定义域和值域的逆向问题

1、定义域和值域的逆向问题定义域和值域的逆向问题，是数学中的常见问题， 解决好此类问题，可以锻炼同学们的逆向思维能力,因此要重视此类问题的解决。一、已知定义域求值域例 1 1 求定义域在】-1-1, 1 1 上的函数y = b 0)的值域。a bx2a解：函数式变形为 y y = = -1-1，显然 y y 工-1-1a bx由原函数表达式可得x二a(y1)。b(y+1)又 一1乞x乞1，得 一1乞a(y一1) 1,b(y+1)解得口厂空口 ,a b a -b即此函数的值域为 电迪，卫。La b a -b注：此法是把函数式视为关于 x x 的方程，解出 x x，再运用已知的定义域，解关于 y y

2、的不等式求得值域。二、已知值域求定义域2x _1例 2 2 已知函数y二的值域是y | y乞0或y - 3，求此函数的定义域。x -12x 11解：由么乞0，解得丄x 0(2 2 )当a21式0时，有222解不等式组得1ca兰9。也=(a1)24(a21)0-a + 1综上知，当xR时，使得f (x)有意义的 a a 的取值范围是1 1, 9 9。注：此问题转化为不等式恒成立问题，但要注意二次函数的二次项系数为字母时的分类讨论。四、已知值域求解参数问题2x2+ ax +b例 4 4 已知函数 y=y=-2 2-的值域为1 1, 3 3，求 a a、b b 的值。x +12解：由题意知X R，把

3、原函数变形为(y - 2)x - ax y - b =0当y -2 =0时，满足题意当y -2 =0时，因x R，所以=a24(y - 2)(y - b) _ 0，即4y24(b 2)y 8b a2空0。 因1乞y乞3,所以 1 1 和 3 3 是方程4y2- 4(b 2)y 8b - a2= 0的两个实根，由韦达定理解得a = 2,b =2。注：解决此问题的关键在于把求值域的问题和解一元二次不等式的问题联系起来，最后通过比较同解 不等式的系数，列方程求出参数的值。五、已知定义域和值域求解参数问题例 5 5 已知二次函数f(x) = ax2bx c(- 0)满足条件f (-x 5) = f(x

4、-3),f(2)=0，且方程f (x)二x有两个相等实根。问是否存在实数m、n(m：n)，使得f (x)的定义域为m m, n n时，值域为3m3m，3n3n。如果存在，求出 m m、n n 的值；如果不存在，请说明理由。解：因f(-x 5) = f(x -3)，所以函数f (x)的图象的对称轴为直线x=5 3=1=1，可得- =1=122a由f(2) =0,得4a 2b 0因方程f(x)=x有两个相等实根，即ax2(b-1)x，c = 0有相等实根，所以厶=(b - 1)2-4ac = 01将代入，得c =0。由知，b=1b=1，所以a二-1。212121 1贝Hf(x)_x x-(xT)-

5、一 ,2 2 2 211所以3n J，即nJ。26f (x)在m m, n n上单调递增，假设存在满足条件的m m、n n,则 1 2f (m) = m = 3m212f (n) n n = 3nI 2m = 0或一4 n =0或-4又m：n，贝Um=-4m=-4， n=0n=0，即存在 m=-4m=-4， n=0n=0 满足条件。6注：解决定义域和值域共存问题时，不要盲目进行分类讨论，而应从条件出发，分析和探讨出解决问 题的途径，确定函数的单调性，从而使问题得以解决。答案:1.1.y(0,5(提示：52=一1)2+1，而I)+心，另外，原函数变形为2yx2- 4yx，3y-5=0，因R,所以，:=(4y)2-4 2y(3y -5) _0,即y2- 5y _ 0,0 _ y _ 5且y = 0)2y I y R且y丰.3272(提示：y=-，而_0，所以y_ )33(3x2)3(3x 2)3练一练：求下列函数的值域:51 1y2:y2x2-4x 33x -2:y = x 2 1 - x 2。2.2. 求函数y = xx(x _ 0)的最大值。122(x -1)1,可得0 :522(x-1)y(- - ,4（提示：因y二_C.1 _x _1）24，所以y（-:：,4。另外，令t-.、1 -x（t _0），则x =1 -12,所以y - -t2