2019届高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线中的取值范围最值问题

1、1圆锥曲线中的最值取值范围问题2 290.90.已知Fi, F2分别是双曲线X2一豊=l=l ( a0a0, b0b0)的左、右焦点，P P 为双曲线上的一点,a b若.F1PF2=90, ,且：FiPF2的三边长成等差数列又一椭圆的中心在原点，短轴的一个端点到其右焦点的距离为3，双曲线与该椭圆离心率之积为536。(I(I)求椭圆的方程;(H)设直线l与椭圆交于 A A,B B两点，坐标原点O O到直线1 1的距离为今，求A AOBOB面积的最大值.90.90.解：设|PR |=m,|PF2卜n，不妨 P P 在第一象限，则由已知得m - n = 2a,m2+ n2=(2c)2,斗5a n +

2、2c = 2m.匚l Q(舍去)。设椭圆离心率为e ,则 5e =-(H)当 ABAB _ _x 轴时,| AB|= 3.2 2 2-6ac c =0,.e - 6e 5 = 0,解得e = 5或 e = 1可设椭圆的方程为2 2-”,半焦距为c.a 3二b2+2c2 .卜2b ca=悩3,解之得*b = 1,x22二.椭的方程为32=1.当 ABAB 与X轴不垂直时，设直线 ABAB的方程为y = kx m,A(Xi,yi),B(X2,y2),由已一m m2讣 1),把 y二kx m代入椭圆方程，整理得(3k21)x26kmx 3m2-3 =0,x1x22-6km3(m -1)3k21, 1

3、 23k21213当且仅当9k22,即 k 时等号成立，此时| AB |=2.k3当k = 0 时,| AB-3.综上所述：|AB|max=2,285.85.已知曲线 C C 的方程为x =2y，F F 为焦点。（1 1）过曲线上 C C 一点P（Xo, yo）（Xo=0）的切线I与 y y 轴交于 A A，试探究|AF|AF|与|PF|PF|之间的关系；（2 2）若在（1 1 ）的条件下 P P 点的横坐标x0=2，点 N N 在 y y 轴上，且|PN|PN|等于点 P P 到直线2y T = 0的距离，圆 M M 能覆盖三角形 APNAPN，当圆 M M 的面积最小时，求圆 M M 的方

4、程。85.85.（A A）（）（1 1）由兰乃黑J 4在卅如 2 2 社训块方=工*仁叫）.将 h =0=0 代人.得 XX00 鞭点F嗤标（J J 土）,MfiMfi = = i i n n 又 I I 尸 FlFl 工导 + + ytlAfllAfl 分 *由轴知卩心,2 2）. .0-20-2血妁帑标为（0,0, 阖-）,恢 V V為詁形阿妁外接冏时，圆血积繭小、设此历的力桎为；和 Sih*Sih*的“4A04A0）肖虐 A A 的堆标为（*艸關.| AB|2= (1 k2)(X2-Xj2=(1 k2)36k2m2(3k21)212(m2一1)3k2112(1 k2)(3k21 m2)(

5、3k21)23(k21)(9k21)(3k21)2212k29k26k2112219k226k2(k =0) _3122 3 6=4.此时AOB面积取最大值1SqAB 施34-l4-l f f + + f=0f=0 得 OwOw 出 f f = = -1-1匱时质球的沈豹方荐为 J J + + -S*-S* + + yy-yy-1 1 *0*0和的尘标为何日臥，庶乂宀 I.I.丄八 7 7 严附所求帖的的方4 4 X X + + 2D2D + + 2424： * * = = 0 0程为；/ + y yJ J+ + i i - - j j - - 7 7 =0=0|吝分总上肉的方程为新+ ?亠5

6、-Y+ + yyyy- - I I =0*(=0*( *#*#*；，；，-J0-J0 “. .44 分X2y2174.74.已知椭圆Ci:2 r=1(a b 0)的长轴长为4，离心率为，FF?分别为其ab2左右焦点一动圆过点F2，且与直线x = -1相切.( (I) ) ( (i) )求椭圆Ci的方程；( (ii) )求动圆圆心轨迹C的方程；( (H) )在曲线C上有四个不同的点M,N,P,Q，满足MF2与NF?共线，PF?与QF?共线，且PF2MF0，求四边形PMQN面积的最小值.2a =4(!a = 222274.74.解：( (I)()(i) )由已知可得c 1=nb=a-c=3,e =

