Ch5常微分方程数值方法1-19

1、第第5 5章章 常微分方程的数值方法常微分方程的数值方法近似解析法、数值方法近似解析法、数值方法) 1 . 5()(),(,()(0yaybxaxyxfxy初值问题初值问题本章主要研究求解一阶常微分方程初值问题的本章主要研究求解一阶常微分方程初值问题的几个常用的数值方法几个常用的数值方法。且且f(x,y)f(x,y)满足李普希茨（满足李普希茨（Lipschitz)Lipschitz)条件，即存在常数条件，即存在常数L L，使，使yyLyxfyxf),(),(则由常微分的理论知道，初值问题（则由常微分的理论知道，初值问题（5.1）在区间）在区间a,b上上存在存在唯一解唯一解。1.求解区间求解区间

2、a,b的离散化的离散化，使上插入一系列分点求解区间离散化，是在,kxbabxxxxxaNnn110 5.1 5.1 建立常微分建立常微分数值方法数值方法的基本思想与途径的基本思想与途径 微分方程数值解法的微分方程数值解法的基本思想：基本思想：把求解区间和方程离散化，求出方程的解把求解区间和方程离散化，求出方程的解y(x)在一系列离散在一系列离散点上的近似值。点上的近似值。因此，不同的离散方式就产生不同的数值解法。因此，不同的离散方式就产生不同的数值解法。,),1-, 1 , 0(1（常数）为步长，一般取称记hhhNnxxhnnnnn称为等步长节点。（节点为), 2 , 1 , 00NabhNn

3、nhxxn2.将微分方程离散化将微分方程离散化（1）差商逼近法：用差商代替导数。）差商逼近法：用差商代替导数。（2）数值积分法：）数值积分法：（3）Taylor展开法：展开法：),)( ,)(,()()(00nmyxydxxyxfxyxymnxxnm用用 处的向前、向后差商分别代替（处的向前、向后差商分别代替（5.1）左边的微商，实）左边的微商，实现现微分算子离散化微分算子离散化。即。即nx)2 . 5(),(,()()(nnnnxyxfhxyhxy 5.2 5.2 欧拉（欧拉（Euler)Euler)方法及其截断误差和阶方法及其截断误差和阶 5.2.1 Euler公式公式Euler方法是一种

4、最方法是一种最 简单的简单的显式单步法显式单步法。) 1 . 5()(),(,()(0yaybxaxyxfxy)3 . 5(),(,()()(11nnnnxyxfhxyhxy后得近似式写成等式，整理的近似值，将上面两个为令)(nnxyy)2 . 5(),(,()()(nnnnxyxfhxyhxy 5.2.1 Euler公式公式) 1 . 5()(),(,()(0yaybxaxyxfxy)3 . 5(),(,()()(11nnnnxyxfhxyhxy后得近似式写成等式，整理的近似值，将上面两个为令)(nnxyy)4 . 5(),(1nnnnyxfhyy)5 . 5(),(111nnnnyxfhy

5、y3210004 . 5yyyyyx的值，即），逐点计算以后各点开始，按式（处的初值从显式显式Euler公式公式隐式隐式Euler公式公式)6 . 5(),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy 梯形梯形公式公式（隐式公式）（隐式公式）差分公式差分公式单步法单步法 5.2.2 梯形公式的计算梯形公式的计算) 1 . 5()(),(,()(0yaybxaxyxfxy),5(, 5111nnnnyxhyyEulerxydxdy公式为其隐式如)4 . 5(),(1nnnnyxfhyy)5 . 5(),(111nnnnyxfhyy)5(,513113nnnnxyhyyEulerxydxdy公式

6、为其隐式)6 . 5(),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy 下面以下面以 梯形梯形公式为例，介绍隐式公式的迭代算法。公式为例，介绍隐式公式的迭代算法。对于对于隐式方法隐式方法，如果，如果f(x,y)是是y的线性函数，则隐式公式可显式计算。的线性函数，则隐式公式可显式计算。.-1511nnnxhhyy它有显式形式但当但当f(x,y)是是y的非线性函数时，如的非线性函数时，如章的迭代法求解。用第的非线性函数。可以选它是关于71ny 5.2.2 梯形公式的计算梯形公式的计算) 1 . 5()(),(,()(0yaybxaxyxfxy)4 . 5(),(1nnnnyxfhyy)5 . 5

