大学物理机械振动课件

1、 8.1 8.1 简谐振动简谐振动 8.2 8.2 简谐振动的合成简谐振动的合成 8.3 8.3 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振* *8.4 8.4 振动的分解振动的分解* *8.5 8.5 非线性振动简介非线性振动简介广义振动广义振动：任一物理量：任一物理量( (如位移、电流等如位移、电流等) )在某一在某一 数值附近反复变化。数值附近反复变化。 振动分类振动分类非线性振动非线性振动线性振动线性振动受迫振动受迫振动自由振动自由振动机械振动机械振动：物体在其平衡位置附近作来回往复的运动。：物体在其平衡位置附近作来回往复的运动。8-1 简谐振动简谐振动最简单最基本的线性振动。最简单

2、最基本的线性振动。简谐振动简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移平衡位置的位移x（或角位移或角位移 ）随时间）随时间t按余弦按余弦（或正弦）规律变化的振动。（或正弦）规律变化的振动。)tcos(Ax0 一、简谐振动的运动学方程一、简谐振动的运动学方程弹簧振子弹簧振子：弹簧：弹簧物体系统物体系统 平衡位置：平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置弹簧处于自然状态的稳定位置轻轻弹簧弹簧质量忽略不计，形变满足胡克定律质量忽略不计，形变满足胡克定律 物体物体可看作质点可看作质点 kxOmkxF 22dtxdmkx mk 2 简谐振动简谐振动微分方程微分方

3、程0222 xdtxd 其通解为：其通解为：)tcos(Ax0 简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程)tsin()tcos(200 20 )sin( tAx0222 xdtxd 二、二、描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量)tcos(Ax0 1 1、振幅、振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。移（或角位移）的绝对值。)tsin(Av0 000vv ,xx,t 初始条件初始条件00 cosAx 00 sinAv 2020)v(xA 000tanx 频率频率 单位时间内振动的次数。单位时间内振动

4、的次数。2、周期周期 、频率、角（圆）频率频率、角（圆）频率对弹簧振子对弹簧振子 21 T角频率角频率 22 TkmT 2 mk 21 mk 固有周期、固有频率、固有角频率固有周期、固有频率、固有角频率周期周期T 物体完成一次全振动所需时间。物体完成一次全振动所需时间。 00 )Tt(cosA)tcos(A 2 T)sin(0 tA 0 是是t =0时刻的位相时刻的位相初位相初位相3、位相和初位相位相和初位相)tcos(Ax0 位相，决定谐振动物体的运动状态位相，决定谐振动物体的运动状态0 t位相差位相差 两振动位相之差。两振动位相之差。12 当当=2k ,k=0,1,2,两振动步调相同两振动

5、步调相同, ,称称同相同相当当 = (2k+1) , k=0,1,2.两振动步调相反两振动步调相反, ,称称反相反相 0 2 超前于超前于 1 或或 1滞后于滞后于 2 位相差反映了两个振动不同程度的参差错落位相差反映了两个振动不同程度的参差错落 三、简谐振动的三、简谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法 0t = 0Ax t+ 0t = tA)tcos(Ax0 oX用旋转矢量表示相位关系用旋转矢量表示相位关系x1A2A x1A2A x1A2A 同相同相反相反相)tcos(a)tcos(Aam 002)tcos(Ax0 )2cos()sin(00 ttAm谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系

6、谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系toTa xax, T/4T/4 )2cos( tmx)2cos( tA)cos( taamx)cos(2 tA由图可见：由图可见：2 超超前前a2 x超超前前x t+ o Am ma 090090单摆单摆0222 dtd结论结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。单摆的小角度摆动振动是简谐振动。角频率角频率, ,振动的周期分别为：振动的周期分别为：glTlg 220 当当 时时 sin sinmglM 四、简谐振动的实例四、简谐振动的实例gmfTCO mgldtdml 22摆球对摆球对C点的力矩点的力矩 mglM l/g 2 复摆复摆：绕不过质心的水平固

7、定轴转动的刚体：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体0222 dtd结论结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。复摆的小角度摆动振动是简谐振动。 sin当当 时时gmhCO22dtdJmgh Jmgh 2 解以铅直线解以铅直线OO为参考轴线，当杆为参考轴线，当杆在某一时刻处于角坐标在某一时刻处于角坐标(很小很小)处时，处时，重力重力mg对对O轴的力矩为轴的力矩为1sin22lMmgmgl 例例8-3如图如图8-7所示，长为所示，长为l，质量为，质量为m的均质细杆一端悬挂在水平轴的均质细杆一端悬挂在水平轴O上，杆上，杆可在竖直面内自由摆动，当摆幅很小时，可在竖直面内自由摆动，当摆幅很小时，证明杆的运动

