叠加。1.3 1.3 波面与波线波面与波线 波面波面：相位相同的点所构成的面相位相同的点所构成的面波线：波线：沿波的传播方向画出的带箭头的线沿波的传播方向画出的带箭头的线波面波面波线波线波前波前波前波前：最前方的波面最前方的波面平面波与球面波：平面波与球面波：波面为平面的波称为平面波；波面为平面的波称为平面波；波面为球面的波称为球面波波面为球面的波称为球面波 (a) 球面波波线波前波面(b) 平面波波线波面波前1.4 1.4 波长和波数

5、波长和波数 波长波长: :沿波的传播方向，沿波的传播方向， 相邻同相位点之间的距离。相邻同相位点之间的距离。波数波数：1k角波数角波数：2k周期周期 T : :波前进一个波长的距离所需的时间。波前进一个波长的距离所需的时间。T12频率频率 ，角频率角频率波的分类：波的分类：按波面形状按波面形状: :球面波球面波平面波平面波柱面波柱面波按复杂程度按复杂程度: :简谐波简谐波复波复波按持续时间按持续时间: :连续波连续波脉冲波脉冲波按质元之间的力按质元之间的力是否是弹性力是否是弹性力: :弹性波弹性波非弹性波非弹性波按波形是否传播按波形是否传播: :行波行波驻波驻波 波动的共同特征波动的共同特征:

6、 :具有一定的传播速度，且都伴有能量具有一定的传播速度，且都伴有能量( (动量动量) )的传播的传播。能产生反射、折射、干涉和衍射等现象。能产生反射、折射、干涉和衍射等现象。1.5 1.5 波速波速 波速波速 : :振动状态（相位）在空间中的传播速度振动状态（相位）在空间中的传播速度Tu1 1）绳索中的波速；）绳索中的波速；2 2）固体中的纵波波速；固体中的纵波波速；3 3）固体中的横波波速；固体中的横波波速；4 4）气体和液体中的波速气体和液体中的波速1 1）绳索中的波速）绳索中的波速TFu 绳波的传播：绳波的传播：FT 为张力，为张力， 为线密度为线密度Tu0l2 2）固体纵波波速固体纵波

7、波速Yu Y 为杨氏弹性模量，为杨氏弹性模量， 为体密度为体密度FFll0SF0llY拉应变拉应变拉应力拉应力3 3）固体中的横波波速固体中的横波波速Gu G 为切变弹性模量为切变弹性模量切变切变:切F切FShx tanSF切YG 固体中纵波横波uu（切应变）（切应变）（切应力）（切应力）G4 4）气体和液体中的波速气体和液体中的波速气体和液体中只能传播纵波，不能传播横波气体和液体中只能传播纵波，不能传播横波B 为体积弹性模量，为体积弹性模量， 为密度为密度Bu VVBpVV V体变可以证明声音在空气中的速度：可以证明声音在空气中的速度：MRTpu =Cp/CV，M 为摩尔质量为摩尔质量)/(

8、33229. 11001. 14 . 15smpuBu VVBp01dVpVdpVVpdVdp：得 CpVpBu：pdVdpVB得MRTpMRTu证证*：由于声振动频率较高（由于声振动频率较高（2020000 Hz），可），可以将空气的疏密过程看成以将空气的疏密过程看成绝热过程绝热过程，把空，把空气看成理想气体。气看成理想气体。Bu VVBp作业：作业：结论：结论：波速由弹性媒质性质决定，频率（或周期）波速由弹性媒质性质决定，频率（或周期） 则由波源的振动性质决定。则由波源的振动性质决定。习题习题4-7： 已知空气中的声速为已知空气中的声速为344 m/s，一声波在空气中，一声波在空气中波长是

9、波长是0.671 m，当它传入水中时，波长变为，当它传入水中时，波长变为2.83 m，求声波在水中的传播速度。求声波在水中的传播速度。4-6 4-6 波动表达式波动表达式1. 平面简谐波波函数平面简谐波波函数2. 媒质质元的运动特征媒质质元的运动特征3. 媒质质元振动的速度和加速度媒质质元振动的速度和加速度如何描述一个波？如何描述一个波？平面波函数：平面波函数：y = y (x , t)任意任意 x 处质元随时间的处质元随时间的位移位移 y 称为波函数称为波函数（波动式、波动方程）（波动式、波动方程）1. 平面简谐波波函数平面简谐波波函数波速：波速： u（向右）（向右） ，求，求 波函数波函数

10、 y = y (x, t)已知已知 O 点的振动方程：点的振动方程：)cos(0tAyuxt 在平面波传播过程中，若介质各质元均作同频在平面波传播过程中，若介质各质元均作同频率、同振幅的简谐振动，则该平面波为率、同振幅的简谐振动，则该平面波为平面简谐波平面简谐波。平面简谐波是最简单、最基本的波动。平面简谐波是最简单、最基本的波动。 假设媒质无吸收，所有质元的振幅均为假设媒质无吸收，所有质元的振幅均为A，且，且频率也相同。频率也相同。 但但 P 点的振动状态点的振动状态在时间上落后于在时间上落后于 O 点：点：)(cos), 0(),(0uxtAuxtytxy)(cos),(uxtAtxy 平面