7、 = c = 1I a 22 2则所求椭圆方程C1:y1. .43( (i) )由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C的焦点为(1,0)，准线方程为x - -1，则动圆圆心轨迹方程为C : y2= 4x. .( (n) )由题设知直线MN , PQ的斜率均存在且不为零设直线MN的斜率为k(k =0),M (x1,y1),N(x2,y2)，则直线MN的方程为:y = k(x -1)联立C : y2= 4x消去y可得k2x2由抛物线定义可知：2k2+4412=4k2k2-(2k24)x k2= 0| MN |=| MF2| NF2x1 1 x24同理可得|PQ|=4 4k211又SPMQN=

8、|MN | |PQFc(4 -22( (当且仅当k =1时取到等号) )*)(4 4k2) =8(2 k2!)_32k2k25所以四边形PMQN面积的最小值为32. .设A xi,yi, B X2, y2,则x22pk, % y2二k % x2-4二-2pk2-4,2因为OA OB = XiX2, yiy2- -2pk, -2 pk -4= =-4, -12 ,所以直线丨的方程为y = 2x -2,抛物线 C C 的方程为x2二-2y.(n)方法 1 1：设P(xo,yo),依题意，抛物线过 P P 的切线与I平行时， APBAPB 面积最大, 12y - -X，所以-冷=2= xcj -2,

9、yox。=-2,所以P(-2,-2).2y=2x-2,2由彳2得，x +4x -4 = 0,X = -2y,| AB |1 k2：( x, + x2)24为x24怖也 ABPABP 的面积最大值为匚=822y = 2x _2,2(n)方法 2 2:由2得，x24x-4=0,lx =-2y,| AB 1 k2.(Xi x2)2-4论x2二.1 22,.(_4)2_4(_4) =4、109 9 分设P(t,_夕2),(-2-2,2：t：-2 2、2)因为AB为定值，当P到直线I的距离d最大时， ABPABP 的面积最大，B B 两点，0为坐标原点，(I)求直线 l l 和抛物线已知直线：l l:y

10、=kx-2与抛物线OA 0B =(-4, -12)。C C 的方程；2x 2py(p 0)交于 A A,(H)抛物线上一动点 P P 从 A A 到 B B 运动时，求 ABPABP 面积最大值.69.69.解：(I)由y =kx_2,i 2X =2py得，x22pkx-4p =0,此时P到直线I的距离d二44、5所以解得P，= 2.6因为-2-2 2：A-2 2/2，所以当t =-2时，dmax=45，此时P(-2,-2).54怖亜:.:.ABPABP 的面积最大值为匚 =8=8、222 266.66.椭圆 笃爲-1(3 . b . 0)的长轴为短轴的.3 倍,直线 y=x与椭圆交于 A A

11、、B B 两点,a bC C 为椭圆的右项点，OA OC .2(I I )求椭圆的方程；(IIII )若椭圆上两点 E E、F F 使OE OF二 OA (0,2),求OEF面积的最大值66.66.解：(t2 3t2(I(I)根据题意,a3b,C(a,0),设 A A(t,t),则t 0, 2=1.ab解得宀耗#b2,即-尹,OA=(于疔ZZWOA OC沂山,如b =1,a -、3,2.椭圆方程为y2=1.3()设Eg,%), F(X2，y2),EF中点为M(x0,y。)，OE OF = OA,2 _ 2由- -得空X2y2 -yf=0,3(t+2)2-4一 22(-1)2.572x0 t2y

12、00p0)上一点，F F 为抛物线的焦点，准线I与 x x 轴交于点 K,K,-NB|有最大值 1.1.已知丨 AK|AK|=x x2 2 | AFAF 三角形 AFKAFK 的面积等于 8 8 (1 1 )求 p p 的值；(2)过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线丨1,丨2，与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为 G G H.H.求丨 GH|GH|的最小值.50.50.解：(I)设A x0, y0,因为抛物线的焦点F卫,0 ,准线|的方程为:12丿，作 AM _1 于又AK| =72|AF得AK=|AM,即：AKM为等腰直角三角形，AM+即沪匕,即心七，而点A在抛物线上,、2= 2px0

