【课件】6.3.1平面向量基本定理高一下学期人教A版2019必修第二册课件

1、6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.3.1 平面向量基本定理 必备知识必备知识自主学习自主学习平面向量基本定理平面向量基本定理(1)(1)定理定理: :导思导思1.1.平面向量基本定理的内容是什么平面向量基本定理的内容是什么? ?2.2.基底是什么基底是什么? ?构成基底的两个向量具有什么关系构成基底的两个向量具有什么关系? ?条件条件e1 1, ,e2 2是同一平面内的两个是同一平面内的两个_向量向量, ,a是这一平面是这一平面内的内的_向量向量结论结论有且只有一对实数有且只有一对实数1 1,2 2, ,使使a=_=_有关有关概念概念若若e1 1, ,e2 2_,_,我们把我们把 叫做表示

2、这一平面内所叫做表示这一平面内所有向量的一个有向量的一个_12,e e不共线不共线任一任一1 1e1 1+2 2e2 2不共线不共线基底基底(2)(2)本质本质: :向量的分解向量的分解, ,即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式分解成两个向量和的形式, ,且分解是唯一的且分解是唯一的. .(3)(3)应用应用: :用基底表示同一平面内的任一向量用基底表示同一平面内的任一向量; ;根据根据“唯一性唯一性”列列方程方程( (组组) )求未知数求未知数; ;为引入向量的坐标表示奠定基础为引入向量的坐标表示奠定基础. .【思考】【思考】

3、(1)(1)如果如果e1 1, ,e2 2是共线向量是共线向量, ,那么向量那么向量a能否用能否用e1 1, ,e2 2表示表示? ?为什么为什么? ?提示提示:不一定不一定,当当a与与e1 1共线时可以表示共线时可以表示,否则不能表示否则不能表示.(2)(2)平面向量的基底是唯一的吗平面向量的基底是唯一的吗? ?提示提示:不是不是.平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底,基底一旦确定基底一旦确定,平平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示.【基础小测】【基础小测】1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”

4、,错的打错的打“”)”)(1)(1)基底中的向量不能为零向量基底中的向量不能为零向量. . ( () )(2)(2)若若e1 1, ,e2 2是同一平面内两个不共线向量是同一平面内两个不共线向量, ,则则1 1e1 1+2 2e2 2(1 1,2 2为实数为实数) )可以表可以表示该平面内所有向量示该平面内所有向量. . ( () )(3)(3)在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,ADBC,则向量则向量 与与 可以构成一个基底可以构成一个基底. (. () )AB CD 提示提示: :(1)(1)0与任意向量是共线的与任意向量是共线的, ,所以基底中的向量不能为零向量所以基底中的向量不

5、能为零向量. .(2)(2)根据平面向量基本定理知根据平面向量基本定理知, ,平面内任一向量都可以由向量平面内任一向量都可以由向量e1 1, ,e2 2线性表示线性表示. .(3)(3)易知易知 与与 不共线不共线, ,所以所以 与与 可以构成一个基底可以构成一个基底. .AB CD AB CD 2.(2.(例题改编例题改编) )如图如图, , , , 不共线不共线, ,且且 则则 =_=_( (用用 , , 表示表示).).OAOB BP3PA ， OP OAOB 【解析】【解析】由已知由已知 得得 整理整理, ,得得 答案答案: :BP3PA ，OPOB3OAOP （），31OPOAOB.

