多元函数微分法及其应用

1、精选优质文档-倾情为你奉上目前，获得人们的偏好、支付意愿或接受赔偿的意愿的途径主要有以下三类：从直接受到影响的物品的相关市场信息中获得；从其他事物中所蕴含的有关信息间接获得；通过直接调查个人的支付意愿或接受赔偿的意愿获得。（四）安全预评价内容环境，是指影响人类生存和发展的各种天然的和经过人工改造的自然因素的总体。表二：项目地理位置示意图和平面布置示意图；1.环境的概念（1）规划和建设项目环境影响评价。（五）规划环境影响评价的跟踪评价环境影响的经济损益分析，也称环境影响的经济评价，即估算某一项目、规划或政策所引起的环境影响的经济价值，并将环境影响的经济价值纳入项目、规划或政策的经济费用效益分析中

2、去，以判断这些环境影响对该项目：规划或政策的可行性会产生多大的影响。对负面的环境影响估算出的是环境费用，对正面的环境影响估算出的是环境效益。（二）安全评价的基本原则（1）规划和建设项目环境影响评价。第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念2、多元函数的极限 （或）的定义 掌握判定多元函数极限不存在的方法：（1）令沿趋向，若极限值与k有关，则可断言函数极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，若存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼

3、法则等）与一元类似：例1用定义证明例2（03年期末考试 三、1，5分）当时，函数的极限是否存在？证明你的结论。例3 设，讨论是否存在？例4（07年期末考试 一、2，3分）设，讨论是否存在？例5求3、多元函数的连续性 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”例1 讨论函数在（0，0）处的连续性。例2 （06年期末考试 十一，4分）试证在点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。例3求 例44、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数1、 二元函数关于的一阶偏导数的定义（二元以上类

4、似定义）如果极限存在，则有（相当于把y看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）如果极限存在，则有对于分段函数，在分界点的偏导数要用定义求。例1（08年期末考试 一、3，4分）已知，则 例2 （06年期末考试 十一，4分）试证在点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。例3 设，求。例4 设，求。 例5（03年期末考试，一、2，3分） 设，则在(1,2)的值为（ ）。2、 二元函数关于的高阶偏导数（二元以上类似定义）, 定理：若两个混合二阶偏导数在区域D内连续，则有。例1设，其中为常数，求：。例2设，求。3、在点偏导数存在在点连续（07年，04年，02年等）4、偏导数的几何意义：表示曲线在点

5、处的切线与x轴正向的夹角。三、全微分1、在点可微分的判定方法若，则可判定在点可微分。其中例1（08年期末考试 十二、6分）证明函数在（0，0）处可微，但偏导数在（0，0）处不连续。例2 （07年期末考试 七、6分），证明：（1）函数在（0，0）处偏导数存在；（2）函数在（0，0）处不可微。2、全微分的计算方法若在可微，则有其中的求法可以结合复合函数或者隐函数求导。例1（08年期末考试，一，1，4分） 设，则 例2（07，04年期末考试，二，1，3分）设求。例3 （06年期末考试，二、2，3分）设，则 例4 （03年期末考试，二、2，3分）函数在点(1,0,1)处的全微分为 例5设，求函数：对变

6、量的全微分。3、多元函数的全微分与连续，可偏导之间的关系（07年，04年，02年等） 一阶偏导数在连续在可微 在连续在有极限 在可微在的一阶偏导数存在 在可微在的方向导数存在四、多元复合函数求导法则1、链式求导法则：变量树状图 法则(1) 专心-专注-专业(2) zuxyxy(3) 例1 （08年期末考试，七，7分）设，具有连续二阶偏导数，求。例2 （08年期末考试，十一，6分）设是由方程所确定的函数，其中可导，求。例3 （07年期末考试，八，7分）设，具有连续二阶偏导数，求。例4 （06年期末考试，一、1，3分）设，可导，则（ ）。例5 （04年期末考试，三、1，8分）设可微，方程，其中确定

