第一节 数学期望

1、 第 四 章 随随 机机 变变 量量 的的 数数 字字 特特 征征一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望三、数学期望的性质三、数学期望的性质二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望四、小结四、小结第一节第一节 数学期望数学期望1. 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望定义3.1定义3.1.)().(,., 2 , 1,111 kkkkkkkkkkkpxXEXEXpxpxkpxXPX即即记记为为的的数数学学期期望望的的和和为为随随机机变变量量则则称称级级数数绝绝对对收收敛敛若若级级数数的的分分布布律律为为设设离离散散型型随随机机变变量量一、随机变量的数学期望一、随机

2、变量的数学期望关于定义的几点说明关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加加权平均权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同 , 它从本质上体现它从本质上体现了随机变量了随机变量 X 取可能值的取可能值的真正平均值真正平均值, 也称也称均值均值. (2) 级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值取可能值的平均值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变它不应随可能值的

3、排列次序而改变.他们的射击技术分别为他们的射击技术分别为乙两个射手乙两个射手甲甲,试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?例例1 谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射手乙射手击击中中环环数数概概率率10982 . 05 . 03 . 0甲射手甲射手击中环数击中环数概率概率10983 . 01 . 06 . 0解解),(3 . 96 . 0101 . 093 . 08)(1环环 XE),( 1 . 93 . 0105 . 092 . 08)(2环环 XE.,21XX为为乙乙射射手手击击中中的的环环数数分分别别设设甲甲平均起来甲射手每枪击中平均起来甲射手每枪击中9.39.3环环, ,乙射手每枪击中

4、乙射手每枪击中9.19.1环环. .因此甲射手的本领要高一些因此甲射手的本领要高一些. .例例2 二项分布二项分布 ), 2 , 1 , 0( ,)1(nkppknkXPknk . 10 p则有则有)(0kXPkXEnk knknkppknk )1(0 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为 n, p 二项分布二项分布,其分布律为其分布律为knknkppknkkn )1()!( !0)1()1(11)1()!1()1()!1()!1( knknkppknknnp1)1( nppnp)1()1(11)1()!1()1()!1()!1( knknkppknknnp则两点分布则两点分布b(1

5、,p)的数学期望为的数学期望为 p.=np例例3 泊松分布泊松分布 . 0, 2 , 1 , 0,! kekkXPk则有则有 0!)(kkekkXE 11)!1(kkke ee . 且分布律为且分布律为设设),(PX 例例4 几何分布几何分布 102111 pkpqpqkXPk;,;,则有则有 1111kkkkqkppqkXE)(的分布律为的分布律为设设Xvr. 1kkqp)()( 1kkqppqpqqp11112 )()(2.连续型随机变量数学期望的定义连续型随机变量数学期望的定义( ),( )d,( )d,().()( )d .Xf xx f xxx f xxXE XE Xx f xx设连

6、续型随机变量的概率密度为若积分绝对收敛 则称积分的值为随机变量的数学期望 记为即定义定义3.2 设顾客在某银行的窗口等待的服务的时间设顾客在某银行的窗口等待的服务的时间 X(以分计以分计)服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为51,0,( )50,0.xexf xx试求顾客等待服务的平均时间试求顾客等待服务的平均时间?解解()( )dE Xx f xxxexxd5150 ).(5 分钟分钟 因此因此,顾客平均等待顾客平均等待5分钟就可得到服务分钟就可得到服务.例例5 顾客平均等待多长时间顾客平均等待多长时间?例例6 均匀分布均匀分布则有则有()( )dE Xxf xx baxxab

7、d1).(21ba 1,( )0,.axbf xba其它其概率密度为其概率密度为设设),(baUX).(21ba 结论结论 均匀分布的数学均匀分布的数学期望位于区间的中点期望位于区间的中点.例例8 指数分布指数分布 ,0,( )0.0,0.xXexf xx设随机变量服从指数分布 其概率密度为其中则有则有()( )dE Xxf xxxexxd 0.1 xexexxd00 例例9 正态分布正态分布其概率密度为其概率密度为设设),(2NX则有则有()( )dE Xxf xxxexxd21222)( tx 令令, tx 22()21( ),0,.2x f xex 例例10 设随机变量设随机变量X服从服

