2019年高中数学人教A版必修四第三章3第2课时半角公式及其应用练习题含答案

1、2019高中数学人教A版必修四第三章3第2课时半角公式及其应用Word练习题含答案第2课时半角公式及其应用1 .问题导航(1)如何理解“半角”？(2)利用半角公式求值时，如何确定符号?1cos30一(3)等式sin15=2成立吗？2 .例题导读P125例5.通过此例学习，学会运用二倍角公式推导半角公式，掌握半角公式.试一试：教材P128习题33A组T9你会吗？P127例6,例7.通过此两例学习，学会利用半角公式解决给值求值问题.试一试：教材P127练习2你会吗?正弦、余弦和正切的半角公式1.判断正误.(正确的打，错误的打“X)a(1)8纭=1+cosa2(2)存在於R,使得cos2(3)对于任

2、意aGR)sin_2=)12cos12sin口都不成a(4)若a是第一象限角)则tan万=1 cosa.1+COSa.()兀口兀解析：(1)错误.只有当一万+2女兀020万+2kMkGZ),即一兀+4k；rWa兀+4kMkGZ)时a/l+cosa(2)正确.当cosa=-V3+1时，上式成立，但一般情况下不成立.(3)错误.当a=2kMkWZ)时，上式成立，但一般情况下不成立.a1 cos a 成立.1 + cos a(3)X(4)，(4)正确.若a是第一象限角，则力是第一、a三象限角，此时tan2=答案：(1)X(2)，22 .已知cosa=3，270a360,那a，么co、的值为(八-6A

3、.公6解析：选D.因为270 a360aa所以 1352180 所以 cos20.的结果是（)简1 COS ( a兀2aaA.sin2B.cos2aaC.一coS2D.sin解析：选c.原式=上匕黄，=|cos2i,因为一3兀口2兀)3兀a5所以22-4兀.所以cos20)所以 sin 11 =1;a答案：!Jar=a)则 sin 11 = (ffl a表示).cos 11 0)1-a。2) cos 11 =对半角公式的四点认识(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的.口一、一、,(2)半角公式给出了求万的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos口的值及相应民a.CL

4、CL的条件)便可求出sin2)cos1,tan万.上sin-r.乌由于tan2=1+cosa及的2=以求解关于tan标的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件.宁不含被开方数，且不涉及符号问题，所（4）涉及函数的升降募及角的二倍关系的题目，常用sin2；黄口1 + cos 民2解.探究点一sinsin12B=13,一3所以 cos a = 5)cos B=513,给值求值4例已知a为钝角）B为锐角，且sina=5） -3 6B =13）求 cos 2 的值.（链接教材P127例6,例7）解因为a为钝角）B为锐角）sin a=4）5所以cos(a=cosacosB+sinasinB3-

5、 536=2 3X4 5 十513X3- 5又因为5V产兀，0VB2，所以0a3兀，a -所以03B兀25民一所以 cos21 + cos (民一份1+33657 65 =65 . 8互动煤究把本例中的条件“民为钝角”改为“ a为锐角”ac 求 cos丁的值.解：因为B为锐角,sin4a= _5sinB=13,所以cos3口=5)cos5B=13)所以cos(aB)=cos acos 3+ sinasin B兀兀又因为0依万，0Vb2,兀兀所以一2为一32，兀民一S兀所以一4丁4，口一 S所以 cos1 + cos （民一份2方法归纳利用半角公式求值的思路(1)看角.若已知三角函数式中的角是待

6、求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解.(2)明范围.由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.(3)选公式.涉及半角公式的正切值时，常用口sina1cosatan2=,其优点是计算时可21+cosasina避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公a式的正、余弦值时，常先利用 sin2- =1 COS a2，金a1+COSa、十算（4）下结论.结合（2）求值.3跟踪训练1.(1)已知|cose|=3,且703兀，则52sin万）cosy, tan万的值分别为（）（2）若cosa=一口是第三象限的角）则a1 + tan-2a1 tan=(A.

7、B.C. 2D. 2若1 cos 民sin风=2,则cos a 一sin解析：(1)因为|cos叫=3)5所以cos6=3 5 7t 8 3兀由cos 8=1 一e2sin22,1cos62_esin2=cos6=2cos221,所以_ecos2=1 + cos 62(2)因为a是第三象限角，cos5一丁，所以tan5_eesin2=2._ecos24口=-5，g1+所以sin1+tan21+cosaasina1tanq1一21+cosa1+cosa+sina1+cosa1+cosa+sina/5+52一514=2.51cosa1 + cos asin a 1 + cos a sin a +

8、cos a1-20/2；=sinaaa2sin-2cos22_a上2sin2sin2aa2sin2cos2acos2atan22.cosFgsin2Zcos2sin2a2acos2+sin21 tan22-2tan21-22-2X21 + tan221 + 2275.答案：(1)B(2)A(3)5探究点二利用半角公式化简求值例（1）计算：tan（2）(1 sin a cos a )a asin + cosV22cosa0)兀1 + cosc6兀tan 12兀1 cos62-22+ 22321+ 22+ 3(链接教材P128习题33A组Ti)解(1)法一：tan兀1COS4+兀1+COS4,.2