6、44 31OAOB44 3.3.已知向量已知向量e1 1, ,e2 2不共线不共线, ,实数实数x,yx,y满足满足(x-2)(x-2)e1 1+(y-1)+(y-1)e2 2=5=5e1 1+2+2e2 2, ,则则x=x=, ,y=y=.【解析】【解析】因为向量因为向量e1 1, ,e2 2不共线不共线, ,所以根据平面向量基本定理可由所以根据平面向量基本定理可由(x-2)(x-2)e1 1+ +(y-1)(y-1)e2 2=5=5e1 1+2+2e2 2, ,得得x-2=5,x-2=5,且且y-1=2,y-1=2,解得解得x=7,x=7,且且y=3.y=3.答案答案: :7 73 3关键

7、能力关键能力合作学习合作学习类型一平面向量基本定理的理解类型一平面向量基本定理的理解( (数学运算数学运算) )【题组训练】【题组训练】1.(20201.(2020南通高一检测南通高一检测) )设设 e1 1, ,e2 2 是平面内的一个基底是平面内的一个基底, ,则下面的四组则下面的四组向量不能作为基底的是向量不能作为基底的是 ( () ) A.A.e1 1+ +e2 2和和e1 1- -e2 2B.B.e1 1和和e1 1+ +e2 2C.C.e1 1+3+3e2 2和和e2 2+3+3e1 1D.3D.3e1 1-2-2e2 2和和4 4e2 2-6-6e1 1D D2.2.如果如果 e

8、1 1, ,e2 2 是某平面内一个基底是某平面内一个基底, ,那么下列说法中不正确的是那么下列说法中不正确的是( () )对于此平面内任一向量对于此平面内任一向量a, ,使使a=e1 1+e2 2的实数对的实数对(,)(,)有无穷多个有无穷多个; ;若实数若实数,使得使得e1 1+e2 2= =0, ,则则=0;=0;若向量若向量1 1e1 1+1 1e2 2与与2 2e1 1+2 2e2 2共线共线, ,则有且只有一个实数则有且只有一个实数,使得使得1 1e1 1+1 1e2 2=(=(2 2e1 1+2 2e2 2););若若a=1 1e1 1+2 2e2 2, ,且且ae1 1, ,则

9、则2 2=0.=0.A.A.B.B.C.C.D.D.B B3.3.如图所示如图所示, ,平面内的两条直线平面内的两条直线OPOP1 1和和OPOP2 2将平面分割成四个部分将平面分割成四个部分,(,(不包括边界不包括边界),),若若 且点且点P P落在第落在第部分部分, ,则则实数实数a,ba,b满足满足( () ) A.a0,b0 A.a0,b0B.a0,b0,b0 C.a0 C.a0D.a0,b0D.a0,b012OPaOPbOP ，C C【解析】【解析】1.1.因为因为 e1 1, ,e2 2 是平面内的一个基底是平面内的一个基底, ,所以所以e1 1, ,e2 2不共线不共线, ,而而

10、4 4e2 2-6-6e1 1=-2(3=-2(3e1 1-2-2e2 2),),则根据向量共线定理可得则根据向量共线定理可得,(4,(4e2 2-6-6e1 1)(3)(3e1 1-2-2e2 2),),根据基底的条根据基底的条件件, ,选项选项D D不能作为基底不能作为基底. .2.2.错误错误, ,由平面向量基本定理可知由平面向量基本定理可知, ,一旦一个平面的基底确定一旦一个平面的基底确定, ,那么平面那么平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的. .正确正确, ,由由0 0e1 1+0+0e2 2= =0及及,的唯一性可知的唯一性可知=0;

11、=0;错误错误, ,当两向量均为零向量当两向量均为零向量, ,即即1 1=2 2=1 1=2 2=0=0时时, ,这样的这样的有无数个有无数个. .正确正确, ,因为因为ae1 1, ,所以存在实数所以存在实数,使得使得a=e1 1, ,所以所以1 1e1 1+2 2e2 2=e1 1, ,又又e1 1, ,e2 2不共线不共线, ,所以所以1 1=,=,2 2=0.=0.3.3.当点当点P P落在第落在第部分时部分时, , 按向量按向量 与与 分解时分解时, ,一个与一个与 反向反向, ,一个一个与与 同向同向, ,故故a0.a0.1OP 2OP OP 1OP 2OP 【解题策略】【解题策略

