高考数学大一轮复习坐标系和参数方程第1节坐标系学案理新人教B

1、第1节坐标系最新考纲1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程|1基他修断I忆人.归教材夯实基搬息|知识梳理1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换x=入x（入>0）设点Rx,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换6：丫，一（0）的作用下，点Rx,y）对应到点P'（x',y'）,称巾为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.2 .极坐标系与点的极坐标（1）极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点Q极点）；自极

2、点O引一条“小孙射线OX极轴）；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正,方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.”'（2）极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM勺长度p和从Ox到OM勺角度0来刻画，这两个数组成的有序数对（P,0）称为点M的极坐标.其中P称为点M的极径，e称为点M的极角.3 .极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标（x,y）极坐标（p,e）互化公式x=pcos0,y=psin0222P=x+y-y，八、tan0=：(xw0)4.圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆jM5Q=r(0w8<2兀)圆心为（r,0）,半径为r的

3、圆p=2rcos_e兀兀一寸e，一.,兀.,一圆心为r,-2-,半径为的圆p=2rsin_0(0wev兀)5.直线的极坐标方程(1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为a,则直线l的极坐标方程是e=a(peR).(2)直线l过点Ma,0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为pcos_e=a.兀(3)直线过Mb,万且平行于极轴，则直线l的极坐标万程为psin_e=b.诊断自测1 .思考辨析(在括号内打或“X”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.()L兀(2)若点P的直角坐标为(1,-4,则点P的一个极坐标是2,万.()(3)在极坐标系中，曲线

4、的极坐标方程不是唯一的.()(4)极坐标方程8=兀(p>0)表示的曲线是一条直线.()答案(1)X(2)V(3)V(4)X2 .(教材习题改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1x(0wxw1)的极坐标方程为()1 兀Ap=cose+sine,°w。&万2 兀B. °-cos9+sin8，*。4兀C. p=cos0+sin0,0<0兀D. p=cos0+sin0,0<0<4解析y=1-x(0<x<1),psin0=1pcos0(0<pcos0<1);1兀Psin0+cos02.答

5、案A3 .在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为p=2sin0,则曲线C的直角坐标方程为.解析由p=2sin0,得p2=2psin0,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.答案x2+y22y=024 .（2017北乐卷）在极坐标系中，点A在圆p2pcos04psine+4=0上，点P的坐标为（1,0）,则|AP的最小值为.解析由p之2pcos94psin8+4=0,得x2+y2-2x-4y+4=0,即（x1）2+（y2）2=1,圆心坐标为C（1,2）,半径长为1.点P的坐标为（1,0）,点P在圆C外.又点A在圆C上，.|APmi

6、n=|PC1=21=1.答案15.已知直线l的极坐标方程为2psin9=、/2,点A的极坐标为A2/2,一“，则点A到直线l的距离为.解析由2psin9=2/2，得2Pysin9-cos9=加,.yx=1.由A2小，/，得点A的直角坐标为（2,2）.点A到直线l的距离d =|2 +2+ 1|5.214分类讲练；原例求法清点突破考点一平面直角坐标系中的伸缩变换2【例1】求双曲线C:X2-64=1经过6：x=3x,变换后所得曲线C'的焦点坐标.2y=y解设曲线C'上任意一点P'(x',y')x' = 3x由 2y' =y代入曲线C:x'

7、;得 x 3 y=2y,2x2i1, 得9162-=1,即曲线C'的方程为2焉=1,916因此曲线C'的焦点Fi(5,0),F2(5,0).x'=入X(入>0)规律方法1.平面上的曲线y=f(x)在变换6：,的作用下的变换方程y=(1y(w>。)xx，的求法是将，代入y=f(x),整理得y'=h(x')为所求.yy=v2.解答该类问题应明确两点:是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用;是明确变换前的点Rx,y)与变换后的点P'(x',y')的坐标关系，用方程思想求解x'=3x.【训练1】在平面直角坐标

8、系中，已知伸缩变换巾：2y=y.求点A7,-2经过6变换所得点A'的坐标;3(2)求直线l ： y = 6x经过6变换后所得直线l的方程.(1)设点(x,y'),由伸缩变换6 :x' = 3x,2y' = y,1=7X3=1,3-2一=-1.2点A'的坐标为(11).(2)设P' (x' , y')是直线上任意一点 .x x，y=2y'.x'=3x.由伸缩变换6：,得2y=y,八、，口，x'，r，代入y=6x,得2y=6=2x，即y=x,3，y=x为所求直线l'的方程.考点二极坐标与直角坐标的互化兀