9、1一2+2322=2-+2+V3=1+V2+V3.法二：tan兀1cos?4兀18+二tan12兀炎1+coS71c62兀+兀=+sin4sin62，31+212(2)原式=+2+V3=i+V2+V3.aaaaaa2|sin2|sin2sin22cos22a|sin)|a一sin2cosaa|sin2|兀a因为一兀口0,所以一220，a所以sin20)asincosa所以原式=COSa.asin2方法归纳(1)利用半角公式进行化简与计算时，应正确选用升、降骞公式：当待化简式中含有根式时，应选用升嘉公式去根号；当待化简式中含有高次式时，应选用降骞公式减少运算量，注意隐含条件中角的范围.(2)半角

10、的正切公式分无理表达式与有理表达式两种形式，前者有正负号选取，其符号由角的范围确定，必要时需要讨论，后者没有符号选取，其结果的符号由sina确定，应用十分方便.8跟踪训练2.(1)若1+tan0t=2015,则1+tan21tanacos2aa=.(2)d2+2cos8+211sin8的化简结果是解:(1) 一+tan2a=cos2acos 2 为 cos 2 口(sina+cosa)2sina+cosatana+1cos2asin2acosasina1tana015,故填2015.(2)原式=44cos24+212sin4cos4=2|cos4|+2/(sin4-cos-4)=2|cos4|

11、+2|sin4cos4|.因为5f4所以cos4Qsin4cos40)所以sin4cos40.从而原式=-2cos42sin4+2cos4=一2sin4.故填一2sin4.原式=tan 5 1 tan 5 sin20I1+cos20tan 52cos210tan25T2sin10cos10tan2501tan10tan5tan2512tan5tan51tan25探究戊三证明三角恒等式例求证：（1）tan,1口十=兀aCOSatan7+22,COS民1(2) .=.sin2a.(3) 1a4一tan、a2tan万（链接教材P128例5）,兀sina+COS2+口证明(1)左边=+一兀sin 2+

12、 aCOSasina1sin/cosacosasina+1sinacosa=一一=右边.cosa故等式成立.22cosacosaQ）左边=cos2sin2cos21sin2aaaasin2cos2sin：2cos22aoe2aoecososin2cos2cosasin2cos2=cosaaacosacos2sinaa11sincos7=2cosasina=4sin2a=右边.方法归纳证明三角恒等式的常用方法(1)直接法：直接从等式的一边开始转化到等式的另一边，一般是按照由繁到简的原则进行，依据是相等关系的传递性.(2)综合法：由一个已知的等式(或已有的公式等)恒等变形到所要证明的等式.(3)中

13、间量法：通过证明等式左右两边都等于同一个式子完成恒等式的证明.口跟踪训练3. (1)求证：2(1 + cos a)sin2 民=4cos42-3x.x2sinx求证：匕)万一tan2=cosx+cos改证明：左边=2X2cos222sinfcos：aaa=4cos224sin22cos22=4cos221 - sin22= 4cos42=右边.Q)法一:3x xtan-2 tan=_._3x _._xsin 2 sin23x x cos 2 cos2.3xx3x.xsin2cos2cos?sm23xxcos2cos23x xsin 万一2sin x3x x一 cosy cos23x x cos

14、2 cos22sinx3xx3xxcos-2+2+cos-222sinxcosx+cos2x法二:2sin xcos x + cos 2x3xx2sin223xx3xxcos22+cos2+2,3xx3x.x2sin-2cos2cosysin2c3xx2cos2co?3xxsinosin。2_23xxcos3x-cosx=tan7-tan2.规范解答三角恒等变形的综合应用例3(本题满分12分)已知函数f(x)=sin2x(sinx+cosx)cosx(1)求f(x)的定义域及最小正周期；冗底一-一一一(2)求f(x)在区间一百，%上的最大值和最小值.兀解(1)因为cosx#0)所以乂力女兀十万

15、)kG乙口所以函数f(x)的定义域为兀x|x#k兀+万)kGZ)2分f(x) =sin2x(sinx+cosx)cosx=2sinx(sinx+cosx)=2sin2x+sin2x=1cos2x+sin2x=2sin2x-4+1,所以f(x)的最小正周期为丁=兀.6分兀兀(2)因为一6&xW,所以一行&2x-兀兀当2x=一口乙x44)兀IPx=4时，f(x)的最大值为2; 10分兀兀当2x一7=一万)兀即 x=-78时，f(x)的最小值为一V2+1.12规范与警示(1)在处，直接求函数的定义域，若对函数先化简，则导致分母不存在，再求定义域就出错，此为失分点.在处，正确地使用降募公式将函数化为f