7、了是的二元可微隐函数，试证明。例6 （03年期末考试，三、2，5分）设具有连续偏导数，证明方程所确定的函数满足。例7 记，具有连续二阶偏导数，求，。例8 设，而，求和。例9 设，而，则。例10 设，又具有连续的二阶偏导数，求。2一阶全微分形式不变性：设，则不管是自变量还是中间变量，都有 通过全微分求所有的一阶偏导数，有时比链式求导法则显得灵活。 当复合函数中复合的层次较多，结构较为复杂时，用一阶全微分形式不变性求出一阶偏导数或者全导数比较方便。例1设其中都可微，求。五、隐函数的求导法则1、，求 方法1（直接代公式）：，其中：，相当于把F看成自变量x，y的函数而对x求偏导数。 方法2：直接对方程

8、两边同时关于x求偏导（记住）：2，求方法1（直接代公式）：方法2：直接对方程两边同时关于x（y）求偏导（记住）：，3建议采用直接推导法：即方程两边同时关于x求偏导，通过解关于未知数的二元方程组，得到。同理可求得。例1设，其中是由确定的隐函数，求。例2设有隐函数，其中F的偏导数连续，求。例3（04年期末考试，三、1，8分）设可微，方程，其中确定了是的二元可微隐函数，试证明六、多元函数微分学的几何应用1、空间曲线的切线与法平面方程（三种形式）参数形式，两柱面交线，两曲面交线切线向量切线向量 切线向量3、 曲面的切平面与法线方程（两种形式）隐函数，显示函数法线向量法线向量，规定法向量的方向是向上的，

9、即使得它与z轴的正向所成的角是锐角，在法向量的方向余弦为：例1（08年期末考试，一、2，4分）曲线在点(a,0,0)的切线方程 例2（08年期末考试，十、7分）在曲面上求出切平面，使得切平面与平面平行。例3（07年期末考试，二、5，3分）曲面在点(1,2,0)处的法线方程。例4（07年期末考试，十、8分）在第一卦限内作椭圆的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。例5（06年期末考试，二、3，3分）曲面在点(0,a,-a)处的切平面方程。例6（04年期末考试，三、3，7分）在球面上求一点，使得过该点的切平面与已知平面平行。例7. 在曲线，上求点，使该点处曲线的切线

10、平行平面。例8设具有一阶连续偏导数，且，对任意实数有，试证明曲面上任意一点处的法线与直线相垂直。例9 由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点（0，）处指向外侧的单位法向量，七、方向导数与梯度1、方向导数的概念和计算公式在沿方向的方向导数为： 设为上一点，则 设的方向余弦为：，则可微方向导数存在，但方向导数存在与偏导数存在之间没有确定的关系2、梯度的概念和计算公式 在沿什么方向的方向导数最大？沿梯度方向的方向导数最大，最大值为梯度的模例1求函数在点沿曲线在点 处的切线方向的方向导数。例2求函数在点（2，1）沿方向的方向导数例3设函数，（1）求出f在点P（2，0）处沿P到Q（1/2，2）方向的变化率；（2）f在P（2，0）沿什么方向具有最大的增长率，最大增长率为多少？ 例4 （08年期末考试，一、4，4分）函数在点处沿从到点方向的方向导数。例5（07年期末考试，二、4，3分）函数在点处沿方向的方向导数。例6（06年期末考试，四、7分）函数在点处的梯度及沿梯度方向的方向导数。八、多元函数的极值及其求法1、掌握极值的必要条件、充分条件2、掌握求极值的一般步骤3、掌握求条件极值的一般方法拉格朗日乘数法例1求函数的极值。例2（04年期末考试，三、3，6分）设长方体过同一顶点的三条棱长之和为3a，问这三条棱长各取什么值时，长方体的表面积最大？例3 求旋转抛物面与平面之间的最短距离。