8、从正正是是它它的的数数学学期期望望。中中的的可可见见 ),(,2N其其密密度度函函数数为为分分布布,),( 10,0( ),0( )xxf xxex求求E(X)00()( )(1)( )( )11( ),().xyE Xx edxyxyedyXEE X解：当时， 服从指数分布这时例例 (书）书） 设随机变量设随机变量 X服从柯西分布服从柯西分布,其密度函数为其密度函数为求求E(X).解解: 由于此积分不存在由于此积分不存在 因此柯西分布的数学期望不存在因此柯西分布的数学期望不存在.21( )()(1)f xxx )1(|2xdxx 若若X为离散型随机变量，分布律为为离散型随机变量，分布律为Y=

9、f(X)为为X的函数的函数), 2 , 1(, kpxXPkk则则Y的期望为的期望为.)()( 1kkkpxfXfE1. 离散型随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望2. 连续型随机变量函数的数学期望连续型随机变量函数的数学期望( ()( ) ( )d .E g Xg x f xx若若 X 是连续型的是连续型的,它的分布密度为它的分布密度为 f(x) 则则3. 二维随机变量函数的数学期望二维随机变量函数的数学期望.),(),(,),(,)1( iijjjipyxfYXfEyxfYX则则数数为为二二元元函函为为离离散散型型随随机机变

10、变量量设设.),(ijpYX的的联联合合概概率率分分布布为为其其中中解解51213121121031)2()(33333 XE例例1 求求:).(3XE3102 3121121121Xp的分布律为的分布律为设设Xvr.例例2 设设X N(0,1),Y N(0,1), X 与与Y相互相互独立独立, 求求解解: ).(22YXE 222121021222200)(21222222 drerdrerddxdyeyxrryx)(22YXE 三、数学期望的性质三、数学期望的性质(1)(1) 设设 C C 为常数，则有为常数，则有CCE )(2)(2) 设设 X X 是一个随机变量，是一个随机变量，C C

11、 为常数，则有为常数，则有)()(XCECXE （4 4） 设设 X X，Y Y 是相互独立的随机变量，则有是相互独立的随机变量，则有 )()()(YEXEXYE naaa,21（3 3）设设 X X1 1，X X2, 2, ,X ,Xn n 是是 n n个随机变量，个随机变量， 为实数，则有为实数，则有)()(11iniiiniiXEaXaE ).,)(,.10,20互独立互独立并设各旅客是否下车相并设各旅客是否下车相下车是等可能的下车是等可能的设每位旅客在各个车站设每位旅客在各个车站求求表示停车的次数表示停车的次数以以有旅客下车就不停车有旅客下车就不停车如到达一个车站没如到达一个车站没个车

12、站可以下车个车站可以下车旅客有旅客有位旅客自机场开出位旅客自机场开出一民航送客车载有一民航送客车载有XEX解解,iX引入随机变量引入随机变量.10, 2 , 1, 1, 0 iiiXi站站有有人人下下车车在在第第站站没没有有人人下下车车在在第第.1021XXXX 则则例例11*四、小结四、小结数学期望是一个实数数学期望是一个实数, 而非变量而非变量,它是一种它是一种加权加权平均平均, 与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体现了它从本质上体现了随机变量随机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值.2. 数学期望的性质数学期望的性质 ).()()(,4);(3);()(2

13、;)(1011000YEXEXYEYXXEaXaEXCECXECCEiniiinii独立独立3. 常见离散型随机变量的数学期望常见离散型随机变量的数学期望 分布分布名称名称 分布律分布律 E(X) (0-1)分布分布 XB(1, p) kkppkXP 1)1( k=0,1 p 二二项分布项分布 XB(n, p) knkknppCkXP )1 ( k=0,1,2,n np 泊松分布泊松分布 )( PX PX=k= ekk! k=0,1,2, 几何分布几何分布 PX=k=ppk 1)1( k=1,2, p1 4.常见连续型随机变量的数学期望常见连续型随机变量的数学期望根据生命表知根据生命表知 ,