12、】1.1.对基底的理解对基底的理解两个向量能否作为一个基底两个向量能否作为一个基底, ,关键是看这两个向量是否共线关键是看这两个向量是否共线. .若共线若共线, ,则不能则不能作基底作基底, ,反之反之, ,则可作基底则可作基底. .2.2.对平面向量基本定理的理解对平面向量基本定理的理解(1)(1)在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和, ,且这且这样的分解是唯一的样的分解是唯一的, ,同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的, ,而零而零向量的分解式是唯一的向量的分

13、解式是唯一的, ,即即0=1 1e1 1+2 2e2 2, ,且且1 1=2 2=0.=0.(2)(2)对于固定基底而言对于固定基底而言, ,平面内任一确定的向量的分解是唯一的平面内任一确定的向量的分解是唯一的. .【变式训练】【变式训练】设设e1 1, ,e2 2是同一平面内两个不共线的向量是同一平面内两个不共线的向量, ,以下各组向量中不能作为基底以下各组向量中不能作为基底的是的是 ( () ) A.A.e1 1, ,e2 2 B.B.e1 1+ +e2 2,3,3e1 1+3+3e2 2 C.C.e1 1,5,5e2 2 D.D.e1 1, ,e1 1+ +e2 2 【解析】【解析】因为

14、因为3 3e1 1+3+3e2 2 =3( =3(e1 1+ +e2 2),),所以所以e1 1+ +e2 2与与3 3e1 1+3+3e2 2共线共线, ,所以这组向量所以这组向量不能作为基底不能作为基底; ;另外三组向量都是不共线的另外三组向量都是不共线的, ,可以作为基底可以作为基底. .B B类型二用基底表示向量类型二用基底表示向量( (数学运算数学运算) ) 角度角度1 1线性运算法线性运算法【例【例1 1】(2020(2020朔州高一检测朔州高一检测) )如图如图, ,在在ABCABC中中, , 则则 ( () )A.-3A.-3B.3B.3C.2C.2D.-2D.-2 【思路导引

15、】【思路导引】由由 设计解题思路设计解题思路. .21ADAC BPBDAPABAC33 ，若，APABBP B B【解析】【解析】因为因为又因为又因为 所以所以所以所以又又 且且 与与 不共线不共线, , 所以所以 则则 11BPBD(ADAB).33 2ADAC3 ，1 221BP( ACAB)ACAB,3 393 2122APABBPABACABABAC9339 ，APABAC AB AC 22.39 ，3.【变式探究】【变式探究】将本例条件改为将本例条件改为“ ”，其他条件不变，其他条件不变, ,求求 的值的值. .【解析】【解析】由由 得得 所以所以所以所以又因为又因为 所以所以又又

16、 且且 与与 不共线不共线, ,所以所以 52ADACBPPD85 ， 2BPPD5 2APAB(ADAP)5 ，22APABADAP,55 52APABAD.77 5ADAC8 ，55APABAC728 ，APABAC ， AB AC 554.728 ，.则角度角度2 2待定系数法待定系数法【例【例2 2】已知已知e1 1, ,e2 2是平面内两个不共线的向量是平面内两个不共线的向量, ,a=3=3e1 1-2-2e2 2, ,b=-2=-2e1 1+ +e2 2, , c=7=7e1 1-4-4e2 2, ,试用向量试用向量a和和b表示表示c. .【思路导引】【思路导引】设设c=x=xa+

17、y+yb,x,yR,x,yR,根据根据e1 1, ,e2 2不共线不共线, ,列方程组求列方程组求x,y.x,y.【解析】【解析】因为因为a, ,b不共线不共线, ,所以可设所以可设c=x=xa+y+yb,x,y,x,yR R, ,则则x xa+y+yb=x(3=x(3e1 1-2-2e2 2)+y(-2)+y(-2e1 1+ +e2 2)=(3x-2y)=(3x-2y)e1 1+(-2x+y)+(-2x+y)e2 2=7=7e1 1-4-4e2 2. .又因为又因为e1 1, ,e2 2不共线不共线, ,所以所以 解得解得x=1,y=-2,x=1,y=-2,所以所以c=a-2b. .3x2y