7、(),(111nnnnyxfhyy)6 . 5(),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy 下面以下面以 梯形公式梯形公式为例，介绍隐式公式的为例，介绍隐式公式的迭代算法迭代算法。当当h很小时，迭代过程（很小时，迭代过程（5.7）是收敛的。）是收敛的。)7 . 5(),(),(2),()1(1)()0(111mnnnnmnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyy？因为因为f(x,y)f(x,y)满足满足LipschitzLipschitz条件条件yyLyxfyxf),(),(下面以下面以 梯形梯形公式为例，介绍隐式公式的迭代算法。公式为例，介绍隐式公式的迭代算法。)7 . 5(),()

8、,(2),()1(1)()0(111mnnnnmnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyy所以所以),(),(2)1(1)(1)()1(1111mnmnmmnnnnyxfyxfhyy)1()(112mmnnyyLh便收敛。，序列由此可见，只要,12)2(1)1(1)0(1nnnyyyLh这也是迭代过程（这也是迭代过程（5.7）收敛的充分条件。）收敛的充分条件。，取得较小时，可有因此，当12Lhh 5.2.3 改进的改进的Euler法法)4 . 5(),(1nnnnyxfhyy)6 . 5(),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy 称为改进的称为改进的Euler公式，这是一种一步显式公

9、式。它的嵌套形式：公式，这是一种一步显式公式。它的嵌套形式：),(1nnnnyxfhyy预报预报校正校正),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy)9 . 5(),(,(),(211nnnnnnnnyxhfyxfyxfhyy 梯形公式虽提高了精度，但它是一种隐式算法，需要借梯形公式虽提高了精度，但它是一种隐式算法，需要借助于迭代过程求解，计算量大。而助于迭代过程求解，计算量大。而Euler法虽精度低，但他法虽精度低，但他是一种显式算法，其计算量小。是一种显式算法，其计算量小。能否综合使用这两种方法能否综合使用这两种方法？ 5.2.3 改进的改进的Euler法法 改进的改进的Euler公

10、式：公式：)9 . 5(),(),(),2121(1121211hkyxfkyxfkkkhyynnnnnn公式中用到的斜率是两个点的斜率的加权平均，它为构造新公式中用到的斜率是两个点的斜率的加权平均，它为构造新的计算法提供了新的途径。的计算法提供了新的途径。下节介绍的下节介绍的R-K方法就是这种思方法就是这种思想的体现和发展。想的体现和发展。P51 例例5.1)9 . 5(),(,(),(211nnnnnnnnyxhfyxfyxfhyy改进的改进的Euler公式的公式的优点优点：实现了隐式显算的目的，且减少了：实现了隐式显算的目的，且减少了计算量。公式（计算量。公式（5.9）还可以写为：）还可

11、以写为： 5.2.4 局部截断误差局部截断误差) 1 . 5()(),(,()(0yaybxaxyxfxy)4 . 5(),(1nnnnyxfhyy)5 . 5(),(111nnnnyxfhyy)6 . 5(),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy 初值问题（初值问题（5.1）的）的单步法单步法可用可用一般形式一般形式表示为：表示为：)10. 5(),(11hyyxhyynnnnn)11. 5(),(1hyxhyynnnn隐式单步法隐式单步法显式单步法显式单步法),(),(4 . 5),(yxfhyxEulerhyx）有公式（称为增量函数。例如对其中式单步法可表示为则为显式方法。所以

12、显若不含时，方法是隐式的，含有有关，当与多元函数其中11),(,nnyyyxf 5.2.4 局部截断误差局部截断误差) 1 . 5()(),(,()(0yaybxaxyxfxy定义定义5.1 设设y(x)是初值问题（是初值问题（5.1）的准确解，称）的准确解，称)10. 5(),(11hyyxhyynnnnn局部截断误差概念。给出一般显式单步法的，即之前的计算没有误差，的局部情况，并假设到虑从是复杂的。为此，仅考差分析和求得整体截断误)(1nnnnnnxyyxxxe隐式单步法隐式单步法点的整体截断误差。称为该方法在误差则一步产生的误差，直到开始计算，如果考虑每从nnnnnxyxyexx)(,0

13、)11. 5(),(1hyxhyynnnn显式单步法显式单步法)12. 5(),(,()()()(1111hxyxhxyxyyxyTnnnnnnn为显式单步法（为显式单步法（5.11）的）的局部截断误差局部截断误差。 5.2.4 局部截断误差局部截断误差) 1 . 5()(),(,()(0yaybxaxyxfxy定义定义5.1 设设y(x)是初值问题（是初值问题（5.1）的准确解，称）的准确解，称)11. 5(),(1hyxhyynnnn显式单步法显式单步法)12. 5(),(,()()()(1111hxyxhxyxyyxyTnnnnnnn为显式单步法（为显式单步法（5.11）的）的局部截断误