14、某年龄段保险者里某年龄段保险者里 , 一一 年中年中每个人死亡的概率为每个人死亡的概率为0.002, 现有现有10000个这类人个这类人参加人寿保险参加人寿保险,若在死亡时家属可从保险公司领若在死亡时家属可从保险公司领取取 2000 元赔偿金元赔偿金 . 问每人一年须交保险费多少问每人一年须交保险费多少元元?例例1 你知道自己该交多少保险费吗你知道自己该交多少保险费吗?备份题备份题解解设设1年中死亡人数为年中死亡人数为X ,)002. 0 ,10000( bX则则 10000010000)002. 01()002. 0(10000)(kkkkkXE).(20 人人 被保险人所得赔偿金的期望值应

15、为被保险人所得赔偿金的期望值应为 ).(40000200020元元 若设每人一年须交保险费为若设每人一年须交保险费为a 元元,由被保险人交的由被保险人交的“纯保险费纯保险费”与他们所能得到的与他们所能得到的赔偿金的期望值相等知赔偿金的期望值相等知4000010000 a),(4 元元 a故每人故每人1年应向保险公司交保险费年应向保险公司交保险费4元元.解解),9 ,75( NX因因为为22(75)2 31( ),3 2xf xe知()( )dE Xx f xx故 xexxd2312232)75( ).(75 分分 例例2 某大学二年级学生进行了一次数学统考某大学二年级学生进行了一次数学统考,设

16、其设其成绩成绩 X 服从服从 N(75, 9) 的正态分布的正态分布,试求学生成绩的试求学生成绩的期望值期望值., 0, 30,9)(, 0, 10,2)(,)()(2的均值的均值试求电压试求电压其它其它其它其它其概率密度分别为其概率密度分别为相互独立的随机变量相互独立的随机变量是两个是两个与电阻与电阻设一电路中电流设一电路中电流IRVrrrhiiigRAI 解解)()(IREVE )()(REIE d)( d)( rrrhiiigd9 d2302102 rrii).(23V 例例4:),(,规规定定以以年年计计记记使使用用寿寿命命为为付付款款的的方方式式的的销销售售采采用用先先使使用用后后某

17、某商商店店对对某某种种家家用用电电器器X例例5商店的销售策略商店的销售策略.3000, 3;2500, 32;2000, 21 ;1500, 1元元一一台台付付款款元元一一台台付付款款元元一一台台付付款款元元一一台台付付款款 XXXX. 0, 0, 0,101)(,10的的数数学学期期望望试试求求该该商商店店一一台台收收费费概概率率密密度度为为服服从从指指数数分分布布设设寿寿命命YxxexfXx 解解xeXPxd10111010 1 . 01 e,0952. 0 xeXPxd101211021 2 . 01 . 0 ee,0861. 0 xeXPxd101321032 ,0779. 03 .

18、02 . 0 ee其规律为其规律为独立独立且两者到站的时间相互且两者到站的时间相互的的但到站的时刻是随机但到站的时刻是随机都恰有一辆客车到站都恰有一辆客车到站某车站每天某车站每天按规定按规定.,00:1000:9,00:900:8, 到站时刻到站时刻概率概率10:910:830:930:850:950:8616362.,00:8(i)望望求求他他候候车车时时间间的的数数学学期期到到车车站站一一旅旅客客.,20:8(ii)望望求他候车时间的数学期求他候车时间的数学期到车站到车站一旅客一旅客例例5).(以以分分计计设设旅旅客客的的候候车车时时间间为为 X解解的分布律为的分布律为X(i)Xkp106130635062候车时间的数学期望为候车时间的数学期望为625063306110)( XE