9、【例21】在极坐标系下，已知圆Qp=cos0+sin0和直线l:psin0-(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;(2)当9(0,兀)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.解(1)圆Qp=cos0+sin0,即p2=pcos8+psin0,圆O的直角坐标方程为：x2+y2=x+y,即x2+y2xy=0,兀直线l:psin944IPpsin8pcos9=1,则直线l的直角坐标方程为：yx=1,即xy+1=0.(2)由x= 0, y=1，x2+y2-x-y=0,x-y+1=0,，,f兀故直线i与圆O公共点的一个极坐标为1，"2".【例22】（2016北京卷改编）在极坐标系中，已知

10、极坐标方程C：Pcos03/3psin91=0,Q:p=2cos9.（1）求曲线C,G的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；（2）若曲线C,G交于A,B两点，求两交点间的距离.解（1）由C：Pcose淄psine-1=0,xq3y-1=0,表示一条直线.由G：p=2cos8,得p2=2pcos9.x2+y2=2x,即（x1）2+y2=1.所以G是圆心为（1,0）,半径r=1的圆.（2）由（1）知，点（1,0）在直线x-J3y1=0上，所以直线。过圆G的圆心.因此两交点A,B的连线段是圆G的直径.所以两交点A,B间的距离|AB=2r=2.规律方法1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化

11、公式；x=pcos0,y=psin8,p2=x2+y2,tan8=y（xw0）.x2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意p,e的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.【训练2】（1）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标兀兀系.已知点A的极坐标为V2,直线的极坐标方程为Pcose-=a,且点A在直线上，求a的值及直线的直角坐标方程(2)把曲线C：x2+y28x10y+16=0化为极坐标方程L兀兀解丁点A2,在直线pcos9=a上，.a=0cos了一7=平所以直线的方程可化为pcos0+psin

12、0=2,从而直线的直角坐标方程为x+y2=0.(2)将X。C0S"代入x2+y2-8x-10y+16=0,y=psin02信p8Pcos910Psin9+16=0,所以C的极坐标方程为p28pcos0-10psin0+16=0.x轴正半轴为极P的轨迹G的考点三曲线极坐标方程的应用【例31】(2017全国n卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为pcos0=4.设点M为曲线G上的动点，点P在线段OM匕且|OM|OP=16,求直角坐标方程；兀(2)设点A的极坐标为2,不，点B在曲线G上，求OABm积的最大值.3解设P的极坐标为(p,0)(p>

13、0),M的极坐标为(p1,0)(p1>0).由题设知|op=p,|om=p1=.cos0由|OMIOP=16得。的极坐标方程为P=4cose(P>0).因此C2的直角坐标方程为(x2)2+y2=4(xw0).(2)设点B的极坐标为(pb,a)(pb>0).由题设知|OA=2,pb=4cosa,于是OAB勺面积1S=210A-pb-sinZAOB兀=4cosa-sina-W3=2 sin2a -3 乎 <2+ 3/3.a=今时，S取得最大值2+J3.所以0A前积的最大值为2+43.x=acost,【例32】(2016全国I卷)在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为(ty

14、=1+asint为参数，a>0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线G：p=4cose.(1)说明。是哪一种曲线，并将Ci的方程化为极坐标方程；(2)直线G的极坐标方程为e=“0,其中“0满足tana0=2,若曲线G与G的公共点都在G上，求a.解(1)消去t,得G的普通方程x2+(y-1)2=a2,曲线Ci表示以点(0,1)为圆心，a为半径的圆.将x=pcos9,y=psin9代入G的普通方程中，得到C的极坐标方程为p22psin0+1-a2=0.(2)曲线G,G的公共点的极坐标满足方程组p2Psin9+1a=0,p=4cos0.若pw。，由方程组得16cos288s

15、in0cos8+1a2=0,由已知tan0=2,可得16cos2。一8sin0cos0=0,从而1a2=0,解得a=1(舍去)，a=1.当a=1时，极点也为G1,G的公共点，且在G上.所以a=1.规律方法1.(1)例31中利用极径、极角的几何意义，表示AOB勺面积，借助三角函数的性质求最值优化了解题过程.(2)例32第(1)题将曲线G的参数方程先化成普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的转化与化归能力.第(2)题中关键是理解极坐标方程的含义，消去p,建立与直线G：e=a0的联系，进而求a.x=>/2cos 巾, y= sin 62.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用

16、极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.【训练3】(2018太原一模)在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为(6为参数)，曲线G:x2+y22y=0.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:0=a(p>0)与曲线G,G分别交于点A,B(均异于原点O).(1)求曲线G,G的极坐标方程；(2)当0<a<y时，求|OA2+|OB2的取值范围.X22解(1)C的普通方程为2-+y2=1,C的极坐标方程为P2cos2e+2P2sin202=0,G的极坐标方程为p=2sin9.(2)联立0=a(p>0)与C的极坐标方程得|OA2=；2-,1Sin联立8=a(

