2019年广州市一模试题及答案(文科数学)

1、2019年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学注意事项：1 .本试卷分第i卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。2 .回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3 .回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷选择题：本大题共12小题，每小题(1)已知集合5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2-x2x(2)(

2、A) X已知复数(B) X其中i为虚数单位,则复数(C) x1 x 2z所对应的点在(D) X 0 X 1(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(3)已知函数(4)设P是(A)3(5)如果函数X,(B)1,则1,ABC所在平面内的一点,1(B)一2的值为(C)(D)2cos(A) 3执行如图所示的程序框图,(B) 6如果输入uuuCPuuu2PA,则4PAB与 PBC的面积之比是2(C)一3(D)0的相邻两个零点之间的距离为的值为(C) 12X 3,则输出k的值为(D)24(6)(A) 6(B) 8(C) 10(D) 12(7)在平面区域x, y 0 x 1, 1 y 2内随

3、机投入一点 P,则点P的坐标 x, y满足y 2x的概率为(A)(B)(C)(D)(8)已知f xsin x 一 ，若 sin612(A)10(B)10(C)J210(D)7.210(9)如果 p, P2,Pn是抛物线C： y2 4x上的点，它们的横坐标依次为F是抛物线C的焦点，若“ X2 LXn 10,则 PFP2F LPnF(A) n 10(B) n 20(C) 2n 10(10) 一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为(D) 2n 201,顶点都在同一个球面上，则该球的体积为(A)(B)20-53(C) 5(D)(11)已知下列四个命题:P1 :若直线l和平面内的无数

4、条直线垂直，则 lp2：若fX2X2X,则XR,fxfx；.-1iP3：若fXX，则X00,fX01;X1p4：在ABC中，若AB,则sinAsinB.其中真命题的个数是(A) 1(B) 2(C) 3(12)如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为(D) 4(A) 8 8及4遍(C) 2 272 提(B) 88>/22庭/c、1126(D)224本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题第24题为选考题，考生根据要求做答.5分.二.填空题：本大题共4小题，每小题(13)函数f x3x 3x的极小值

5、为(14)设实数x ,y满足约束条件2y2y3,0,0,则z2x 3y的取值范围是(15)已知双曲线22C：。* 1a b0,b的左顶点为uuu uuirF ,点 B 0,b，且 BAgBF 0,则双曲线C的离心率为(16)在 ABC中，点D在边AB上，CDBC, AC5邪,CD5, BD 2AD,则 AD 的长.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)已知数列 an是等比数列，a2 4 , a3 2是a2和a的等差中项.(I )求数列an的通项公式;(n)设 bn210g 2 an 1,求数列anbn的前n项和Tn.(18)(本小题满分12分)从某企业生产

6、的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值,由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间55,6565,75 , 75,85内的频率之比为42:1 .(I)求这些产品质量指标值落在区间75,85内的频率;(n )用分层抽样的方法在区间45,75内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取 2件产品，求这件产品都在区间 45,65内的概率.(19)(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCDABiCiDi的底面ABCD是菱形，ACIBDO,A。底面ABCD,ABAAi2.(I)证明：BD平面ACO；(n)若BAD60°,求点C到平面OBB1的距离.(2

7、0)(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A,左焦点为F12,0,点B2,J2在椭圆C上，直线ykxk0与椭圆C交于E,F两点，直线AE,AF分别与y轴交于点M,N.(I)求椭圆C的方程；(n)在x轴上是否存在点P,使得无论非零实数k怎样变化，总有MPN为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.(21)(本小题满分12分)已知函数fxmexlnx1.(i)当m1时，求曲线yfx在点1,f1处的切线方程；(n)当m1时，证明：fx1.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.(22)(本小题满分10分

8、)选修41:几何证明选讲文科数学试题第4页(共19页)如图所示，ABC内接于。O,直线AD与。相切于点A,交BC的延长线于点D,过点D作DEPCA交BA的延长线于点E.(I)求证：DE2AEgBE；(n)若直线EF与。O相切于点F,且EF4,EA2,求线段AC的长.(23)(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin,0,2.(I)求曲线C的直角坐标方程；(n)在曲线C上求一点D,使它到直线l：x肉",(t为参数，tR)的距离最短，并求y3t2出点D的直角坐标.(24)(本小题满

