高考数学四海八荒易错集专题11空间几何体理

1、百度文库让每个人平等地提升自我7专题11空间几何体【口错富区，步步为廉】1 .一个由半球和四棱键组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）.答案C解析由三视图知，半球的半径R=H，四棱链是底面边长为3高为1的正四棱锥，.？=><1X1X11 4=9；故选C.2 .封锁的直三棱柱.4员?一45G内有一个体积为P的球，ABLBCyAB=6,BC=8,44=3,则P的是大值是（）答案B解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3,所以球的最大直径为3,P的最大97r值为33.在梯形X33中，1ABC=-,ADsiBC,员7=24。=245=2.将梯形.453绕.”

2、>所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）D.2冗答案C解析过点。作维垂直拉?所在直线于点左梯形的?绕段所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段相的长为底而圆半径，线段国为母线的圆柱挖去以线段维的长为底面圆半径，劭为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为疝BC-卜ncEDE=*XfX2-|nXfXlJJ5ji=.彳-，故选C.J4. 一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（）正（主）视图泊视图A.16B.872+8C.2m+2加+8D.42+4/6+8答案D解析由三视图知，该几何体是底面边长为花工=2行的正方形，高FD=2的四核锥尸因为加，平面占58,且四

3、边形乂38是正方形，易得5clpC>BA1PA,又PC=7PAeD1=+2质=2百,所以Slk尸$3加=tX2X2a/22，>乙Sc=Sanc=mX2yj2X=2，.乙所以几何体的表而积为4m+44+8.5.在正三棱锥S女中，点”是SC的中点，且加函底面边长四=24，则正三棱锥S一的外接球的表面积为（）A.6nB.12nC.32nD.36n答案B解析因为三棱锥*73。为正三棱锥，所以SBLAC又31圾.4如4y月j所以63,平面SAC）所以S31S4,SBLSC,同理，SAlSC,即SX,SB,$。三线两两垂直，目,铝=23，所以和=$3=5c=2,所以（22=3X22=12,所以

4、球的表面积5=4兀产=12兀,故选B.6 .已知半径为1的球。中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为答案芈解析如图所示,2I设圆柱的底而半径为r,则圆柱的俣lj面积为S=2nrX2>Jl-r=4nr/l-r4nX2几（当且仅当封=1一片，即=当时取等号）.乙所以当r邛时,4n3X14y/2也一3,乙7 .如图，已知平面四边形/归，AB=BC=3,Q7=l,AD=下,/欣=90：沿直线月C将水刀翻折成月'，直线AC与助所成角的余弦的最大值是.解析设直线月。与助所成角为平而月翻折的角度为。，设点。是月。的中点，由己知得月。如图，以。5为x轴,0X为y轴,过

5、点。与平面W5C垂直的直线为二轴,建立空间直角坐标系,由40,君o布答，0,00,一'。，作DRlac于点多翻折过程中，DH始终与zic垂直，8=普=志=塔贝"°H=半，口5=噤=等，因此可设（-限3a,乎,部n。；则小万f=_挈8s空;Q，«> =万万广| n_吟,容”，与日平行的单位向量为 户”0）,所以cos=cos、而=_ 349 + 583 k所以cosa=-1时，cos，取最大值乎.O8 .已知在三棱锥P极7中，翅，平面相GAB=AC=PA=2,且在月6。中，/物。=120“，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为.答案喈三解析由余弦定理得：

6、BC=AB+AC-2ABAC-cqsZBAC./5C=23+2s-2X2X2X(-1)=12,.6C=2，5.设平面月6。截球所得截而圆半径为r,则2r=s3焦=4,所以r=2.由刀=2且孙，平而抽。知球心到平而凡K的距离为1,所以球的半径为4后守=4，所以心驾二JJ9 .如图，侧棱长为的正三棱锥/一月5。中，/月历=/6%=/。=40°,过点月作截面月跖则截面郎的周长的最小值为.答案6解析沿着侧棱VA把正三棱锥展开在一个平面内,如图,则4r即为截面ZU时周长的最小值，且4E4,=3X40°=120°.在如中，由余弦定理可得*'=6,故答案为6.10 .如

