高考数学二轮复习解题思维提升专题立体几何小题部分

1、最新高考数学知识点和真题汇总专题11立体几何小题部分【训练目标】1、掌握三视图与直观图之间的互换，会求常见几何体的体积和表面积；2、掌握空间点线面的位置关系，以及位置关系的判定定理和性质定理；并能依此判断命题的真假；3、掌握空间角即异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角的求法；4、掌握等体积法求点面距；5、掌握几何体体积的几种求法；6、掌握利用空间向量解决立体几何问题。7、掌握常见几何体的外接球问题。【温馨小提示】立体几何素来都是高考的一个中点，小题，大题都有，一般在17分到22分之间，对于大多数人来说，立体几何就是送分题，因为只要有良好的空间感，熟记那些判定定理和性质定理，然后熟练空间角和

2、距离的求法，特别是掌握了空间向量的方法，更觉得拿分轻松。【名校试题荟萃】1、某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）正校所室铳的最新高考数学知识点和真题汇总242 + 吗2+支一7r2+山纥2+/告2+(1+向22A.-B.-C.-D.【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是一个沿旋转轴作截面，截取的半个圆锥，底面半径是1,高是2,所以母线长为湘，所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一半以及截面三角形的面积的和,即7F + 7T *+ x2x2=2 +1 +617F2，故选A.2、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）a6；-R：b.<；c.16"16算D.

3、弓I16产【答案】A【解析】几何体为一个长方体与一个半圆柱体的组合，其中长方体的长宽高为4,2,2,体积为16?半圆柱4 x体的高为4,底面为半径为2的半圆，体积22X可X1 -287r>因此几何体的体积为16 +8打，选3、如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A.入，2B.J.。C.'八3D./.3【答案】C【解析】由题意得，该多面体为如下几何体,其中BD,ED,CD两两互相垂直,AC = V+4 = 2 久 最长的棱长为，故选C.4、如图，在棱长为1的正方体力“CD-中，给出以

4、下结论:直线AiB与所成的角为60°；若M是线段4cl上的动点，则直线。晟f与平面BCiD所成角的正弦值的取值范围是于吏若RQ是线段幺C上的动点，且PQ=1,则四面体BiDiFQ的体积恒为G.其中，正确结论的个数是（）0CASA.0个B.1个C.2个D.3个【答案】D【解析】HiR。中,每条边都是2,艮防等边三角形与从D所成角为60。，又K1CII直线HiB与B1C所成的角为60、正确工由正方体可得平面8曾仁1,平面4CC1,当lH点位于ACi上，且使平面BDCm寸，直线CA1与平面RDC1所成角的正弦值最大为1,当AJ与Ci重合时，连接CA/交平面BDC1所得斜线最长，直线CA1v

5、3与平面HDCi所成角的正弦值最小等于亍，直线与平面石。Ci所成角的正弦值的取值范围是停下福3、正确手h23展连接BiRHiQ,设Di到平面Hi4c的距离为h,则一3,Bi到直线4c的距离为2,则四面体FQBiDi的体积，正确.正确的命题是.5、一个直棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为120的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为（）D 季恻视图20gA.2。1.丁B.3C.；5才D.25，/5"【答案】A【解析】27r由三视图可知，该三棱柱为底面为顶角为两腰为2的等腰三角形，高为2,底面三角形的外接圆直径为2/3玷口等,半径为2,设该三棱柱的外接球的半径为七则/=2?+

6、11=5,所以该三棱柱就卜接球的表面积为S=4肝片=20%故选比6、某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率=新工件的体积/原工件的体积)()88%（,.118（丑-A.1：-B.】;C.1D.事【答案】A【解析】由三视图知，原工件是底面半径为b母线长为3的圆锥.要使正方体新工件的体积最大，则正方体下底面在圆锥底面上，上底面是平行于圆锥底面的截面圆的内接正方形,过正方体的顶点作轴截面如图,且4的上底面正方形的对角线.设新正方体工件的棱长为4则AR=go,又圆锥的高为借助轴截面，由