11、简谐波的波函数平面简谐波的波函数或者说：或者说：x 点在点在 t 时刻的振动状态与时刻的振动状态与 O 点在点在 t - x/u 时刻的振动状态相同时刻的振动状态相同波动方程的另外几种形式：波动方程的另外几种形式：)(2cos),(xTtAtxy)(2cos),(xutAtxyTuT,2向右前提假设utAy);cos(：0)(cos),(uxtAtxy2. 媒质质元的运动特征媒质质元的运动特征)(cos),(uxtAtxy（1）每一点都在振动）每一点都在振动uxtAtyxx);cos()(协同振动，相位随协同振动，相位随 x 变化变化xuxx2 随着随着 x 值的增大，即在传播方向上，各质点值

12、的增大，即在传播方向上，各质点的相位依次落后。的相位依次落后。当当 x= 时时22x（2）t=t0 时的位移分布时的位移分布)(cos),(uxtAtxy00);2cos(),(txAtxytt空间周期为空间周期为 （3）沿）沿 x 负方向传播的波函数负方向传播的波函数若平面简谐波沿若平面简谐波沿 x 负方向传播负方向传播O 点的振动方程：点的振动方程：)cos(0tAy在在 t 时刻时刻 x 点的振动状点的振动状态与态与 O 点在点在（t+x/u）时刻的振动状态相同时刻的振动状态相同)(cos),(uxtAtxy.)(2cos),(：xTtAtxy或3. 媒质质元振动的速度和加速度媒质质元振

13、动的速度和加速度)(cosuxtAy)(sinuxtAtyv)(cos222uxtAtyaya2计算：计算：1. 由参考点的振动式求波函数由参考点的振动式求波函数l 确定参考点的振动式；确定参考点的振动式；l 利用行波的概念：沿波的传播方向，各质元利用行波的概念：沿波的传播方向，各质元的相位依次落后。的相位依次落后。2. 利用波形图求波函数利用波形图求波函数解：（解：（1）), 0(),(uxtytxy)20(4cos3xty（2）B点振动式：点振动式：x = -5)4cos(3tyB波动式：波动式：)20(4cos3xty)5, 5(), (uxtytxytty4cos3), 5(思路二（行

14、波思路二（行波 / 相位传播）：相位传播）：)205(4cos3xt思路三（相位差）：思路三（相位差）：tty4cos3), 5(2054), 5(), (xuxtytxy相位超前比)20544cos(3), (xttxy思考：思考：已知波的方向和参考点的振动，波动式已知波的方向和参考点的振动，波动式与原点的选择有关吗？波场中各点的振动式与原点的选择有关吗？波场中各点的振动式确定吗？确定吗？与坐标原点的选择是否有关？与坐标原点的选择是否有关？答：答：波动式与参考点的选择有关，但任意点的波动式与参考点的选择有关，但任意点的振动式与坐标原点选择无关。振动式与坐标原点选择无关。讨论：讨论：原点处简谐

15、振动为：原点处简谐振动为：)cos(0tAy沿沿 x 正方向传播，波函数为：正方向传播，波函数为：)(cos),(uxtAtxy问：问：（1）当）当 P 点在点在 O 点的左侧（点的左侧（ x 0 ），上），上式是否仍成立？式是否仍成立？答：仍成立。答：仍成立。问：问：（2）若）若 O 点为振源，当点为振源，当 P 点在点在 O 点的左点的左侧（侧（ x 1sT1s，试根据试根据图中绘出的条件求出波的表达式，并求图中绘出的条件求出波的表达式，并求A A点的振动式。点的振动式。解：（解：（1）cmA1cm4波速：波速：1012scmtxxusuT210510scmtxxusuT4 . 0因为因为

16、 T1 s，舍去舍去 uTsT22由初始条件：零时刻原点处位移为零由初始条件：零时刻原点处位移为零232或0： v又2)2cos(0ty求原点振动：求原点振动：)()cos(0cmty或由波形图及波传播方向直接判断或由波形图及波传播方向直接判断2)()2cos(0cmty波动式：波动式：)(2)2(coscmxtyA点振动式：点振动式：2)21(costyA)(coscmt)(21向右scmu作业：作业：习题习题4-8： 一简谐横波以一简谐横波以0.8 m/s的速度沿一弦线行进。在的速度沿一弦线行进。在x=0.1 m处弦线上质点的位移随时间的变化为处弦线上质点的位移随时间的变化为y=0.05 sin(1.0-4.0t)。求此波的波动表达式。求此波的波动表达式。习题习题4-9： 一平面简谐波在空间传播，已知波线上某点一平面简谐波在空间传播，已知波线上某点P的振动规律为的振动规律为y=Acos(t+)，就图中所示的两种情，就图中所示的两种情况，分别列出以况，分别列出以O点为原点的波函数。点为原点的波函数。习题习题4-10： 已知已知t=0时刻的波形曲线为时刻的波形曲线为I，波沿波沿ox方向传播，方向传播，经经t=0.5 s后变为曲线后变为曲线,已知波的周期已知波的周期 T1 s，试根试根据图中绘出的条件求出波的表达式，并求