电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理

1、 电磁场与电磁波电磁场与电磁波主讲教师：黄文主讲教师：黄文 重庆邮电大学重庆邮电大学 光电工程学院光电工程学院 电磁场与无线技术教学部电磁场与无线技术教学部 Email: 办公室：老办公室：老1教教1403 复习复习21. 坐标系间的转换坐标系间的转换2. 矢量函数的积分矢量函数的积分3Main topic1. 标量场的梯度标量场的梯度 2. 矢量场的散度矢量场的散度3. 散度定理散度定理41. 标量场的梯度标量场的梯度介绍在给定时间情况下描述介绍在给定时间情况下描述标量场的空间变化率标量场的空间变化率的方法。的方法。因为在不同方向上变化率可因为在不同方向上变化率可能不同，所以需要一个能不同，

2、所以需要一个矢量矢量来定义给定点和给定时间上来定义给定点和给定时间上标量场的变化率。标量场的变化率。0( , , )(, , )( , , )limxf x y zf xx y zf x y zxx 0( , , )( , )( , , )limyf x y zf x yy zf x y zyy 220( , , )(,)( , )limlf x y zlff xx yyf x ylxyll 标量场延 方向的方向导数表示f沿该方向的变化率，二维2220(,)( , , )limcoscoscoslff xx yy zzf x y zlxyzllfffflxyz ，三维数学上可以证明（三维）5x

3、yxyPQ方向导数方向导数标量场在某点的标量场在某点的方向导数方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的表示标量场自该点沿某一方向上的变化率变化率。04qVR6PQ2Q1Q2l1lnl1) 方向导数方向导数dv/dl0222(,)( , , )limlff xx yy zzf x y zlllxyz ，三维2) 梯度梯度 (dv/dn)an标量的梯度标量的梯度定义为一定义为一矢量矢量，其大小为标量的，其大小为标量的空间最大变化率空间最大变化率，其方，其方向为向为标量增加率最大的方向标量增加率最大的方向。cosnlldVdV dndVdldn dldnVaaV an 7记为记为ndVGradVadn

4、Pl ncosdndl习惯记为：习惯记为：ndVVadn沿沿dl 的方向导数是的方向导数是表明表明V在在al 方向上的空间增长率等于方向上的空间增长率等于V的的梯度在梯度在al方向上的方向上的投影投影（分量）。也可以（分量）。也可以写作写作()dVVdl()dVVdl83) 在坐标系中在坐标系中V的梯度的表示的梯度的表示123123123123123123123123112233123123123()()()() ()()uuuuuuuuuuuuuuuVVVdVdldldlllldla dla dla dlahduah duah duVVVdVaaaa dla dla dllllVVVaaad

5、llll123123123112233uuuuuuVVVVaaalllVVVVaaah uh uh u()xyzxyzVVVVaaaxyzaaa Vxyz9在在直角直角坐标系中坐标系中可以很方便地将可以很方便地将直角坐标系直角坐标系中的中的 看做看做矢量微分算子：矢量微分算子：xyzaaaxyz 但在其他坐标系中不能这样定义。但在其他坐标系中不能这样定义。rzffffaaarrz sinRffffaaaRRR 10球坐标系球坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系梯度运算符合以下规则：梯度运算符合以下规则：20()()(/)()/()()CCCFF C C为常数为常数11Example 2-16(P30)1

6、222xyzAaaaxy222xy=x(2)3zzGradffaaafyzy axyzayz a xy33zGradaaa xyxyxy221(33)(33)33zAzzaaaAGradeaaaaaaA 13例例 3 3设标量设标量 =xy=xy2 2+yz+yz3 3, , 矢量矢量试求标量函数试求标量函数 在点（在点（2 2，-1-1，1 1）处）处沿沿矢量矢量A A的方向上的的方向上的方向导数方向导数。解解 已知梯度已知梯度那么，在点（那么，在点（2 2，-1-1，1 1）处）处 的梯度为的梯度为因此，标量函数因此，标量函数 在点（在点（2 2，-1-1，1 1）处沿矢量）处沿矢量A A

7、的方向的方向上的方向导数为上的方向导数为11RR及14例例场点场点 P (x, y, z)y源点源点 P (x,y,z)zxrr()RrrO计算计算解解()()()xyzRxx eyy ezz e222()()()RRxxyyzzxyxzeeeyz xyxzeeeyz 3311111()()()xyzxyzeeeRxRyRzRxx eyy ezz eRRR 31RRR同理可得同理可得152. 矢量场的散度矢量场的散度AB通线通线或或流线流线矢量场矢量场电力线矢量的通量矢量的通量SA dS 0SqE dS16如：如： 真空中的电场强度真空中的电场强度E E通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面通过任