7、图，在RtZkA%中，AB=BC=4,点£在线段上,过点后作斤3。交月。于点尸，将4沙沿才折起到的的位置(点4与点尸重合)，使得/的=30'.(1)求证：EFLPBx（2）试问：当点£在何处时，四棱锥防力的侧而附的面积最大？并求此时四棱锥一炉径的体积.（1）证明YEFBC旦BC1AB,:.EFLAB,即EFLBE.EFLPE.又BECPE=E,，牙。平而W,又眸平而产班,：.EFYPB.解设BE=x,PE=y,则x+y=4.：5.忸=汰"PE*sin/PEB=3娶卜L当且仅当*=尸2时，S，、m的面积最大.此时，BE=PE=2.由（1庆口砂。平面口入,平面

8、瓦_平面EFCF,在平面PBE中，作尸。1鲂于点。，又平面用EC平面EFCB=BE,二产01平面EFCB.即aO为四棱椎P-EFCB的高.又PO二%73。°=2X7=1,S"cb=（XQ十4）X2=6,*V?X6X1=2.o易错起源一、三视图与直观图例1、（1）（2016课标全国甲）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）俯视图A.20nB.24nC.28nD32n（2）将长方体截去一个四棱锥，取得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）答案（DC （2）D解析。）由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4冗，圆锥的母线长/=V2。？+2七

9、4：所以圆锥的侧面积为=|X4TTX4=8H,圆柱的恻面积S，=4兀乂4=16冗，所以组合体的表面积S=8兀+16兀+4兀=28兀,故选C.（2）所得几何体的轮廓线中，除长方体原有的棱外，有两条是原长方体的面对角线，它们在恻视图中落在矩形的两条边上，另一条是原长方体的体对角线,在恻视图中体现为矩形的自左下至右上的一条对角线,因不可见，故用虚线表示，由以上分析可知，应选D.【变式探讨】（1）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）正（主）视图他（左）视图俯视困百度文库让每个人平等地提升自我（2）几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）答案（1）D（2）B解析（1）由

10、俯视图，易知答案为D.（2）由直观图可知,该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组合.从上往下看,外层轮廓线是一个矩形,矩形内部有一条线段连接的两个三角形.【名师点睛】空间几何体的三视图是从空间几何体的正而、左面、上面用平行投影的方式取得的三个平面投影图，四此在分析空间几何体的三视图问题时，先按照俯视图肯定几何体的底面，然后按照正视图或侧视图肯定几何体的侧棱与侧而的特征，调整实线和虚线所对应的棱、而的位置，再肯定几何体的形状，即可取得结果.【锦囊妙计，战胜自我】1 .一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正（主）视图的下而，长度与正（主）视图的长度一样，侧（左）视图放在正（主）视图的右面，高度与正

11、（主）视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”.2 .由三视图还原几何体的步骤一般先从俯视图肯定底而再利用正视图与侧视图肯定几何体.易错起源2、几何体的表面积与体积例2、（1）（2016北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）813k-1-(2)如图，在棱长为6的正方体型，一45,以中，点反尸别离在G与46上，且以=4,G尸=3,连接4,FB,DE,BD,则几何体其一加。的体积为()A.66B.68C.70D.72答案(DA(2)A解析(1)由三视图知，三棱锥如图所示:由侧视图得高2=17又底面积4我1叉1=1所以体积I-j572=1.(2)如图，连接

12、。尸，DC1,那么几何体瓦；一如。被分割成三棱锥P-屈忍;及四棱锥，一的G那么几何体区叼一。匹7的体积为V=1111,.、,-X-X3X4X64-X-X(3+6)X6X6=12+54=66.故所求几何体日%;一。5。的体积为66.【变式探讨】某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为解析由三视图可知，该几何体为如图所示的多面体45CDEF(置于长方体X3CD一A尸G中去观察其且点E为DG的中点，可得月E=5C=GE=DE=3,连接MG,所以多面体ABCDEF的体积为V.abcdef=T.mg一l皿G£J=vX(3+3)X3X3-x4x3X3)X3=t【名师点睛】(1)求多面体的表

13、面积的大体方式就是逐个计算各个面的而积，然后求和.(2)求体枳时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差.求解时注意不要多算也不要少算.【锦囊妙计，战胜自我】空间几何体的表而积和体积计算是高考中，常见的一个考点，解决这种问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表而积和体积计算公式，其次要掌握必然的技能，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技能，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技能.易错起源3、多面体与球例3、已知三棱锥S一血的所有极点都在球0的球面上，$1L平而月/$1=2，3,月5=1,AC=2,ZBAC=6Q°,则球0的表面积为