14、差局部截断误差。例例5.2 求显式求显式Euler法和隐式法和隐式Euler法的局部截断误差。法的局部截断误差。)4 . 5(),(1nnnnyxfhyy)5 . 5(),(111nnnnyxfhyy10)1(00)(200000)()!1()()(!)()(! 2)()( )()()( nnnnxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxf 321)(! 31)(! 21)()()()(hxyhxyhxyxyhxyxynnnnnn 5.2.4 局部截断误差局部截断误差定义定义5.1 设设y(x)是初值问题（是初值问题（5.1）的准确解，称）的准确解，称)12. 5(),(,()()()(1111

15、hxyxhxyxyyxyTnnnnnnn为显式单步法（为显式单步法（5.11）的）的局部截断误差局部截断误差。定义定义5.2 设设y(x)是初值问题（是初值问题（5.1）的准确解，若存在最大整）的准确解，若存在最大整数数p使显式单步法（使显式单步法（5.11）的局部截断误差满足）的局部截断误差满足)13. 5()(),(,()()()(11111pnnnnnnnhhxyxhxyxyyxyT)13. 5()()(1111pnnnhyxyT即则称方法（则称方法（5.11）是）是p阶的阶的，或称具有，或称具有p阶精度阶精度。)()(,)13. 5(211ppnnnhhxyxT（写成若将。称为局部截断

16、误差主项（则1)(,pnnhxyx例例5.3 P125 练练 习习的公式00)(),(,()(yxybxaxyxfxy设有求常微分方程初值问题设有求常微分方程初值问题求其局部截断误差及阶数。求其局部截断误差及阶数。),(211nnnnyxfhyy 5.4 5.4 单步法收敛性和稳定性单步法收敛性和稳定性5.4 5.4 单步法的收敛性单步法的收敛性)11. 5(),(1hyxhyynnnn显式单步法显式单步法)26. 5(),(1hyyhyxnnnn差分公式（差分公式（5.26）在理论上是否合理，要看差分方程的解）在理论上是否合理，要看差分方程的解),(nnxyy的精确解是否收敛于原微分方程这是

17、差分格式的这是差分格式的收敛性收敛性问题。问题。何，舍入误差传播情况如有舍入误差，逐步推进若计算中某一步ny这是差分格式的这是差分格式的稳定性稳定性问题。一个不稳定的差分格式会使计算解问题。一个不稳定的差分格式会使计算解失真或计算失败。失真或计算失败。)11. 5(),(1hyxhyynnnn方法是收敛的。，则称均有）产生的近似解若单步法（），必然同时当对于任意固定的定义)(lim11. 5(0,3 . 5, 00nnnhnnxyyynhnhxx定理定理5.1 对于一个对于一个p阶的显式单步法（阶的显式单步法（5.11），若满足如下条件），若满足如下条件成立使条件，即存在常数满足关于增量函数R

18、yyLhyxhyxLLipschitzy, 0),(),(, 0) 1 (（2）微分方程的初值是精确的。）微分方程的初值是精确的。则该方法收敛，其整体截断误差为则该方法收敛，其整体截断误差为)()(pnnnhyxye例例5.6 P132 定理定理5.1表明：判断单步法的收敛性，归结为验证增量表明：判断单步法的收敛性，归结为验证增量函数能否满足函数能否满足Lipschitz条件。条件。5.4.2 5.4.2 单步法的稳定性单步法的稳定性若算法的执行结果与算法精确解之间的误差（它是由舍入误差造成的）很大，就说该算法是数值不稳定的，否则是数值稳定的。 理论上成立的算法，在计算机上机算时，由于理论上成

19、立的算法，在计算机上机算时，由于初值的误差初值的误差在计算过程中的传播在计算过程中的传播，而导致结果的失真。而导致结果的失真。否则是不稳定的。的则称此算法是数值稳定上产生的偏差均不超过各节点值的扰动，对以后上有大小为值若一种数值方法在节点,n)(my .mny5 5定定义义5 5) 1 . 5()(),(,()(0yaybxaxyxfxy)7 . 2(),(:),(),(bafyyTaylorbayxfy其中化为如下的模型方程能展开并局部线性化，总做在解域内某一点将显式显式Euler方法的稳定性方法的稳定性：将显式将显式Euler法用于模型（法用于模型（5.27），有），有)7 . 2(),(:),(),(