18、72xy4. ，【解题策略】【解题策略】用基底表示向量的两种方法用基底表示向量的两种方法(1)(1)线性运算法线性运算法运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化, ,直至用基底表示为止直至用基底表示为止. .解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形, ,找到已知向量和找到已知向量和未知向量的关系未知向量的关系. .(2) (2) 待定系数法待定系数法首先根据平面向量基本定理设所求向量为两个不共线向量的线性运算形式首先根据平面向量基本定理设所求向量为两个不共线向量的线性运算形式, ,然后通过列

19、向量方程或方程组的形式然后通过列向量方程或方程组的形式, ,利用基底表示向量的唯一性求待定利用基底表示向量的唯一性求待定系数系数. .【题组训练】【题组训练】1.(20201.(2020济宁高一检测济宁高一检测) )如图如图, ,在等腰梯形在等腰梯形ABCDABCD中中,DC= ,DC= AB,BC=CD=DA,DEACAB,BC=CD=DA,DEAC于点于点E,E,则则 = =( () )12DE 1111A.ABAC B.ABAC22221111C.ABAC D.ABAC2424 A A【解析】【解析】因为因为CD=DA,DEAC,CD=DA,DEAC,所以所以E E是是AC AC 的中点

20、的中点, ,所以所以 又因为又因为DCAB,DC= AB,DCAB,DC= AB,所以所以 所以所以11111DEDADC(DCCA)DCDCAC22222 ，121DCAB2 ，11DEABAC.22 2.2.设设e1 1, ,e2 2是不共线的非零向量是不共线的非零向量, ,且且a= =e1 1-2-2e2 2, ,b= =e1 1+3+3e2 2. .(1)(1)证明证明:a, ,b 可以作为一个基底可以作为一个基底; ;(2)(2)以以 a, ,b 为基底表示向量为基底表示向量c=3=3e1 1- -e2 2. .【解析】【解析】(1)(1)假设假设a=b(R R),),则则e1 1-

21、2-2e2 2=(=(e1 1+3+3e2 2).).由由e1 1, ,e2 2不共线不共线, ,得得 所以所以不存在不存在. .故故a与与b不共线不共线, ,可以作为一个基底可以作为一个基底. .(2)(2)设设c=m=ma+n+nb(m,nR),(m,nR),则则3 3e1 1- -e2 2=m(=m(e1 1-2-2e2 2)+n()+n(e1 1+3+3e2 2)=(m+n)=(m+n)e1 1+(-2m+3n)+(-2m+3n)e2 2. .所以所以 解得解得 所以所以c=2=2a+ +b. .132 ，mn32m3n1 ，m2n1.，【拓展延伸】【拓展延伸】方程组法表示向量方程组法

22、表示向量类比解方程组的方法类比解方程组的方法, ,将所要表示的向量看成未知数将所要表示的向量看成未知数, ,根据题目条件列出根据题目条件列出所要表示的向量的方程组所要表示的向量的方程组, ,解方程或方程组即得解方程或方程组即得. .【拓展训练】【拓展训练】如图所示如图所示, ,在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中,M,N,M,N分别为分别为DC,BCDC,BC的中点的中点, ,已知已知 试用试用c, ,d表示表示 , ., . AMAN ，cdAB AD 【解析】【解析】设设由由得得 解得解得即即 11ABADAMADDMADAB22 ，则，abab11ANABBNABAD22 ，ab

23、1212，abcabd24334233 ，acdbcd2442ABAD.3333 ，cdcd【变式训练】【变式训练】如图如图, ,在在AOBAOB中中, , 设设 而而OMOM与与BNBN相交于点相交于点P,P,试用试用a, ,b表示向量表示向量 . . OAOB ，abAM2MB ON3NA ， ，OP 【解析】【解析】因为因为 与与 共线共线, ,令令 则则又设又设所以所以 所以所以 所以所以 22212OMOAAMOAABOAOBOA.33333 （）（）abaabOP OM OPtOM ，12OPt().33 ab3OP1m ONmOB1mm .4 （）（）abt31m342tm3（）