8、为简谐振动，并求其周期证明杆的运动为简谐振动，并求其周期. 式中负号表示力矩与角坐标反向式中负号表示力矩与角坐标反向.22mglJ22222ddmglMJdtdtJ 若令若令 ，则上式可改写为，则上式可改写为2220ddt 因此，当杆在竖直面内作小角度摆动时，杆的运动因此，当杆在竖直面内作小角度摆动时，杆的运动是简谐振动，其周期为是简谐振动，其周期为222JTmgl2223lTg213Jml以弹簧振子为例以弹簧振子为例谐振动系统的能量谐振动系统的能量=系统的系统的动能动能Ek+系统的系统的势能势能Ep某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为位移为x)sin(0 tA)tcos(A

9、x0 221 mEk )t(sinkA02221 221kxEp )t(coskA02221 谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数五五 简谐振动的能量简谐振动的能量动动能能221 mEk )t(sinkA02221 势势能能221kxEp )t(coskA02221 情况同动能。情况同动能。pppEEE,minmax0min kE2max21kAEk 机械能机械能221kAEEEpk 简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒xtTEEpoEtEk由起始能量求振幅由起始能量求振幅kEkEA022 221kAE 一、同方向、同频率谐振动的合成一、同方向、同频

10、率谐振动的合成合振动是简谐振动合振动是简谐振动, , 其频率仍为其频率仍为 )cos(212212221 AAAAA112201122sinsintancoscosAAAA)cos()(111 tAtx)cos()(222 tAtx)cos(21 tAxxxx质点同时参与同方向同频率质点同时参与同方向同频率的谐振动的谐振动 : :合振动合振动 : :8-2 简谐振动的合成简谐振动的合成2A1AA1 2 1x2xx1M2MM如如 A1=A2 , , 则则 A=0, 2 , 1 , 0212 kk 两分振动相互加强两分振动相互加强21AAA , 2 , 1 , 0)12(12 kk 两分振动相互减

11、弱两分振动相互减弱21AAA 分析分析若两分振动同相：若两分振动同相：若两分振动反相若两分振动反相: :)cos(212212221 AAAAA例例8-5已知两个同方向同频率简谐振动的振动方已知两个同方向同频率简谐振动的振动方程分别为程分别为1230.05cos(10)()510.06cos(10)()5xtmxtm(1) 求其合振动的振幅及初相位；求其合振动的振幅及初相位；(2) 设另一同方向同频率简谐振动的振动方程为设另一同方向同频率简谐振动的振动方程为 ，问，问 为何值时为何值时x1x3的振的振幅最大？幅最大？ 为何值时为何值时x1x3的振幅最小？的振幅最小？330.07 cos(10)

12、 ()xtm33解解(1) 由题意知由题意知 将上述各值代入将上述各值代入(8-12)式，得合振动的振幅式，得合振动的振幅1122310.05 ,0.06,55AmAm221212212222cos()20.050.0620.050.06cos()58.92 10()AAAA Am合振动的初相位为合振动的初相位为 11221122sinsinarctancoscos30.05sin0.06sin55arctan30.05cos0.06cos55681224812AAAA或24812位于第三象限不合题意，故知合振动的初位于第三象限不合题意，故知合振动的初相位相位6812. 当当 时，时，(x1x

13、3)的振幅最的振幅最大，得大，得 313325k 332(0,1,2,)5kk当当 时，时，(x2x3)的振的振幅最大，得幅最大，得 3131(21)5k 3(21)(0,1,2,)5kk合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动式中式中tAtA22cos2)(12 随随t 缓变缓变tt22cos2cos12 随随t 快变快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动合振动可看作振幅缓变的简谐振动二二. . 同方向不同频率简谐振动的合成同方向不同频率简谐振动的合成分振动分振动tAtAx1112coscos tAtAx2222coscos 合振动合振动ttAx22cos22cos21212 21xxx 当当 时时

14、, ,ttAx 2cos)( 则则：1212 12 拍拍 合振动忽强忽弱的现象合振动忽强忽弱的现象拍频拍频 : : 单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数 =| 2- 1| xt tx2t tx1t t12 拍拍122 T或或：三、两个相互垂直的简谐振动的合成：同频率三、两个相互垂直的简谐振动的合成：同频率合振动合振动)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx分振动分振动)cos(11 tAx)cos(22 tAy0(1)12 0221 )AyAx(xAAy12 合振动的轨迹为通过原点且合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线在第一、第三象限内的直线1

