导数大题练习带答案

1、1已知f(x)=xlnxax,g(x)=-x22,(I)对一切x(0,+a),f(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(n)当a=1时，求函数f(x)在mm3(m>0)上的最值；(川)证明：对一切x(0,+旳，都有lnx+112>*一成立.eex22、已知函数f(x)alnx-2(a0).(I)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1)处的x切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f(x)的单调区间；(n)若对于(0,：)都有f(x)>2(a1)成立，试求a的取值范围；(川)记g(x)=f(x)+xb(bR).当a=1时，函数g(x)在区间e1,e上有两个零点，求实数b的

2、取值范围23.设函数f(x)=lnx+(xa),aR(I)若a=0,求函数f(x)在1,e上的最小值;1(n)若函数f(x)在寸，2上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围；(川)求函数f(x)的极值点124、已知函数f(x)ax-(2a1)x2lnx(aR).求a的值；(n)求f(x)的单2(i)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,调区间；(川)设g(x)=x2-2x,若对任意x(0,2，均存在x?(0,2，使得f(xj：g(X2)，求a的取值范围.25、已知函数fx二一亠alnx-2(a0)x(I)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1)处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y

3、=f(x)的单调区间；(n)若对于任意x“0,:都有fxj>2(a-1)成立，试求a的取值范围；(川)记g(x)=f(x)+xb(bF).当a=1时，函数g(x)在区间'eJ,e】上有两个零点，求实数b的取值范围.6、已知函数f(X)=匚皿.x1(1) 若函数在区间(a,a-)(其中a0)上存在极值，求实数a的取值范围；(2) 如果当x-1时，不等式f(x)_丄恒成立，求实数k的取值范围.x+11.解：(i)对一切X(0,u),f(x)_g(x)恒成立，即xlnx-ax_-x-2恒成立.2也就是a<lnxx在x(0,：)恒成立1分x2令F(x)=1nxxx则F(x)丄1-2

4、xx-2x在(0,1)上F(x)：0，在(1,:：)上F(x)0,因此，F(x)在x=1处取极小值，也是最小值,即Fmin(x)=F(1)=3，所以a-3.4分(n)当a二-1时，f(x)=xlnxx,1f(x)=lnx2，由f(x)=0得x26分e111.当0：m2时，在xm,-2)上f(x)：0，在x三(-2,m3上f(x)0eee11因此，f(x)在x2处取得极小值，也是最小值.fmin(x)2.ee由于f(m)：0,f(m3)=(m3)ln(m3)10因此，fmax(x)二f(m3)=(m3)ln(m3)18分1当m飞时，f'(x)0，因此f(x)在m,m+3上单调递增,e所以

5、fmin(x)=f(m)=m(lnm1),fmax(x)二f(m3)=(m3)ln(m3)19分(川)证明：问题等价于证明xlnxx三-2(x(0/:),10分ee11由(n)知a=-1时，f(x)=xlnxx的最小值是2,当且仅当x2时取ee得，11分x21-x设G(x)x(x，(0,；)，则，易知eeeGmax(X)二G(1)二-1，当且仅当X=1时取到，12分e11但2,从而可知对一切x二(0,：-),ee12都有lnx+1a成立13分eex2a2、解：(I)直线y=x+2的斜率为1.函数f(x)的定义域为(0,+8),因为f'(x)=xx2x2=1所以a=1.所以f(x)=+I

6、nx2f'(x)=一.由xxf'(x)0解得X>0；f'(x)0解得X>0；由f'(x)：0解得0vxv2.所以f(X)的单调增区间是(2,+R),单调减区间是(0,2)单调减区间是(0,2)(n)f'(x)二-0：x.所以f(x)在区间a4分2aax22-2，由f'(X)0解得x；由f'(X)：C解得xxxa22、2(，:：)上单调递增，在区间(0,)上单调递减.所以当x=aaa时，函数f(x)取得最小值,ymm=f(-).因为对于(0,：)都有f(x)2(a-1)成a立,2所以f()2(a-1)即可.a则2aln-22(a

7、-1).由aIn2a解得0y：?.所2aae一2以a的取值范围是(0,-).e2x+x_2(in)依题得g(x)Inxx-2-b，则gf)x二x2.由g'(x)0解得x>1；x由g'(x):0解得0vxv1.所以函数g(x)在区间(0,1)为减函数，在区间(1,+8)为g(e')一0增函数又因为函数g(x)在区间e1,e上有两个零点，所以g(e)A0.解得g：0221:be-1所以b的取值范围是(1,e-1.ee分3.解：(I)f(x)的定义域为(0,+8).1因为f'(x)2x0，所以f(x)在1,e上是增函数,x当X=1时，f(X)取得最小值f(1)=