7、三角形相似可得，巫=27?二口_2y/23_16y2弋62一2得）二丁，正方体体积为a=圆锥体积为f一,则原工件材料297r的利用率为勺，故选乩7、一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削，打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）6X俯视图A.1B.2C.3D.4【解析】该几何体是一直三棱柱，其底面是直角边长为6的直角三角形，现符空间问题转化平面问题来解答，所求球半径等于该直角三角形的内切图的半径,设半径为则8x6=r(8+6+10),解得丁=2.8、如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为(A.B.C.ThD.【解析】如图所示，还原几何体的直观图是棱长为3的正方体

8、中的四棱锥D!-ABCD,因此该几何体的外接球的半R=6=4浦=4湾乂也回f二27了径22,该几何体的外接球的表面积为？，选C.9、九章算术商功章有题：一圆柱形谷仓,高1丈2尺，容纳米2000斛（1丈=10尺，斛为容积单位，1斛=1.458立方尺，7rB3）,则圆柱底面周长约为（）A.1丈3尺B.5丈4尺C.9丈2尺D.48丈6尺【答案】B【解析】因为高1丈2尺，容纳米2000斛，设底面半径为i所以3产x12=2000x1A58,解得r=9.周长为2x3x9=54,即5丈4尺,故选B.10、已知四面体产一幺UC的四个顶点都在球O的球面上，若FA_L平面再BC,AB±AC,且AC=1,

9、PR=AE=2则球0的表面积为（）A.7:-/'B.="C.D.I。1二【答案】C【解析】,FB_L平面AB.LAC,在四面体的基础上构造长方体如图，可知长方体的外接球与四面体的外接球相同，长方体的对角线就是外接球的直径，即2R=/12+22+22=3冗=3S=4A:=4x-|二9笈，球。的表面积12,11、如上右图是某几何体的三视图，则该几何体的内切球的表面积为（A.7B.2jC.仁D.”【答案】B【解析】由三视图可知该几何体为正方体中的内接正四面体，正四面体的校长为设内切球的半径为心易得：F，内切球的表面积为4+=2%12、九章算术是我国古代的数学名著，书中提到一种名为“

10、刍薨”的五面体，如图所示，四边形1BCD是矩形,棱如”EF-2?MDE和ABCF都是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积是（）翌1?妪A.AB.:C.:D.3【答案】Ct解析】过E作EG平面/品'口，垂足为G,过万作用/白面4成了乙垂足为，过G作尸交于°j交CD于P.过点,小。阮，交于',交C。于M,如图所示：:四边形“七口是矩形,棱打血"八,"皿二L&廿£和A&C.尸都是边长为？的等边三角形,.四边形PM%。是边长为2的正方形，"7=4帚-='2=这+24皿，这个几何体的体积为一3V313、如图，正

11、三棱柱的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线4B1和BAf所成角的大小是（）7T7T7T7TA."B.4C.=D.【答案】D【解析】补一个相同的正三棱柱，如图所示，把正三棱柱补成直四棱柱,设棱长为2,取DD1中点，则所以为异面直线ABi和BAf所成的角，在中，=2伍=他/"=映=用,在gAM中，F月班+月"一nZB1AM=90°oosZ.B1AM=x'=02xAB1*AM由余弦定理得：1，所以。14、在四棱锥门口山"中，底面上BCD是菱形，尸5_1_底面4BCD,A1是棱FC上一点.若"一.一匕则当的面积为最小值时

12、，直线工c与平面MB。所成的角为（）7T7T7T7TA."B.1C.:D.【答案】B【解析】如图；当。Af_LPG寸，此行0力1是异面直线产C与的共垂线段，共垂线段是异面直线两点间距离的最小值,所以匕时AfBD的面积为最小值，BD±AC.BD±PAf尸AnHC=凡所以BD，平面PAC，PCU平面F4C,所以FC_LED,又因为此时OA_LFC,OMnBD=O,所以尸C_L平面BDM,OAM为AT在平面内的射影，所以直线角7与平面AfBD所成的角为NMO。，尸47是等腰直角三角形，所以AAfOC也是等腰直角三角形，所以NATO。=45）15、已知三棱锥SHHC的底面