16、(x)/sin2x卫+1是解题的关键.4在双处，容易将2xZ的范围算错或忽略,都将导致f(x)的最值求错造成失分.(2)解答此类问题的两个注意点定义域求解时的保原性定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，故求解时，应保证函数的原解析式有意义，不可随便化简，如本例不可求f（x）=必sin2x+1的定义域.s4提高公式的辨析和识记能力sin2x与cos2x的降募公式非常相似）解题时务必细心，谨防混淆，可采用先写出cos2x的公式，再对其变形分别记忆，如本例求解中若把sin2x的公式用错，会导致该题基本不得分.1.已知aG（兀1 COS （兀 + a）2aA. sin2aC. 一 sin-2等于（B

17、.aCOST2D. 一 cos-2解析：选D.因为正（兀）2兀）所以1 COS （兀 + a）二 6 一22，1 + cos a=|cos21=-C0S2.2.已知a是第三象限角，且sin a2425,a则tan万等于（A .3A4C4C.3解析：选D.由B.D.34_4一3a为第三象限角，且sina=24.7_25和cosa=-25.a所以tan2sin a24251 + cos a 4 731.25a3.已知 cos-21=-5 540 a720 ，贝U3a sin4解析：因为a540 a720 ,所以 270 2360，所以 1354180，因为 cos21 =3,所以3答案:333 .

18、4.已知sin 2 65, o2e22cos25一sin 0亚sin （计女）2cos22)-sin 0-12sin兀0+4e2cos22-1sine工工2sinBcosq+cosOsin4sin61一因为cos6sin6cos61tan8sin6+cos6sin6tan6+1+1cos6一.3兀sin20=5,020万，一,4所以 cos 2 0=5)所以tansin 2 66=1 + cos 2 6学生用书单独成册)A.基础达标31,已知cose=5,且180e270,D.B. 212贝Utan万=(A.2C1C.2解析：选B.因为1800270,e所以902135,e所以tan20,则

19、sin y+1 cos 61 + cos 6A.-C. 62等于(_/63B.D.二6 一663解析：选B.由题意知sin二55 = 一 八3)所以cos2口 = 3,兀2所以 sina胃=cos=1 + cos a266.故选B.3.已知e为第二象限角，25sin20+sin0-e24=0,贝Ucosy的值为（）A.C.3 一522B +3B5D +4D.-5解析：选B.由25sin26+sin024=0得sin6=sin 0= 1（因为9为第二象限角）故舍去），所以 cos 0= -25, e限角，所以2cos221 =e且2为第一或者第三象7 心 R25,c0s24.化简2+cos2si

20、n21等于（A.一cos1B. cos1C. 3cos1D.5405AcosD1+cos2所以cos所以2252270解析：选A.因为450a540cos2sin20sin2sin22+2|cos城cos1,故选C112+22+2cos4502+2112+2cos2a的值是(B.C.1cos21)22cos解2a3cos1析：,则选C.原式等于2 2a答案:27.求值:解析:sin235cos 100 cossin2350 -212801 cos 70 1cos 10 cos 80 cos 10 sin 101_。2cos 70=1 =T2sin 20答案：1aa|sin2|=sin2.故选A

21、.ee6.设5兀e0)cos2e0.则2 0G2) 儿因为 sin 2 0=，81 cos 2 6= 8)1 cos 2 6,所以4 ,所以tan3sin 646=cose=t=4於437答案：3779.已知 sin 4 =- 求下列各三角函数的值:25,且小是第三象限角,兀(1)sin 4 +-6 ；(2)sin 2 (;,c、 幺(3)cos2 ；(4)tan 2 .解：因为。是第三象限角,所以cos6 = A /1 sin2 6 = 725.(1)sin()+ - =sin 7 + 243 =50.cos6+cos 内吗(2)sin 2()= 2sin336625.(3)因为4是第二象限

22、角)所以2k兀+兀42k兀+3.2m 兀+ 34t所以k兀+|k兀+=(kWZ).兀(p当k=2m时)2m兀+52(mGZ),cos-2=35.当k=2m+1时，2m兀+-2-2,sino_21+tan6tan2=1+;cos2_ej_e2sin2cos2sin2=1+;cos66cos22sin22=1+cos61cos6icos6cos6_ecos2je所以tan21+tan8tan彳U2sin2cos612=.sin6cos6sin6B.能力提升1 .已知sin(a份cosa一cos(asin=4,且3是第三象限角，则cos2的值等于(A,土舍B.士卒55解析：选A.由已知，得sin(a

23、B)a=4,i4sin(一份=5,得sinB=5.一，一-130，因为B在第三象限，所以cosB=5,2为第二、四象限角，B八/1+cosB1J5所以cos2=y-2一=75=5.2 .设兀a3兀)cosa=m?cos2=n)1cos-=p?则下列各式正确的是(1+mA.n=212Bn=1 +nC.p=2j2D,p=解析：选A.因为a3兀)兀 口 3兀a所以2cos2 =兀因为22万，、 a b433.正乂运算 c d =adbc，右 cos =5,sin acos asinB5兀a+(3cos6=130寸万贝人访丁sinasinB解析：由题意可知，=sincos 0sin Bcosa= sin( a =513,cosacosB