13、,二x0誇,于是噜町.11设h的方程为y=k(x-2)，则 J 的方程为y= -(x-2). .k21248.48.椭圆的中心为原点O,焦点在y轴上，离心率e =-.6，过P(0,1)的直线l与椭圆交于B两点，且AP2PB， 求.AOB面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程.248.48.解：设椭圆的方程为 %a2x2=1(a . b . 0),直线l的方程为y = kx 1,b2A(xi, yi)B(x2, y2)e1:a ,b a,332则椭圆方程可化为也3b2笃-1即3x2y2=3b2,b联立丿三2223x y得(3+k2)x2+2kx+13b2=0(* *) =kx +12k-有x1x2

14、2,而由已知AP=2PB有x1=-2X2，代入得3 +k2kx2_ 3 k2所以SAQB=1 |OP| |X1-X2hl|x2fJ-3iki.32当且仅当二3时取等号由x2二壬得x_33 k223k = , 3| k - - 3将,代入(* *)式得x二x笃b23所以AOB面积的最大值为 22取得最大值时椭圆的方程为-52-1532 246.46.已知椭圆G：%二=1(a b 0)的右焦点为 F F,上顶点为 A A, P P 为 C C1上任一点,a b是圆C2：x2 (y -3)2=1的一条直径，若与 AFAF 平行且在 y y 轴上的截距为好与圆C2相切。(1 1)3- 2的直线MNMN

15、l恰已知椭圆勺的离心率； 若PM PN的最大值为 4949,求椭圆 C C1的方程. .(1(1)由题意可知直线 l l 的方程为bx cy -(3 - 2)c = 0,t-223c - 3c 2 c2c2: x (y -3) =1相切，所以d22=1=1,既a(2)46.46.解:因为直线与圆b2c2213142 2(2)设p(x,y),则A_ I2=1(c0)2c c_. _ . _ _. _t t. 2 _2又PM PN (PC2C2M ) (PC2C2N)二PC2-C2N =x2(3 y)2-1 二-(y 3)22c 17(c 乞y c)当c _3寸,(PM PN)max=：17 2c

16、2=49, 解得 c = 4,此时椭圆方程为2 2x y1321622f当0 2：3时，（卩皿卩2口&乂=一（七3） 17 2 =49,解得c = 5. 2-3但2 2综上所述，椭圆的方程为 13216x2y2V325.25.已知椭圆G :二2=1（3 b 0）的离心率为，直线I: :y = X 2与以原点为圆ab3心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切 . .（I I）求椭圆C1的方程；（IIII ）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点F2，直线l1过点R且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；一T T r（IIIIII ）

17、设C2与x轴交于点Q，不同的两点R, S在C2上，且满足QR，RS=0,求QS的取值范围. .25.25.解：（I）e,.e2=q=LJ,. 2a3b23a c 3l : x - y -2 二 0 与圆 x2y2=b2相切,2 = b,，；b = 12, b2= 2/ a2= 3椭 22 2圆 C C1的方程是 y132() MP=MFMP=MF2,动点M到定直线h：X = -1的距离等于它到定点F F1(1 1 , 0 0)的距15离，动点 M M 的轨迹是 C C 为丨1准线，F F2为焦点的抛物线 点 M M 的轨迹 C C2的方程为y2= 4x2 2（川）Q Q （0 0,0 0），设

18、R（上，yJ,S（也，y2）442 2 2丫1丫2一 丫1QR=（ y）,RS=（a、44162 2 2Vi（V2 Vi）-yi（V2 yi）Vi（V2Vi） =01622256-V2 =Vi厂32 _ 2,256 32 =64Vi当且仅当Vi2二256, Vi2=i6, Vi时等号成立Vi|QS= （丫）2y； = ： _ &一 8）2匚 64,又 y； 一 64当V=64,y2*8 时，|QS|min=&.5,故 |QS|的取值范围是8 5/：)22x x2y y28.8. 8 8. .已知点 P P(4 4，4 4)，圆 C C:(xm)2+y2=5(mbb 0)0)有a a b b个公共点 A A( 3 3，1 1)，F FF F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PFPFi与圆 C C 相切.(I)求 m m 的值与椭圆 E E 的方程；T t(H)设 Q Q 为椭圆 E E 上的一个动点，求 APAP AQAQ 的取值范围.【解】(I)点 A A 代入圆 C C 方程,得（3-m）21 =5 .m mv3 3， m m= 1 1.圆 C C:（x -1）2y2=5设直线 PFPFi的斜率为 k