13、是以AB为斜边的等腰直角三角形,4B=2,QACRqC?口八一口。一口一；则三棱锥的外接球的球心到平面4BC的距离是（）a/33vz5A.丁B.II.C.嚏D.二【答案】A【解析】因为三棱锥s-ARC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2,/.S在面内的射影为中点SH，平面ARC,，5以上任意一点到46,C的距离相等SH=他CH=1,在面SEC内作SC的垂直平分线河。则/SHRC的外接球球2738、SO=mOH=心SC=2,SM=1,/LOSM=30；'-3'_3,即为Ot平面AEC的距离,故选总，16、如图，在棱长为1的正方体力BCD-4BCiDi中，给出

14、以下结论：直线与所成的角为60°；渔1若M是线段4cl上的动点，则直线OAT与平面EC1D所成角的正弦值的取值范围是L3'V2若只Q是线段5C上的动点，且PQ=1,则四面体J31D1FQ的体积恒为6.其中，正确结论的个数是（）A.。个B.1个C.2个D.3个【答案】D【解析】ABiCIIAR/UeD中，每条边都是2,即为等边三角形，4B与4。所成角为60，又11，直线HiB与B1C所成的角为60°,正确；由正方体可得平面平面CCi,当M点位于4cl上，且使UAf_L平面BDC1时，直线CM与平面BDC所成角的正弦值最大为1,当M与Ci重合时，连接CM交平面73BDC

15、1所得斜线最长，直线CAT与平面BDCi所成角的正弦值最小等于3，直线0助与平面BDCi所f1成角的正弦值的取值范围是L3'，正确；2小瓜连接BiRHiQ,设Di到平面81幺。的距离为h,则"=一7，Bi到直线wc的距离为T,则四面体FQBiDi的体积为Y2,正确.6正确的命题是.17、如图，在矩形达日。中，4B=2,AD=3,点E为的中点，现分别沿BE、CE将翻折，使得点4D重合于凡此时二面角E-BC-F的余弦值为（）3/72a/5A.B.1C.D.【答案】B【解析】如下图所示，取BC中点连EEF尸，由题意得/F=CF=2,1.FF，0EB=EC=如+学=:又V22,，EP

16、_LFC,二/EFFff为二面角因一ECF的平面角,FP=JFB2-="而V22,在AEFF中，故选B.18、如图所示，在直三棱柱"加"陷中，_BC=4C,。口邛，时，m分别是44,初的中点，给出下列结论：，平面4力叫；4建叫.平面AMCJI平面（叫；其中正确结论的序号是.8【答案】【解析】由储M14册CM1月4.4也n川|H=；V1平面44出故正确由得&B工3”,月G1H/,A（nCrU=（；n_L平面QAXfn4依JLAM又/M阴=48叫故正画由AU/N4CA/CV,AM0Cf=M.XIICCX=Xn正而44，£汇面CV修出L1,十回十回故正

17、确结论的序号是.19、已知三条不重合的直线辨，"J,两个不重合的平面。出，有下列命题:若若"伉/且“心则仇 j''"#且仇则。”则。/；wc跖cBjn/i,n/2若a1-锵ecffjt1阴若其中真命题的个数是.【答案】2【解析】中,与用可能相交；对；中要求用与K为两异面直线时才成立；为面面垂直的性质定理，正确.20、已知四边形HBCD是矩形，沿AC将"DC折起到"DC,使平面ad匕l平面再bc,F是月D'的中点，E是4c上一点，给出下列结论：存在点E，使得ef/平面bdc；存在点E,使得EF_L平面ABC;存在点E，使得

