第3章 非平稳时间序列确定性分析

1、第三章第三章 确定性时序分析确定性时序分析本章结构 时间序列的分解 确定性时序分析的目的 趋势分析 季节效应分析3.1 时间序列的分解一个时间序列往往是以下几类变化形式的叠加或耦合：长期趋势变动（T）季节变动（S） 循环变动（C） 随机变动（I） 常见的确定性时间序列模型：() 混合模型tttttxT SCI . .tttttxT S C I.ttttxT SI.tttttxST C I() 加法模型() 乘法模型3.2 确定性时序分析的目的 克服其它因素的影响，单纯测度出某一个确定性因素对序列的影响 推断出各种确定性因素彼此之间的相互作用关系及它们对序列的综合影响3.3 趋势分析 目的有些时

2、间序列具有非常显著的趋势，我们分析的目的就是要找到序列中的这种趋势，并利用这种趋势对序列的发展作出合理的预测 常用方法 趋势拟合法 平滑法趋势拟合法 趋势拟合法就是把时间作为自变量，相应的序列观察值作为因变量，建立序列值随时间变化的回归模型的方法 分类 线性拟合 非线性拟合线性拟合 使用场合长期趋势呈现出线形特征 模型结构)(, 0)(ttttIVarIEIbtax例:拟合澳大利亚政府19811990年每季度的消费支出序列 线性拟合 模型 参数估计方法 最小二乘估计 参数估计值2)(, 0)(40,2 , 1,ttttIVarIEtIbtax12.89,69.8498ba拟合效果图非线性拟合

3、使用场合长期趋势呈现出非线形特征 参数估计指导思想能转换成线性模型的都转换成线性模型，用线性最小二乘法进行参数估计实在不能转换成线性的，就用迭代法进行参数估计 常用非线性模型二次曲线： 指数曲线： 修正指数曲线： Gompertz（龚帕兹）曲线： Logistic（逻辑斯谛）曲线： 2tyabtcta bttyettykabexpexp() ( ,0,)tyt /1exp()( ,0,)tyt 例： 对上海证券交易所每月末上证指数序列进行模型拟合 非线性拟合 模型 变换 参数估计方法 线性最小二乘估计 拟合模型口径2ctbtaTt22tt 20952. 02517.502tTt拟合效果图平滑法

4、 平滑法是进行趋势分析和预测时常用的一种方法。它是利用修匀技术，削弱短期随机波动对序列的影响，使序列平滑化，从而显示出长期趋势变化的规律 常用平滑方法 移动平均法 指数平滑法移动平均法 基本思想假定在一个比较短的时间间隔里，序列值之间的差异主要是由随机波动造成的。根据这种假定，我们可以用一定时间间隔内的平均值作为某一期的估计值 分类 n期中心移动平均 n期移动平均n期中心移动平均为偶数，为奇数，nxxxxxnnxxxxxnxntnttntntntnttntntt)2121(1)(12121222112112121tx2tx1tx1tx2tx52112ttttttxxxxxx5期中心移动平均4期

5、中心移动平均21120.50.54ttttttxxxxxx周周发货量发货量三期中三期中心移动心移动平均平均中心化中心化1 117.217.2 2 2202018.23 18.23 3 317.517.517.97 17.97 18.04 18.04 4 416.416.417.73 17.73 17.91 17.91 5 519.319.317.53 17.53 18.03 18.03 6 616.916.919.23 19.23 18.91 18.91 7 721.521.519.30 19.30 19.54 19.54 8 819.519.520.73 20.73 19.84 19.84

6、9 921.221.219.37 19.37 19.81 19.81 101017.417.419.80 19.80 19.43 19.43 111120.820.818.43 18.43 121217.117.1 17.78 17.78 18.30 18.30 17.53 17.53 18.53 18.53 19.30 19.30 19.78 19.78 19.90 19.90 19.73 19.73 19.13 19.13 四期移四期移动平均动平均中中心心移移动动平平均均示示意意图图某海鲜批发市场发货量 (吨）n期移动平均tx1tx2tx3tx4tx51234ttttttxxxxxx)(1

7、11nttttxxxnx4期移动平均3214tttttxxxxx5期移动平均移动平均预测)(121nlTlTlTlTxxxnxilxilxxilTilTilT,中心移动平均常用来求趋势，移动平均常用来进行预测移动平均期数确定的原则 事件的发展有无周期性以周期长度作为移动平均的间隔长度 ，以消除周期效应的影响 对趋势平滑的要求 移动平均的期数越多，拟合趋势越平滑 对趋势反映近期变化敏感程度的要求 移动平均的期数越少，拟合趋势越敏感 最小均方误原则均方误差（均方误差（MSEMSE）均方误差（MSE）是常用的预测精度的测度值，它是预测误差平方和的平均数，用公式表示如下： 预测误差的平方和均方误差(M