17、p>0)与G的极坐标方程得|OB2=4sin2a,则|O/A2+|OB2=-一2-+4sin2a1 +Sina=t_F4(1+sin2a)4.1 十Sina令t=1+sin2a,则|OA2+|OB2=2+4t4,兀当0<a万时，te(1,2).2设f(t)=1+4t4,易得f(t)在(1,2)上单倜递增，.2<|OA2+|OB2<5,故|OA2+|OB2的取值范围是(2,5).分心II球.提无能力1 = 0与圆p =故直线的直角坐标方程课时作业基础巩固题组(建议用时：50分钟)兀1.(2017天津卷改编)在极坐标系中，已知直线4Pcos0-+2sin0,试判定直线与圆的

18、位置关系.解由4Pcose女+1=0得2MPcose+2Psin0+1=0为2mx+2y+1=0.由p=2sin8得p之=2psin9,故圆的直角坐标方程为x2+y2=2y,则x2+(y1)2=1.圆心为(0,1),半径为r=1.圆心到直线2«3x+2y+1=0的距离d=|2：揽=3<1,、(243)2+224，直线与圆相交，有两个公共点2.以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方2程为o=1P1sin0.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)过极点O作直线l交曲线于点P,Q若|OR=3|OQ,求直线l的极坐标方程.解（1）=p=

19、«x+y2,psin9=y,2、P=1_加丁化为ppsin8=2,2曲线的直角坐标方程为x=4y+4.(2)设直线l的极坐标方程为8=8o(pCR),1-sin（9。+兀）'解得e0=6或eo=56-,直线l的极坐标方程9 =-6（ p e R）或 e =署（p£ R）.3.(2018 衡水模拟)在极坐标系中，已知曲线G:p=2与G2：pcos9-4=4"2交于两点A,B.(1)求两交点的极坐标;(2)求线段AB的垂直平分线l的极坐标方程.解(1)G：P=2的直角坐标方程为x2+y2=4,e =2,G:pcos9=寸2的方程即pcos8+psin化为直角坐

20、标方程得x+y2=0.x2+y2=4,x=2,x=0由解得或x+y2=0,y=0y=2兀所以两交点为(0,2),(2,0),化为极坐标为2,万，(2,0).(2)易知直线l经过点(0,0)及线段AB的中点(1,1),所以其方程为y=x,化为极坐标方一兀程得8=7T(PCR).4x=tcosa,4.(2018西安调研)在直角坐标系xOy中，曲线G：(t为参数，tw0),其y=tsina中0WaV兀.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线G:p=2sin0,C3：p=2淄cos0.(1)求C2与。交点的直角坐标;(2)若G与G相交于点A,C与C3相交于点B,求|AB的最大值.解(1)曲线

21、。的直角坐标方程为x2+y22y=0,曲线G的直角坐标方程为x2+y2-2/3x=0.联立x2+ y2-2y= 0, x2+y2-23x=0,解得x= 0, y= 03y = 2.所以G与C3交点的直角坐标为(0,0)和乎，2.(2)曲线C的极坐标方程为e=a(peR,pW0),其中0WaV兀.因此A的极坐标为(2sina,a),B的极坐标为(243cosa,a).所以|AB=|2sina2#cosa|=4sina3.5兀一当a=-6-时，|AB取得最大值，最大值为4.兀5.在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为psin0+=1,圆C的圆心的极坐标是兀C1,了，圆的半径为1.(1)求圆C的极坐

22、标方程；(2)求直线l被圆C所截得的弦长.兀解(1)设O为极点，O皿圆C的直径，Nr,0)为圆C上的一个动点，则/AOD=-e.兀或/aoae兀，兀|OA=|ODcos8或|OA=|ODcos0.兀所以圆C的极坐标方程为P=2cose-.(2)由psin8+十=1,得乎p(sin0+cos0)=1,，直线l的直角坐标方程为x+y啦=0,又圆心c的直角坐标为率半满足直线l的方程，直线l过圆C的圆心,故直线被圆所截得的弦长为直径2.能力提升题组(建议用时：30分钟)6.(2015全国I卷)在直角坐标系xOy中，直线C:x=2,圆C2：(x1)2+(y2)2=1,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C,。的极坐标方程；兀、一，.一(2)若直线G的极坐标万程为e=(PeR),设Q与C的交点为MN,求C2MN的面积.4解(1)因为x=pcos0,y=psin0,所以。的极坐标方程为pcos0=-2,G的极坐标方程为p22pcos0-4psin8+4=0.(2)将e=?代入p22pcos0-4psin0+4=0,得p23姆p+4=0,解得p1=2淄，p2=娘.故p1p2=42,即|MN=42.由于G的半径为1,则易得GMN直角三角形，所以GMN勺面积为S=1X12=!227.(2018合肥二模)在直角坐标系xOy中