8、一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电荷量包围的自由电荷的电荷量q q与真空介电常数与真空介电常数 0 0之比：之比：高斯定理高斯定理闭合曲面内的电量为闭合曲面内的电量为正正、负负、零零时的通量时的通量根据矢量通过某一闭合面的通量性质可以判断闭合曲面中根据矢量通过某一闭合面的通量性质可以判断闭合曲面中源的源的正负特性正负特性，以及存在与否。，以及存在与否。通量通量仅能仅能表示闭合曲面中源的总量，它表示闭合曲面中源的总量，它不能不能显示源的分布特性，显示源的分布特性，如何如何显示源的特性呢？显示源的特性呢？5C5C5C5C3C3C4C4C-2C-2C171) 散度散度矢量场矢量场A中某点

9、的散度中某点的散度定义为包围该点的体积趋于零时，单位体积内定义为包围该点的体积趋于零时，单位体积内流出的流出的A的的净通量净通量，缩写为，缩写为div A:0limSVA dSdivAv 分子表示流出的净通量，它是对包围该体积的整个表面分子表示流出的净通量，它是对包围该体积的整个表面S的积分。式的积分。式子是对子是对div A的一般定义，它是一个的一般定义，它是一个标量标量，当，当A本身变化时，其大小本身变化时，其大小可能随点的位置而可能随点的位置而变化变化。该定义对任何坐标系都适用，当然。该定义对任何坐标系都适用，当然div A的的表达式取决于所选的坐标系。表达式取决于所选的坐标系。18a

10、source and a sinkSA dS the net outward flow2311 321 231 23123()()()1Auuuh h Ahh Ahh AdivAhh huuu 192)坐标系中散度坐标系中散度A的表示方法的表示方法 直角坐标系直角坐标系AA=yxzAAAdivxyz ()()1AA=()11rzrzArArAdivrrzArAArrrz 2222()(sin )(sin )1AA=sin(sin )()111 =sinsinRRRAA RA RdivRRAAR ARRRR 20柱坐标系柱坐标系球坐标系球坐标系散度运算规则散度运算规则()()()ABABCACA

11、AAA C为常数21Example 2-17(P33)223. 散度定理散度定理前面的章节中将矢量场的散度定义为每单位体积流出的净通量。直观地前面的章节中将矢量场的散度定义为每单位体积流出的净通量。直观地认为认为矢量场的散度的体积积分等于该矢量穿过包围该体积封闭面流出的矢量场的散度的体积积分等于该矢量穿过包围该体积封闭面流出的总通量总通量，即，即 ，VSdivAdVA dS 该恒等式称为该恒等式称为散度定理散度定理。该定理适用于封闭面。该定理适用于封闭面S所围的所围的任何任何体积体积V。ds的的方向总是方向总是外法线方向外法线方向，垂直于表面，垂直于表面ds且方向远离体积。且方向远离体积。23

12、Example 2-19(P35)24RFa kR22222322200,sin()sin4RRR dSa Rd dF dSkR Rd dkR 外表面21122311100,sin()sin4RRR dSa Rd dF dSkR Rd dkR 外表面33214()SF dSk RR 25例例 已知已知 判断判断散度定理散度定理是否适用于图中所示是否适用于图中所示的壳层区域。壳层的封闭面是以原的壳层区域。壳层的封闭面是以原点为中心而半径分别为点为中心而半径分别为R=RR=R1 1和和R=RR=R2 2（R R2 2RR1 1）的两个）的两个球面球面。解解在外表面上：在外表面上：221()3RFR

13、 FkRR33214()VFdvk RR在内表面上：在内表面上：VSdivAdvA dS R R2 2R R1 1（例（例2-20，P35-36）2()11 2rzrzsrrzzrztopzbottomzsiderFrFFFrrrzAa razdsdsaa dsa dsa dsdsard dzadrdzardrddsardrddsardrddsard dz 26Example:example：对矢量函数：对矢量函数在在r=5,z=0,and z=4包围起来的圆柱区，验证散度定理存在，包围起来的圆柱区，验证散度定理存在，2 2rzAa raz5r 0z 4z VSdivAdVA dS 52212

14、0233A dsA dsA dsA dsA ds222 424A ds20A ds24825 5A dsbottombottomtopbottomsidetopsidestoptoptopbottomtopsidesidesz rdrdrrzrdrdr rd dzrr 22424 r 275r0z4z2222453200032 2()111 ()102132323224241200A ds24241200A ds= the drzrzvsvsAa razFrFFFrrrzrrzrrrzrrrFdvrrdrd dzrrrrFdv ivergence therem is testified.28总结总