24、，3m59t10，33OP.105 ab类型三平面向量基本定理的综合应用类型三平面向量基本定理的综合应用( (逻辑推理逻辑推理) )【例【例3 3】在边长为在边长为1 1的菱形的菱形ABCDABCD中中,A=60,A=60,E,E是线段是线段CDCD上一点上一点, ,满足满足| |=2| |,| |=2| |,如图所示如图所示, ,设设 = =a, =, =b. . (1)(1)用用a, ,b表示表示 ; ;(2)(2)在线段在线段BCBC上是否存在一点上是否存在一点F F满足满足AFBE?AFBE?若存在若存在, ,确定确定F F点的位置点的位置, ,并并求求| |;| |;若不存在若不存在

25、, ,请说明理由请说明理由. .CE DE AB AD BE AF 【解题策略】【解题策略】用向量解决平面几何问题的一般步骤用向量解决平面几何问题的一般步骤(1)(1)选取不共线的两个平面向量作为基底选取不共线的两个平面向量作为基底. .(2)(2)将相关的向量用基底中的向量表示将相关的向量用基底中的向量表示, ,将几何问题转化为向量问题将几何问题转化为向量问题. .(3)(3)利用向量知识进行向量运算利用向量知识进行向量运算, ,得向量问题的解得向量问题的解. .(4)(4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解再将向量问题的解转化为平面几何问题的解. .【跟踪训练】【跟踪训练】已知在平行四

26、边形已知在平行四边形OABCOABC中中, ,若若P P是该平面上任意一点是该平面上任意一点, ,则满足则满足 (1)(1)若若P P是是BCBC的中点的中点, ,求求+的值的值; ;(2)(2)若若A,B,PA,B,P三点共线三点共线, ,求证求证:+=1.:+=1.OPOAOB ,R . （）【解析】【解析】(1)(1)若若P P是是BCBC的中点的中点, ,则则又又所以根据平面向量基本定理得所以根据平面向量基本定理得 所以所以 (2)(2)因为因为A,B,PA,B,P三点共线三点共线, ,所以所以 和和 共线共线, ,所以存在实数所以存在实数k k使使所以所以 所以所以所以根据平面向量基

27、本定理得所以根据平面向量基本定理得,+=1-k+k=1. ,+=1-k+k=1. 111OPOBOCOBOBOAOAOB222 （） （） ，OPOAOB ，121 ，12 ；AP AB APkAB ，OPOAkOBOA （），OP1k OAkOBOPOAOB （），又 ，平面向量平面向量基本定理基本定理将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，一般是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止1. 1. 平面向量基本定理平面向量基本定理. .2. 2. 基底基底. .核心知识核心知识方法总结方法总结易错提醒易错提醒核心素养核心素养1.基底是同一平面内的两个不共线向量.2.基

28、底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底1.数学抽象：平面向量基本定理的意义.2.逻辑推理：推导平面向量基本定理.3.数学运算：用基底表示其他向量.课堂检测课堂检测素养达标素养达标1.1.点点O O为正六边形为正六边形ABCDEFABCDEF的中心的中心, ,则可作为基底的一组向量是则可作为基底的一组向量是( () )A.OA BCB.OA CDC.ABCFD.ABDE ，B B【解析】【解析】由题图可知由题图可知, , 与与 , , 与与 , , 与与 共线共线, ,不能作为基底不能作为基底, , 与与 不共线不共线, ,可作为基底可作为基底. .OABC AB CFAB DE OACD 2.2.如图如图, ,在矩形在矩形ABCDABCD中中, ,若若 则则 ( () ) 【解析】【解析】 12BC5DC3 ，eeOC 121221211A.5321B.5321C.