概率论与随机过程：第1章 第五节 独立性

1、第五节独立性 若P( (A) )=P( (A|B) )，其直观意义是：事件B的发生与否对A发生的可能性毫无影响，那么A对B的发生有无影响？经计算P( (B|A)=)=P( (B）。）。称A，B两事件相互独立，这时有P( (A) )=P( (A|B) ) P（AB）=P（A）P（B） P( (B|A)=)=P( (B）。1.1.定义定义 设A，B为两事件，如果具有等式 P（AB）=P（A）P（B） 则称A,B为相互独立的事件,又称A,B相互独立。2.2.性质性质（1）若事件A与事件B相互独立，则A与B、 与B、与B也相互独立。（2）若P(A)0，P(B)0，则A，B相互独立，与A，B互不相容不能

2、同时成立。 因为若它们同时成立，则P(AB)=P()=P(A)P(B)=0，与P(A)0，P(B)0矛盾。 定理定理 设A，B是两事件，且P( (A) )0(P(B B)0)，则A，B相互独立的充要条件是P(B|A)=P(B) (P(A|B)=P(A)。 证明：只需证若事件A与事件B相互独立，则A与B相互立。所以， A与B相互独立。由于BA=A-AB，ABA,而P(AB)=P(A)P(B)，从而P(BA)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)P(B) 定义定义 设A，B，C是三事件，如果具有等式 P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=

3、P(A)P(C). 则称三事件A，B，C两两独立。 一般，当事件A，B，C两两独立时，等式 P（ABC）=P（A）P（B）P（C） 不一定成立，例如：例1: 假设我们掷两次骰子,并定义事件A,B,C如下 A=“第一次掷得偶数”，B=“第二次掷得奇数”， C=“两次都掷得奇数或偶数”。证明A,B,C两两独立,但不满足等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)证明: 容易算出 P(A)=1/2, P(B)=1/2, P(C)=1/2, P(AB)=1/4, P(AC)=1/4, P(BC)=1/4, P(ABC)=0. 从而具有等式 P(AB)=P(A)P(B); P(AC)=P(A)P(C);

4、P(BC)=P(B)P(C)所以A,B,C两两独立.容易看出 P(ABC)=0P(A)P(B)P(C)定义定义 设A，B，C是三事件，如果具有等式 ).()()()(),()()(),()()(),()()(CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABP 则称A，B，C，为相互独立的事件。12)11(0132 nCCCCCnnnnnnnn 一般地，设A1，A2，An，是n个事件，如果对于任意k(1kn),任意1i1i2ikn,具有等式 P（Ai1Ai2Aik）=P（Ai1）P（Ai2）P（Aik）则称A1，A2，An为相互独立的事件。在上式中包含的等式总数为（1）若A1,A2,

5、An相互独立,则其中任意m个事件 Ai1,Ai2,Aim相互独立（2mn）。 （2）若A1，A2，An相互独立，则把其中任意m个事 件换成各自的对立事件后构成的n个事件也相互 独立（1mn）。注：若事件是独立的，则许多概率的计算可以大为简化，例如若A1，An相互独立，则A1，A2，An同时发生的概率为 P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)。 性质性质例2: 若A1，A2，An相互独立，且P（Ai i）=Pi i，i=1,2,n, 求A1,An这n个事件至少有一个发生的概率。解: 所求的概率 niinAPAAAP1211)( niiniPAPAPAP12111例3：电路系统的可靠性

6、。如图，两个系统各有2n个元件，其中系统先串联后并联，系统 先并联后串联。求两个系统的可靠性大小并加以比较。设每个元件正常工作的概率为r r,且相互独立。A1B1A2B2BnAn系统 A1B1A2B2AnBn系统 解：.设Ai, i, Bi i分别表示两条支路中第i个元件正常工作P(A)：中第一条支路的可靠性， P(B)：中第二条支路的可靠性。 所以AB表示正常工作（并联）)()()(11并联并联而而nniiniirAPAPAP 同理 P(B)=rn所以P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=rn+rn-r2n=R 第一对元件可靠性P(A1B1)=P(

7、A1)+P(B1)-P(A1)P(B1)=2r-r2，第二对元件的可靠性P(A2B2)=P(A2)+P(B2)-P(A2)P(B2)=2r-r2, 第n对元件的可靠性 P(AnBn)=P(An)+P(Bn)-P(An)P(Bn)=2r-r2 于是 R R=r(2-r)=r(2-r)n n=r=rn n(2-r)(2-r)n n 比较大小.比较2-rn与(2-r)n的大小。 显然: 2-rn(2-r)n.试验的独立性nn个试验E1, E2, En的独立性，指在n次试验中每次试验结果出现的概率都不受其他次试验的影响。则称这n个试验是独立的。n若E E1 1=E=E2 2= = =E =En n，称