9、分10分)选修45:不等式选讲设函数fxxVa|xJ1a.1(i)当a1时，求不等式fx的解集；2(n)若对任意a0,1,不等式fxb的解集为空集，求实数b的取值范围.2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学试题答案及评分参考评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2,对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 .解答右端所注分数

10、，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 .只给整数分数.选择题不给中间分.一.选择题(1)D(2)D(3)C(4)B(5)B(6)CA(8)B(9)A(10)D(11)B(12)A填空题(13)2(14)6,15(15)1(16)52三.解答题(17)解：(I)设数列an的公比为q,2因为a24,所以a34q,a44q.1分因为a32是a2和a的等差中项，所以2a32a?a4.2分22即24q244q,化简得q2q0.因为公比q0,所以q2.4分所以ana2qn242n22n(nN*).5分(n)因为an2n，所以bn210g2an12n1.所以anbn2n12n.7分贝UTn123225

11、232n32n12n12n,2Tn1223235242n32n2n12n1.9分一得,Tn2nn122n1210分412n12n所以Tn2n312分(18)解：(I)设区间75,85内的频率为x,则区间55,65,65,75内的频率分别为4x和2x.依题意得 0.0040.0120.0190.030104x2xx1,解得x0.05.所以区间75,85内的频率为0.05.(n)由(I)得，区间45,55,55,65,65,75内的频率依次为0.3,0.2,0.1.用分层抽样的方法在区间45,75内抽取一个容量为6的样本,则在区间45,55内应抽取6在区间55,65内应抽取60.30.3 0.2

12、0.10.23件，记为 A, A2, a3.在区间65,75内应抽取60.3 0.2 0.10.12件，记为1件，记为设“从样本中任意抽取则所有的基本事件有:ABAB0.3 0.2 0.12件产品，这2件产品都在区间ACB B2.45,65内”为事件A,CM,AAA2,C , A,B1A,CB1,CB2,C ,共15种.事件M包含的基本事件有:A,A ， A,A3 , A,4A,B2ABABA3,B1A,B2B1,B2 ,共10种.10分、，一、10212分所以这2件产品都在区间45,65内的概率为一一153(19)(I)证明：因为AQ平面ABCD,BD平面ABCD,所以AOBD.1分因为AB

13、CD是菱形，所以COBD.2分因为AOICOO,A1O,CO平面ACO,所以BD平面ACO.3分(n)解法一：因为底面ABCD是菱形，ACIBDO,ABAA12,BAD600,所以OBOD1,OAOC币.4分所以OBC的面积为SOBC1OBOC11J3旦5分222因为AO平面ABCD,AO平面ABCD,所以AOAO,AOJAA12OA21.6分因为AB1P平面ABCD,所以点B到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离AO.7分由(I)得，BD平面AAC.因为AA平面A,AC,所以BDAA.因为AAPB1B,所以BDB1B.8分一一11八所以OBB1的面积为SoBBi-OBBB1121

14、.9分122设点C到平面OBB1的距离为d,因为VCOBB1VB1OBC, 1所以1s 3所以d1GDOBB 1gd 3 SDOBC 9A1O -3_SobC AO1、3S OBB11210分所以点C到平面OBB1的距离为 2因为AACCi,AA/CCi,所以CAACi为平行四边形.又O,Oi分别是AC,AG的中点，所以OAOiC为平行四边形.所以OiCOA1.6分因为平面0Aoic与平面BBiDiD交线为OOi,过点C作CHOOi于H,则CH平面BBiDiD.8分因为OiCPAO,A。平面ABCD,所以OiC平面ABCD.因为OC平面ABCD,所以OiCOC,即OCOi为直角三角形.i0分O