8、1.所以f(x)在1,e上的最小值为1.(n)解法f'(x)二丄2(xa)=x22x-2ax1xx11设g(x)=2x，所以2a小于函数g(x)在区间-,2的最大值x21又因为g'(x)=2_,x142由g'(x)=22'0解得xx221由g'(x)=2-右x:0解得0：x：2设g(x)=2x2ax+1,4分1依题意，在区间空，2上存在子区间使得不等式g(x)>0成立.5分21注意到抛物线g(x)=2x2ax+1开口向上，所以只要g(2)>0,或g().0即可6分9由g(2)>0，即84a+1>0，得a：,41 13由g()0，即

9、a10，得a：,2 229所以a：9,49所以实数a的取值范围是(一二，).8分42解法二：&)=丄2(x_a)二空,4分xx12依题意得，在区间丄，2上存在子区间使不等式2x22ax+1>0成立21又因为x>0，所以2a：(2x).5分所以函数g(x)在区间(一Z,2)上递增，在区间(丄一Z)上递减2221所以函数g(x)在x，或x=2处取得最大值.29199又g(2)=-,g(-3，所以2a：-9所以实数a的取值范围是(亠9).8分，4(川)因为f'(X)二2x22ax1x2，令h(x)=2x2ax+1 显然，当aw0时，在(0,+R)上h(x)>0恒成立

10、，f'(x)>0，此时函数f(x)没有极值点；9分 当a>0时，(i)当4三0，即0：a空2时，在(0,+8)上h(x)>0恒成立，这时f'(x)>0,10分此时，函数f(x)没有极值点;(ii)当4>0时，即a.2时,易知，当L2沐：葺22易知，当L2沐：葺22a_2时，h(x)v0，这时f'(X)v0;a-'.a_2a'-a_2当0:x'或x时,22a-'.a_2a'-a_2当0:x'或x时,22h(x)>0，这时f'(x)>0；所以，当-,2时十十是函数所以，当-,2

11、时十十是函数f(x)的极大值点；a2是2函数f(x)的极小值点.函数f(x)的极小值点.12分综上，当a乞2时，函数f(x)没有极值点;a-Ja2-2x是函数f(x)的极大值点;-22是函数f(x)的极小值点.2二ax(2a1)(x0).x2(i)f(1)=f(3)，解得a.3(n)f(x)二(ax1)(x2)(x0).4解:f(x)x当a_0时，x0,ax-1：0,在区间(0,2)上,f(x)0;在区间(2,：)上f(X)：0,故f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,=).5分11当0：a：时，一2,2a11在区间(0,2)和(一，：)上,f(x)0；在区间(2,)上f(x

12、)：0,aa11故f(x)的单调递增区间是(0,2)和(_,：)，单调递减区间是(2,).aa当a冷时，f(xr詈故f(x)的单调递增区间是(0,=)7分11当a.时，02,2a在区间(0,1)和(2,：)上，f(x)0;在区间(-,2)上f(x).0,aa1故f(x)的单调递增区间是(0,丄)和(2,=),单调递减区间是a1(,2).8分(川)由已知，在(°，2上有f(X)maxT(X)max9分由已知，g(X)max=0，由(II)可知，1当1-时，f(x)在(0,2上单调递增，故f(x)max=f(2)=2a-2(2a1)21n2-2a-221n2,10分10分所以，2a22l

13、n2：0，解得a-In2-1，故In2-1：a乞21当a-时,故f(x)max由a-可知21f(x)在(0,-上单调递增，在a=-2-2Ina.2a1In1,2lne1,2上单调递减,af(1)a1InaIn2a-2,_2lna2,所以，-2-21na：0.f(x)max：:：0,12分5、(I)直线y=x+2的斜率为1,函数f(x)的定义域为0,=2a,2a因为f'(x)2，所以f'121，所以a=1xx11所以fx=Inx-2,fx=x22xx由f'Xi0解得x>2;由f'x:0解得0vxv2所以f(x)得单调增区间是2,二：，单调减区间是0,24分(

14、n)f'(x)?-xxax-2由fx0解得x2x2'.-;由fx:：:0解得0：xa2<a222所以f(x)在区间(=,：)上单调递增，在区间(0,上)上单调递减aa2所以当x=-a时，函数f(x)取得最小值ymin(2)a因为对于任意x可0,：都有fx>2(a-1)成立,所以f(2)2(a-1)即可a222则aIn22(a-1)，由aIna解得0：a2a2所以a得取值范围是(0,三)ex2x-2x22'(川)依题意得g(x)Inx_2-b，则g(x)x由gx>0解得x>1,由gx:0解得0vxv1所以函数g(x)在区间e°,e上有两个零点,f_4g(e)02所以$g(e)兰0解得1vb兰2+e1eg(1K02所以b得取值范围是(1,三+e112分e6、解:(1)因为f(x)=,x0,贝Uf(x)=,1分xx当0：x：1时，f(x)0;当x1时，f(x)：0f(x)在(0,1)上单调递增；在(1,；)上单调递减，函数f(x)在x=1处取得极大值.3分1函数f(x)在区间(a,a)(其中a0)上存在极值，a1解得1a:：1.5分a'21,2不等式f(x)，即为X+1(X