8、SE)=预测误差的个数周周发货量发货量期移动平均期移动平均期移动平均期移动平均预测值预测值预测误差预测误差误差平方误差平方预测值预测值预测误差预测误差误差平方误差平方117.2220.0317.5416.418.23 -1.83 3.36519.317.97 1.33 1.78616.917.73 -0.83 0.6918.08 -1.18 1.39 721.517.53 3.97 15.7318.02 3.48 12.11 819.519.23 0.27 0.0718.32 1.18 1.39 921.219.30 1.90 3.6118.72 2.48 6.15 1017.420.73 -

9、3.33 11.1119.68 -2.28 5.20 1120.819.37 1.43 2.0519.30 1.50 2.25 1217.119.80 -2.707.2920.08 -2.988.8813 18.43 合计合计45.6919.20合计合计37.37某海鲜批发市场发货量移动平均预测结果 单位：吨对于上例：35.0845.69期移动平均的均方误差(MSE)=955.3437.37期移动平均的均方误差(MSE)=7因此，三次移动平均预测要优于五次移动平均预测。例 某一观察值序列最后4期的观察值为：5，5.5，5.8，6.2（1）使用4期移动平均法预测 。（2）求在二期预测值 中 前面

10、的系数等于多少？2Tx2TxTx例解（1）（2） 在二期预测值中 前面的系数等于 45. 548 . 54 . 556 . 5416 . 542 . 68 . 54 . 554121123211TTTTTTTTTTxxxxxxxxxx321212212112161165414141TTTTTTTTTTTTTTTTxxxxxxxxxxxxxxxxTx165指数平滑法 指数平滑方法的基本思想在实际生活中，我们会发现对大多数随机事件而言，一般都是近期的结果对现在的影响会大些，远期的结果对现在的影响会小些。为了更好地反映这种影响作用，我们将考虑到时间间隔对事件发展的影响，各期权重随时间间隔的增大而呈指

11、数衰减。这就是指数平滑法的基本思想 分类 简单指数平滑 Holt两参数指数平滑简单指数平滑 适用于序列值在一个常数均值上下随机波动的情况，基本公式： 等价公式10 )1 ()1 (221，ttttxxxx10 ,)1 (1tttxxx经验确定 初始值的确定 平滑系数的确定 表示表示“新信息新信息”的权重的权重一般对于变化缓慢的序列， 常取较小的值对于变化迅速的序列， 常取较大的值最小均方误原则10 xx 简单指数平滑预测 一期预测值 二期预测值 期预测值l2211)1 ()1 (TTTTTxxxxx1111212)1 ()1 ()1 (TTTTTTTxxxxxxx2,1lxxTlT周周发货量发

12、货量. .7.7预测值预测值预测误差预测误差误差平方误差平方预测值预测值预测误差预测误差误差平方误差平方1 117.217.22 220.020.017.2017.202.802.807.847.8417.2017.202.802.807.847.843 317.517.518.0418.04-0.54-0.540.290.2919.1619.16-1.66-1.662.762.764 416.416.417.8817.88-1.48-1.482.182.1818.0018.00-1.60-1.602.552.555 519.319.317.4317.431.871.873.483.4816.

13、8816.882.422.425.865.866 616.916.917.9917.99-1.09-1.091.201.2018.5718.57-1.67-1.672.802.807 721.521.517.6717.673.833.8314.7014.7017.4017.404.104.1016.7916.798 819.519.518.8218.820.680.680.470.4720.2720.27-0.77-0.770.590.599 921.221.219.0219.022.182.184.754.7519.7319.731.471.472.162.16101017.417.419.

14、6719.67-2.27-2.275.185.1820.7620.76-3.36-3.3611.2911.29111120.820.818.9918.991.811.813.273.2718.4118.412.392.395.725.72121217.117.119.5319.53-2.43-2.435.935.9320.0820.08-2.98-2.988.898.891313 18.8018.80合计合计49.2949.29 17.9917.99 合计合计67.2567.25 例例 某海鲜批发市场发货量指数平滑预测结果某海鲜批发市场发货量指数平滑预测结果 单位：吨单位：吨0.34.4849