18、力后，平面ABC；存在点E，使得月c/平面BDE；其中正确的结论是.（写出所以正确结论的序号）【答案】【解析】对于,存在才C的中点E,使得利用线面平行的判定定理可得EF平面火力对于,过点F做EF_LAC，垂足为E,利用面面垂直的性质定理可得EF呼面ABCf对于,过点力作DfEXAC,垂足为芯，利用面面垂直的性质定理可得D'E，平面工对于，因为是矩形，Ali=<AD=3，所以民"在/C,上的射影不是同一点，所以不存在点E,使得平面21、设n是不同的直线，口,昆+是不同的平面，有以下四个命题： ；aid1,- ；m_L（k1 ；叩今m/仙nCaI .其中，正确的命题是.【答

19、案】【解析】中平行于同一平面的两平面平行是正确的；中户可能平行，相交或直线在平面内；中由面面垂直的判定定理可知结论正确；中m，口可能线面平行或线在面内.22、如图，在直角梯形4BCD中，BCLDC,AE1DC,N分别是AD,BE的中点，将三角形ADE沿4E折起，下列说法正确的是.（填上所有正确的序号）不论。折至何位置（不在平面内）都有MN平面dec；不论。折至何位置都有MN.LAE;不论。折至何位置（不在平面HBC内）都有MN/AB.在折起过程中，一定存在某个位置，使EC±AD.【答案】【解析】将三角形。汇沿汇折起后几何体如图所示：I)为分别是AD,HE的中点，所以不论。折至何位置（

20、不在平面再内）都有MJV/DC,MN/平面dec所以正确；MN/DC,AE±DC，则MNLiE,所以正确；A/N与KA是异面直线，所以错；当时，因为CE_LAE,，平面4ED,.OE±AD,所以存在某个位置，使ECYAD,所以正确；故答案为.23、已知空间四边形 ABCD 中,他二BD二册二28c二1, CD二和,若平面平面BCD,则该几何体的外接球表面积为【答案】3【解析】由于448。是等边三角形，所以球心在到区仇门三点距京相等的点在重心O且垂直于平面ABD的直线上,又因为所以到加仁。三点距离相等的点在过SD中点£且与平面白匚力垂直的直线上，两直线的交点是。，所

21、以球心为。.“_2后c16k16产半8一3，二亍.填亍，1、m、也是三条不同的直线，则 m_L户的一个充分条件为 24、设.、3、T是三个不同的平面,。，户，。门户=/,m_J;ji_Lc,n工“mLit；“口7=旧，a_L/7,¥-L0；fn_Lc,2-5【答案】、【解析】中由已知条件可知m_L0或小,在户内或斜交或平行；由可知金、0平行，由m_Ln可得m_L0；由面面垂直的性质可得m户成立；由a，羽尸_L7可知由0平行或相交只有平行时才有ml。.25、如图，一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为4m,一只小虫从圆锥的底面圆上的点尸出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点尸处，则该小虫爬

22、行的最短路程为4，嬴，则圆锥底面圆的半径等于34A；i：B.-C.?【解析】作出该圆锥的侧面展开图，如下图所示:该小虫爬行的最短路程为cos ZPQF =Pp,由余弦定理可得OP2 + 0产-FP?12OP OPf=-2/尸"=等设底面圆的半径为2m=萼 X 4 r =-丁，则有3，.二3故。项正确.26、已知空间4个球，它们的半径均为2,每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切,则这个小球的半径（）72B.6、，2C.：D.22【答案】A【解析】由题意可知，小球球心0为正四面体的中心，到顶点的距离为从而所求小球的半径丁=/62.故BiZBCA=90°,PB=BC=CA=4/2口口27、三棱锥产一4EC中，PB_L底面再BC,'，点E,F分别是FC.FA的中点，则点尸到平面的距离为2/6【答案】丁【解析】如图,以E尸所在直线为z轴，EC所在直线&轴，建立空间直角坐标系,