14、()A.4nB.12nC.16nD.64n如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球而恰好接触水面时测得水深为6cm,若是不计容器的厚度，则球的体积为()1033cmcm答案(DC(2)A解析(1)在曲中,8。=/¥十月小-245NCct600=3,3。=加2+BG,即乂3_LBC,又551平面ABC,，三棱锥5-KEC可补成分别以."=1,£C=&立=2忑为长、宽、高的长方体,球0的直径=/12+由2+2与2=4,故球。的表面积为4冗吊2二=16兀一(2对球心与正方体中点的截面如国，设球心为点0，球

15、半径为般m,正方体上底面中心为点4上底而一边的中点为点£在RtZQ45中，0A=(K-2)cm,05=Ran,由芯=(斤一2尸+4二，得斤=5,450。A-Ji(cm3).故选A.oo【变式探讨】在三棱锥月一6Q?中，侧棱9AC,/J2?两两垂直，AABC,AACD,物的面积别离为平,乙里雪,则三棱锥”的外接球体积为.乙乙答案乖又解析如图，以相，也?为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球,二三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长.四YC=收，卜3=亚，据题意彳AC-AD=®解得，=1,US-AD=,l/D=瓦.二长方体的体对角线长为外西二、石；I

16、-三棱锥外接球的半径为过.【名师点睛】三棱锥产一儿完可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形：(D点产可作为长方体上底面的一个极点，点4、B、0可作为下底面的三个极点；(2)产一处为正四而体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线.【锦囊妙计，战胜自我】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，肯定有关元素间的数量关系，并作出适合的截而图.如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径.球外接于正方体，正方体的极点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截而解题，球与多而体的组合，通

17、过量面体的一条侧棱和12百度文库让每个人平等地提升自我球心（或“切点”“接点”）作出截而图.1 .如图所示，将图中的正方体截去两个三棱锥，取得图中的几何体，则该几何体的恻视图为19答案B解析由所截几何体可知，尸乙被平而必万遮挡，可得B图.2 .下图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多而体儿阳加的体积为（）答案D48解析多面体极7万为四棱锥（如图），利用割补法可得其体积P=49=*选D.JJ3 .某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A. 8-2 nB. 8- nnC. 8一乙nD8 -答案B解析.由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体切去两个四分之一圆柱而成，所以该几何体的体积

18、为r=(2c-2xixnXl:)X2=8-五.4.圆柱被一个平面截去一部份后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20n,则r等于（）A.IB.2C.4D.8答案B该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体球的半径为小圆柱的底面半径为小高为2尸,则表面积5二;温炉十kt：十4/+nr2r=（5兀十4）.又S=16+20ji,兀+4）户：=16+20叼/.=4;7=2故选B.5 .如图所示，平而四边形月6Q?中，AB=AD=CD=,BD=RBDLCD,将其沿对角线劭折成四面体HBCD,使平面H助L平面反若四面体H及力的极点在同一个球而上

19、，则该球的体积为（）答案A解析如图所示,取BD的中点弓8c的中点。连接WE,EO,AO,。3.因为平面4m，平面38,AEL3D,平面4即平面BCD-BD,月Nu平面ABD,所以月冒_1_平面8CD.因为43=4D=CD=1,BD=0所以H£=孚，所以。在RS&CD中，OB-OCOD=BC-,所以四面体488的外接球的球心为。球的半径为处所以二卜学产孚工故选A.6 .有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），AABC=45°,AB=AD=1,DC1BC,则这块菜地的而积为.解析如图，在直观图中，过点4作月及L6C,垂足为点用则在Rt鹿中，J5=l,N鹿=45°,：.BE=.而四边形应2?为矩形，AD=.J2：.EC=AD=,:.BC=BE+EC="+L在原图形中，A'D-,A'B'=2,5'C-y+l,，这块菜地的面积为5=%D+3s5?=天（1十1十坐式2二2十半.7 .某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的表面积是cm%体积是俯视图答案7232解析由三视图可知，该几何体为两个相同长方体的组合，长方体的长、宽、高别