第一章、第七节 重要极限ppt课件

1、第七节第七节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限 一、极限存在准则一、极限存在准则 二、两个重要极限二、两个重要极限 三、小结三、小结 思考题思考题一、夹逼准则一、夹逼准则1.夹逼准则夹逼准则证证,azaynn使使得得, 0, 0, 021 NN ,1 ayNnn时时恒恒有有当当,2 azNnn时恒有时恒有当当,max21NNN 取取上两式同时成立上两式同时成立, ), 3, 2, 1()1( nzxynnnazynnnn limlim)2(那么数列那么数列nx的极限存在，且的极限存在，且axnn lim恒恒有有时时当当,Nn , ayan即即, azan, azxyannn,

2、成立成立即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限证证,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN ,1 ayNnn时时恒恒有有当当,2 azNnn时时恒恒有有当当,max21NNN 取取上两式同时成立上两式同时成立,留意留意: :,nnzy 与与键是构造出键是构造出利用夹逼准则求极限关利用夹逼准则求极限关准绳准绳 和准则和准则 称为夹逼准则称为夹逼准则.)()()(xhxfxg Axhxgxxxxxx )(lim)(lim)2()()(00那么那么)(lim)(0 xfxxx 存在，且等于存在，且等于 A .的的极

3、极限限是是容容易易求求的的与与并并且且nnzy例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnnx1x2x3x1 nxnx2.单调有界准则单调有界准则满满足足条条件件如如果果数数列列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.几何解释几何解释:AM二、单调有界准则二、单调有界准则x1x2x3x

4、1 nxnx定义定义1：例例2 2.)(333的的极极限限存存在在式式重重根根证证明明数数列列nxn 证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx准则准则 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. 准则准则II也可以推广到函数的情形，例如也可以推广到函数的情形，例如 000:)(:xxxxfII的的某某个个右右邻邻域域

5、在在若若准准则则.)(,0必必存存在在则则单单调调且且有有界界 xf xxxxfI I000:)(:的的某某个个左左邻邻域域在在若若准准则则.)(,0必必存存在在则则单单调调且且有有界界 xfAC重要极限重要极限1）1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圆圆心心角角设设单单位位圆圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 ,tansinxxx , 1sincos xxx即即三、两个重要极限三、两个重要极限.02也也成成立立上上式式对对于于 x,20时时当当

6、 xxcos10 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xxxxcoslim0. 1sinlim0 xxxACxoBD,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有,tansinxxx , 1sincos xxx即即)cos1(1lim0 xx )cos1(lim1lim00 xxx 1 1sincos xxx有有1sinlim0 xxx几个重要的不等式几个重要的不等式)20(,tansin)1( xxxx)2|0(|,tan|sin| xxxx或或时时当当2|0)2( x,1sincos xxx,2cos102xx 容易混淆的形式容

7、易混淆的形式1sinlim xxx 0sinlim xxx. 1coslim0 xx例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 2022sinlim21 xxx2121 .21 2022sinlim21 xxx 20,0 xuux时时20sinlim21 uuu重要极限重要极限1的统一形式的统一形式1)(sin)(lim1)()(sinlim xyxyxyxy或或0)(lim xy其其中中1sinlim1sinlim 或或0lim 其其中中例例4 4xxx sinsinlim0 xxxxxsinsinlim0 xx

8、xxxx sinlimsinlim00 11例例: :xxxxx2sin2sinlim0 xxxxx2sin12sin1lim0 xxxxx22sin2122sin21lim031例例5 530sin22sinlimxxxx 30sin2cossin2limxxxxx 201cossinlim2xxxxx 12112 200cos1limsinlim2xxxxxx 例例6 6nnna3sin3lim aaannn 33sinlimaa 10lim, 1sinlim 例例7 7xxxarctanlim0 xuuxarctan0,0时时uuutanlim0 uuuucossinlim0 uuuuu

9、coslimsinlim00 111 exxx )11(lim重要极限重要极限2）exxx 10)1(limexxx )11(lim几点说明：（几点说明：（1极限的类型极限的类型型型 1（2令令,1xz 0, zx时时则则当当ezxzzxx 10)1(lim)11(lim型型仍仍为为 1（3统一形式统一形式,)1lim(1e .0lim 其其中中exxx )11(limexxx 10)1(lim,)1lim(1e .0lim 其其中中两种错误的形式：两种错误的形式：exxx )11(lim)1(0exxx 1)1(lim)2(型型0 例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1

10、lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解1)211(lim2xxx 原原式式2421ee 型型 1型型 1422)211()211(lim xxxx422)211(lim)211(lim xxxxxe 1)1lim(解解2 原式原式=xxxxx22)21()31(lim 46)21(lim)31(lim23xxxxxx 46)21(lim)31(lim23xxxxxx 46ee 2e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求型型 146)21()31(lim23xxxxx 例例6 6.)1(lim22xxxx 求求型型 1解解xxxxxx)

11、11(lim 原式原式xxxxxxxx)1(lim)1(lim xxxxxx)111(lim)111(lim xxx)111(lim )111()111(lim1 xxxxxxxxxx)111(lim)111(lim xxx)111(lim )111()111(lim1 xxxx)111(lim)111(lim1 xxxxxee 11)111(lim exxx同同理理xxxxxx)111(lim)111(lim 原原式式11 ee三、小结三、小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .; 1sinlim10 某某过过程程.)1(lim210e 某过程某过程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 思考题思考题1xxxx201lim xxx2011lim 2011lim xxx2011lim xxx2e 型型因为因为02:1 xxx不能套用重要极限公式不能套用重要极限公式思考题思考题2求极限求极限 xxxx193lim 思考题思考题 2 解答解答 xxxx193lim xxxx11319lim xxxxx 313311lim9990 e求极限求极限 xxxx193lim x