15、iCOCi3'3所以CH.OOi22-，,一3八所以点C到平面OBBi的距离为i2分222(20)(I)解法一：设椭圆C的方程为斗4i(ab0),a2b2因为椭圆的左焦点为Fi2,0,所以a2b24.i分设椭圆的右焦点为F22,0,已知点B2,42在椭圆C上，由椭圆的定义知BFiBF22a,所以2a3我亚4折2分所以a2收，从而b2.3分22所以椭圆C的方程为匕i.4分8422解法二：设椭圆C的方程为勺与1（ab0）,ab因为椭圆的左焦点为F12,0,所以a2b24.1分42因为点B2,72在椭圆C上，所以1.2分ab由解得，a272,b2.3分22所以椭圆C的方程为匕1.4分84）解

16、法一：因为椭圆C的左顶点为A,则点A的坐标为22,0.5分22因为直线ykx（k0）与椭圆y1交于两点E,F,84设点EX0,y0（不妨设X。0）,则点FX0,y0.消去y得x182 .1 2kykx,联立方程组x2y2¥T所以X0,y022L.6分12k212k2所以直线AE的方程为y7kx2&.7分1J2k2因为直线AE与y轴交于点M,人人/曰2/2k2,2k令x0信yj,即点M0,j8分1,12k21.12k2同理可得点N023=.9分1,12k2uuiruuur假设在x轴上存在点P(t,0),使得MPN为直角，则MPNP0.10分日人22、2k2.2k2，八八即t2j

17、0,即t240.11分1.12k21J2k2故存在点P 2,0或P解得t2或t2.2,0，无论非零实数k怎样变化，总有MPN为直角.12分解法二：因为椭圆C的左端点为A,则点A的坐标为2&,0.5分22因为直线ykx(k0)与椭圆1交于两点E,F,84设点E(xo,y°),则点F(Xo,y°).所以直线AE的方程为y一x272X)2.2因为直线AE与y轴交于点M,令x0得y2处。,即点m0,272yl7分X2.2x2、2同理可得点N0,2氏。8分'x02.2uuiruuur假设在x轴上存在点Pt,0,使得MPN为直角，则MPNP0.即t22我上2心0_0,即

18、t2学00.()9分x22x2;2x08因为点E(x0,y°)在椭圆C上，22a2所以过巨1,即y；10分842将y28 x22代入(X)得t24 0 11分解得t2或t2.故存在点P2,0或P2,0,无论非零实数k怎样变化，总有MPN为直角.12分解法三：因为椭圆C的左顶点为A,则点A的坐标为25,0.5分22因为直线ykx(k0)与椭圆1交于两点E,F,84设点E20cos,2sin(0),贝U点F272cos,2sin.6分所以直线AE的方程为y2sin2、2 cos 2.22.2因为直线AE与y轴交于点M,文科数学试题2sin2sin令x0得y,即点M0,cos1cos1同理

19、可得点N0,-2.9分cos1uuiruuur假设在x轴上存在点P(t,0),使得MPN为直角，则MPNP0.10分22sin2sin2即t0,即t40.11分cos1cos1解得t2或t2.故存在点P2,0或P2,0,无论非零实数k怎样变化，总有MPN为直角.12分(21)(I)解：当m1时，f(x)exlnx1,y1所以f(x)e.1分x所以f(1)e1,f(1)e1.2分所以曲线yf(x)在点1,f1处的切线方程为y(e1)(e1)(x1).即ye1x.3分(n)证法一：当m1时，f(x)mexlnx1exlnx1.要证明f(x)1,只需证明exlnx20.4分以下给出三种思路证明exl

20、nx20.一一、一，、V.一v1思路1：设g(x)elnx2,则g(x)e.xx1x1设h(x)e一，则h(x)e-2-0，xx1所以函数h(x)g(x)ex在(0,+)上单调递增.6分x1 1因为g-e220,g(1)e10,211所以函数g（x）e在（0,+）上有唯一零点x°,且xO-,18分x2因为g(x0)0时，所以ex°一，即InX。Xo9分Xo当x0,%时，g(x)0；当xXo，时，g(x)0.所以当xXo时，g(x)取得最小值gXo.10分故g(x)gx0=Inx02一x020.Xo综上可知，当m1时，fx1.12分思路2：先证明exx1xR.5分设hxe&#