15、2AA斜斜率率质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移讨论讨论yx)tcos(AAyxS 222122)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx 12(2)0221 )AyAx(xAAy12 合振动的轨迹为通过原点且合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线在第二、第四象限内的直线12AA 斜斜率率质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移yx)tcos(AAyxS 222122)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx2(3)12 12212 AyAx合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴轴为轴线的椭圆为轴线的椭圆)cos(

16、11 tAx质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。yx)2cos(11 tAy)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAxyx2(4)12 合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴轴为轴线的椭圆为轴线的椭圆)cos(11 tAx质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。)2cos(11 tAy)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 = 0 = = /2 = 3 /4Q = /4P .0 时，逆时针方向转动。时，逆时针方向转动。 0时，顺时针方向转动。

17、时，顺时针方向转动。三、两个相互垂直的简谐振动的合成：不同频率三、两个相互垂直的简谐振动的合成：不同频率可看作两频率相等而可看作两频率相等而 2- 1随随t 缓慢变化合运动缓慢变化合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。轨迹将按上页图依次缓慢变化。 轨迹称为轨迹称为李萨如图形李萨如图形yxA1A2o o- -A2- -A1简谐振动的合成简谐振动的合成)()(xyxyt 4023 xyyx,:两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小两振动的频率成两振动的频率成整数比整数比李萨如图形李萨如图形21:31:32 :一、一、 阻尼振动阻尼振动阻阻尼尼振振动动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。能量随时

18、间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。摩擦阻尼：摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。作用，系统的动能转化为热能。辐射阻尼：辐射阻尼：振动以波的形式向外传播振动以波的形式向外传播，使振动能量使振动能量向周围辐射出去。向周围辐射出去。8-3 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振阻尼振动的振动方程阻尼振动的振动方程（系统受到弱介质阻力而衰减）（系统受到弱介质阻力而衰减）振子动力学方程振子动力学方程22dtxdmdtdxkx 振子受阻力振子受阻力dtdxF 022022 xdtdxdtxd mk 0 系统固有角频率系统固有角频率

19、m2 阻尼系数阻尼系数弱介质阻力是指振子运动速度较低时，弱介质阻力是指振子运动速度较低时，介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比 阻力系数阻力系数t弱阻尼弱阻尼)(tx弱阻尼弱阻尼 每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，周期越接近于谐振动。周期越接近于谐振动。0 )cos(0 teAxt220 0220222 T阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的准周期阻尼振动的准周期临界阻尼临界阻尼t)(tx临界阻尼临界阻尼系统不作往复运动，而是较快地系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来回到平衡

20、位置并停下来0 过阻尼过阻尼t)(tx过阻尼过阻尼系统不作往复运动，而是非常缓系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置慢地回到平衡位置0 二、二、 受迫振动受迫振动受迫振动受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动。振动系统在周期性外力作用下的振动。弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程ptHtddxkxtdxdmcos22 tphxtddxtdxdcos22022 令令0,2kHhmmm周期性外力周期性外力策动力策动力ptcosFF0 稳定解稳定解)ptcos(Ax (1)频率频率: : 等于策动力的频率等于策动力的频率 (2)振幅振

21、幅: :2/12222204)(pphA (3)初相初相: :2202tanpp 特点特点: :稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化)cos()(cos0 ptAteAxt阻尼振动阻尼振动简谐振动简谐振动三、三、共振共振在一定条件下在一定条件下, , 振幅出现极大值振幅出现极大值, , 振动剧烈的现象。振动剧烈的现象。1 1、位移共振、位移共振(1)共振频率共振频率 : :2202 p(2)共振振幅共振振幅 : :2202 hA*8-4、振动的分解、振动的分解振动的分解振动的分解：把一个振动分解为若干个简谐振动。：把一个振动分解为若干个简谐振动。谐振分析谐振分析：将任一周期性振动分解为各个谐振动之和。：将任一周期性振动分解为各个谐振动之和。若周期振动的频率为若周期振动的频率为 : : 0则各分振动的频率为则各分振动的频率为: : 0、2 0、3 0( (基频基频 , , 二次谐频二次谐频 , , 三次谐频三次谐频 , ) , )按傅里叶级数展开按傅里叶级数展开)()(tfTtf 10cos2)(nnnt