15、.29指数平滑预测的均方误差=110.76.1167.25指数平滑预测的均方误差=11可见平滑系数为0.3的预测要优于平滑系数0.7的预测。 例 对某一观察值序列 使用指数平滑法。 已知 ， ，平滑系数 (1) 求二期预测值 。 (2)求在二期预测值 中 前面的系数等于多少？ tx10Tx5 .101Tx25. 02Tx2TxTx解（1）（2） 所以使用简单指数平滑法二期预测值中 前面的系数就等于平滑系数3 .103 .1075. 025. 01211TTTTTTxxxxxx112)1 (TTTTxxxxTx25. 011(1)(1)ttttttxxxxxx2()1T lTTTTxxxxx l

16、二次指数平滑适用于有线性趋势的序列,公式:预测公式例：对北京市19782000年报纸发行量进行二次指数平滑Holt两参数指数平滑 使用场合适用于对含有线性趋势的序列进行修匀 构造思想假定序列有一个比较固定的线性趋势 两参数修匀rxxtt11111)1 ()()(1 (ttttttttrxxrrxxx初始值的确定 平滑序列的初始值 趋势序列的初始值10 xx nxxrn110Holt两参数指数平滑预测 期预测值lTTlTrlxx例5 对北京市19782000年报纸发行量序列进行Holt两参数指数平滑。指定5125910 xx4325231230 xxr15. 01 . 0例5平滑效果图3.4 季

17、节变动测定 测定季节变动主要是计算季节指数，季节指数刻画了现象在一个年度内各季（月）的变化特征。某时期的季节指数高，说明该期为“旺季”，反之则为“淡季”。 案例：大华公司生产的一种新型乳制品（A产品）售量呈逐年增长的趋势。同时，这也是一种时令性很强的饮品。历年各季度的销售数额如下图：大华公司大华公司A产品销量时间序列产品销量时间序列 季节指数的理解 季节指数反映了该季度与总平均值之间的一种比较稳定的关系 如果这个比值大于1，就说明该季度的值常常会高于总平均值 如果这个比值小于1，就说明该季度的值常常低于总平均值 如果序列的季节指数都近似等于1，那就说明该序列没有明显的季节效应 移动平均比率法

18、第一步，对原始序列进行移动平均，移动平均的期数应为季节变动的周期。第二步，对移动平均列进行中心化移动平均处理，将移动平均列的值与原始列相应的值对齐。第三步，计算原始列数值与中心化移动平均列对应值的比率。第四步，根据上面求出的所有比率值，计算季节指数。移动平均比率法的具体步骤：【例例】 计算大华公司A产品销量时间序列的季节指数，数据见表。 大华公司大华公司A产品销量时间序列季节指数计算表产品销量时间序列季节指数计算表 上表中不同年份同一季度的季节比率很接近但并不相等，这是由于季节比率中还包含有不规则变动的影响。为了将不规则变动从季节比率中剔除，可以采用算术平均的方法，求出的每个季度季节比率的均值

19、，即季节指数。年份季度1234200120022003200420050.7170.7250.7260.8061.0381.0921.0570.9701.3711.4041.3501.2750.8990.8270.8250.942季节指数0.7441.0391.3500.873大华公司大华公司A产品销量时间序列季节指数计算表产品销量时间序列季节指数计算表 上面计算的季节指数的平均数不等于1，需要对其进行调整。调整的方法是用每个季节指数除以所有季节指数的平均数。0.744=0.7420.744 1.039 1.350 0.8734第一季度季节指数1.039=1.0380.744 1.039 1.

20、350 0.8734第二季度季节指数1.350=1.3480.744 1.039 1.350 0.8734第三季度季节指数0.873=0.8720.744 1.039 1.350 0.8734第四季度季节指数 将季节指数绘制成图形可以清楚反映出乳制品销售量的季节变动情形，如图第3季度为该产品的销售旺季，第1、4季度为该产品的销售淡季。 大华公司大华公司A产品销售量时间序列季节指数变化图产品销售量时间序列季节指数变化图 首先，利用长期趋势预测预测现象未来“应该”达到一个什么水平；然后，利用季节指数对不同季节的趋势预测值进行调整。【例例】在上例的基础上，对大华公司A产品2006年各季度的销量进行预测。解：解：第一步，在原始序列中剔除季节变动。将原序列中的各数值分别除以相应的季节指数，即原序列中分离出了季节变动。含季节变动时间序列的预测综合分析 下图为剔除季节变动后的序列与原始序列的对比。 剔除季节变动的剔除季节变动的A产品销售时间序列图产品销售时间序列图 第二步，对剔除季节变动的序列拟合趋势方程并进行预测。对剔除季节变动的序列建立线性趋势方程：3.290.19tTt对2006年四个季度的趋势值进行预测。 上述预测值是不含季节变动的预测值，最终的预测值还应将上述预测值乘以相应季度的季节指数。 A产品来年四个季度销售量预测图产品来年四个季度销售量预测图 3参数参数