8、为n次重复独立试验。第六节贝努利概型 考虑一个简单的试验，它只出现（或只考虑）两种结果，如。 一般地，试验E只有两种结果A和A,而P(A)=p（0p1）,则称称E E为贝努利试验或贝努利概型为贝努利试验或贝努利概型。 设E为贝努利试验，将E独立地重复进行n次,而且每次试验中结果A出现的概率保持不变。我们把这n次独立重复贝努利试验总起来看成一个试验，称这种试验叫n n重贝努利试验重贝努利试验。总之，n重贝努利试验有下面四个约定： （1）每次试验的结果只能是两个可能的结果A和A之一, （2）A在每次试验中出现的概率p保持不变,（3）各次试验相互独立,（4）共进行了n次.古典概型与贝努里概型不同，有

9、何区别？古典概型与贝努里概型不同，有何区别？请思考：请思考：贝努里概型对试验结果没有等可能的要求贝努里概型对试验结果没有等可能的要求.定理定理 对于n重贝努利试验，事件A在n次试验中出现k次的概率为 pqnkqpCkPknkknn 1, 1 , 0)(证明证明：由n重贝努利试验，事件A在某指定的k次试 验中出现，而在其余n-k次试中不出现的概率为kkknqpC 1kkknqpC 1由于 恰好是展开式(p+q)n中的第k项，所以常称 为二项概率公式。 而在n次试验中事件A发生k次共有Cnk种不同情况，对应的事件为互不相容的，由概率的可加性pqnkqpCkPknkknn 1, 1 , 0)(p p

10、k k(1-p)(1-p)n-k n-k = p= pk kq qn-kn-k 例1: 某厂生产的过程中出现次品的概率为0.002，求在该厂生产的1000件产品中恰好有10件次品的概率。 解: 设A表示事件“该厂生产的一件产品为次品”，则 P（A）=0.002，依题意所求的概率为990101010001000998. 0002. 0)10( CPP例2: 对某种药物的疗效进行研究，假定这药对某种疾病的治愈率0.8，现有10个人患此病的病人同时服用此药，求其中至少有6个病人治愈的概率。解: 假定“病人服用此药后治愈”为事件A，按题意 P(A)=0.8， 2 . 0)( AP 10人同时服用此药可

11、视为10重贝努利试验，因而由公式所求事件至少有6个病人治愈的概率为 97. 02 . 08 . 0)(1061010610 kkkknkCkPP小结：1. 条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。2. 乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，请牢固掌握。3. 独立性是概率论中的最重要概念之一，亦是概率论特有的概念，应正确理解并应用于概率的计算。4. 贝努利概型是是概率论中的最重要的概型之一，在应用上相当广泛。 例例 3 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的三人击中的 概率分别为概率

12、分别为0.4、0.5、0.7. 飞飞 机被一人击中而击落的机被一人击中而击落的 概率为概率为0.2,被两人击中而击落的概率为被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都若三人都 击中击中, 飞机必定被击落飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率求飞机被击落的概率. 设设B=飞机被击落飞机被击落 Ai=飞机被飞机被i人击中人击中, i=0,1,2,3 由全概率公式由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)则则 Ai 构成样本空间的一个划分。构成样本空间的一个划分。解解:依题意，依题意，P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6,

13、 P(B|A3)=1 为求为求P(Ai ) , 设设 Hi=飞机被第飞机被第i人击中人击中, i=1,2,3 可求得可求得:)()(3213213211HHHHHHHHHPAP )()(3213213212HHHHHHHHHPAP )()(3213HHHPAP将数据代入计算得将数据代入计算得:P(A1)=0.36 ; P(A2)=0.41 ; P(A3)=0.14.于是于是 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)=0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落的概率为即飞机被击落的概率为0.458.例4: 要验收一批（100件）乐器，验收方案如下：自该乐器中随机地取3件测试（设3件乐器的测试是相互独立的），如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收。 设一件音色不纯的乐器经测试查出为音色不纯的概率为0.95；而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01，如果已知这100件乐器中恰有4件是音乐不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少？ 解: 设以Hi（i=0,1,2,3）表示事件“随机地取出3件乐器，其中恰有i件音色不纯”，H0,H1,H2,H3是的一个划分，以A表示事件“这批乐器被接收”。 已知一件音色纯的乐器，经测试被认为音色纯的概率为0.99，而一件音色