21、39;x1,贝ihxex1.因为当x。时，hx0,当x。时，hx0,所以当x0时，函数hx单调递减，当x0时，函数hx单调递增.所以hxh00.所以/x1(当且仅当X0时取等号)7分所以要证明exlnx20,只需证明x1lnx20.8分下面证明xInx10.设pxxInx1,则px1-.xx当0x1时，px0,当x1时，px0,所以当0x1时，函数px单调递减，当x1时，函数px单调递增.所以pxp10.所以xlnx10(当且仅当x1时取等号).10分由于取等号的条件不同，所以/Inx20.综上可知，当m1时，fx1.12分（若考生先放缩lnx,或ex、lnx同时放缩，请参考此思路给分！）思路

22、3：先证明exIn x2.因为曲线yex与曲线yln x的图像关于直线 y x对称,设直线x t t 0与曲线lnx分别交于点A , B,点A, B到直线y x的距离分别为dj d2,贝U AB 2 did2d2 t 1nt t2设h因为t0,所以 h tet 1 0所以ht在0, 上单调递增，则所以d1设gInt t 0因为当1 时，g t1时,所以当1 时,g tInt单调递减;1时，g t t Int单调递增.所以g所以d2t Int所以ABd2匹2.2综上可知，当m1时,1.12分证法二：因为f（x）mex要证明f x 1,只需证明mex lnx 2 01思路1：设g(x)melnx2

23、,则g(x)me-.xx1一x1设h(x)me一，贝Uh(x)me0.xx1一所以函数hxgxme一在0,+上单调递增.6分x12-1因为gme2m2mme2m20,g1me10,2m11.所以函数g(x)me一在0,十上有唯一季点x0,且x0,18分x2mxc1因为gx00,所以me一,即Inx0x0Inm.9分当 x 0,小 时，g x 0；当 xx°,时，g x 0 .所以当x x0时，g x取得最小值 g x0 . 10分4xn.一1一一故 gx g x0me"In x0 2-x0 In m 2 0.x0x。综上可知，当m1时，fx1.12分思路2：先证明exx1(

24、xR),且Inxx1(x0).5分设F(x)exx1,则F(x)ex1.因为当x0时，F(x)0;当x0时，F(x)0,所以F(x)在(，0)上单调递减，在(0,)上单调递增.所以当x0时，F(x)取得最小值F(0)0.所以F(x)F(0)0,即exx1(当且仅当x0时取等号).7分由exx1(xR),得ex1x(当且仅当x1时取等号).8分所以lnxx1(x0)(当且仅当x1时取等号).9分再证明mexlnx20.因为x0,m1,且exx1与lnxx1不同时取等号，所以mexlnx2mx1x12m1x10.因为AEDDEB（公共角），所以AEDADEB.DEAE所以BEDE即DE2AEgBE

25、.（n）解：因为EF是。O的切线，EAB是。O的割线,所以EF2EAgEB（切割线定理）.因为EF4,EA2,所以EB8,ABEBEA6.2一一由(I)知DEAEgBE,所以DE4.因为DEPCA ,所以 BACA BED .所以BAAC所以BEACEDBA EDBE10分(23) (I)解：由2sin ,可得22 sin因为2所以曲线C的普通方程为x2y2y220（或xy11）.（n）解法一：因为直线的参数方程为.3t3tJ3,（t为参数，tR）,2消去t得直线l的普通方程为y5.2因为曲线C：x2y11是以G0,1为圆心，1为半径的圆,设点Dx0,y0,且点D到直线l:J3x5的距离最短,所以曲线C在点D处的切线与直线J3x5平行.即直线GD与l的斜率的乘积等于1,4点1.Xo因为Xo2yo121,解得x0史或xo2、32所以点D的坐标为31T，一或22由