线性代数单元辅导

1、.d1180cedd9096bfb268402aaca58af4a.pdf 第 9 页 共 9 页芁蕿螁蚂羁莁蚇螁肃薇薃螀膆莀葿蝿莈膂袇蝿肈蒈螃螈膀芁虿螇节蒆薅螆羂艿蒁袅肄蒄螀袄膆芇蚆袃艿蒃薂袃肈芆薈袂膁薁蒄袁芃莄螃袀羃蕿虿衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿膃螅羆膂荿蚁羅芄节薇羄羄蒇蒃羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀芈薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅蒂螄肈莇莅蚀肇肇薀薆蚄腿莃蒂蚃芁蕿螁蚂羁莁蚇螁肃薇薃螀膆莀葿蝿莈膂袇蝿肈蒈螃螈膀芁虿螇节蒆薅螆羂艿蒁袅肄蒄螀袄膆芇蚆袃艿蒃薂袃肈芆薈袂膁薁蒄袁芃莄螃袀羃蕿虿衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿膃螅羆膂荿蚁羅芄节薇羄羄蒇蒃羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀芈薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅蒂螄肈莇莅蚀肇肇薀薆

2、蚄腿莃蒂蚃芁蕿螁蚂羁莁蚇螁肃薇薃螀膆莀葿蝿莈膂袇蝿肈蒈螃螈膀芁虿螇节蒆薅螆羂艿蒁袅肄蒄螀袄膆芇蚆袃艿蒃薂袃肈芆薈袂膁薁蒄袁芃莄螃袀羃蕿虿衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿膃螅羆膂荿蚁羅芄节薇羄羄蒇蒃羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀芈薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅蒂螄肈莇莅蚀肇肇薀薆蚄腿莃蒂蚃芁蕿螁蚂羁莁蚇螁肃薇薃螀膆莀葿蝿莈膂袇蝿肈蒈螃螈膀芁虿螇节蒆薅螆羂艿蒁 线性代数单元辅导1I、基本要求1. 熟练掌握n阶行列式的定义2. 熟练掌握行列式的性质及计算方法3. 熟练求解线性方程组的克莱姆法则II、内容提要一、主要概念，重要性质1. n阶行列式n阶行列式定义为（为行列式记号） 其中为第i行第j列第元素，为的代数余子式一阶

3、行列式定义为：二阶、三阶行列式可用“对角线法则”记忆，但是四阶四阶以上的行列式不使用对角线法则：注：对角线法则记忆顺序 2. 余子式、代数余子式的定义行列式中，删去所在的第i行第j列所得到的n1阶行列式，称为的余子式，记为，而称为的代数余子式3. 特殊行列式（三角行列式，对角行列式，奇数阶的反对称行列式、范德蒙行列式）的计算上三角行列式下三角行列式（包括对角形行列式）等于对角元之积奇数阶的反对称行列式值为0n阶范德蒙行列式等于个因子的连乘积：4. 行列式的性质（1） 行列式与其转置行列式相等行列式表示行列式的转置行列式，并且因此，行列式对于列成立的性质对于行也成立； 行列式对于行成立的性质对于

4、列也成立。（2） 行列式两行（列）对换，其值不变 （3） 若行列式的某一行的元素有公因子，则可把公因子提出 推论：如果行列式中有某行（或某列）元素全为0，则行列式值为0（4） 若行列式中某行元素均为两项之和，则可拆开即 注意其他元素均保持不变（5） 若把行列式的某行乘上一常数加到另一行上，则行列式的值不变 推论：如果行列式有两行（或两列）元素相同，则行列式值为0（6） 行列式可按任一行展开（7） 行列式中任意一行的元素与另一行相应元素的代数余子式乘积之和为零即设n阶行列式为D，则有 或者 5. 行列式计算的方法：（1） 利用行列式公式或利用展的性质简化行列式，使许多元素成为0，而且要尽量使0出

5、现在同一行（列）中，从而展开逐次降阶，直至2阶（或3阶）行列式而算出（2） 利用行列式的性质，将其化为上三角或下三角行列式，则其值即为对角线上元素之积（3） 如果行列式为特殊的行列式，则可直接得出结果例：奇数阶的反对称行列式值为0范德蒙行列式可由公式直接得出结果对角行列式、三角行列式的值为对角线上元素之积等等6. 克莱姆法则计算n元一次方程组的解（1）如果线性方程组的系数行列式，则这个方程组有唯一解，并可以表示为 其中，是把中的第j列换成常数项，其余各列均不变得行列式 （2）如果齐次线性方程组 的系数行列式，则这个方程组只有零解。二、例题解析1. 为什么是错误的？解：四阶或四阶以上的行列式，“

6、对角线法则”不再成立，正确的解法是，按第一行展开 2. （1），对吗？ （2），对吗？解：都不对（1） 原化简过程是第2行乘以2，再减去第1行，应该注意，当第2行乘以2时，行列式变成原行列式的2倍，所以错。应该修改成 （2） 原化简过程师第1，2行对调，再用新的第2行减去新的第一行的2倍。当第1，2行对调时，行列式改变了符号，所以错。按照行列式的性质，应该有 3. 中元素的余子式， ，代数余子式 解：，4. （ ）A BC D解：A中利用展开的性质可得B中行列式是把原行列式中第2行乘以（1），再把第1行加到第2行，因此他等于原行列式的相反数 C 犯了“连环减”的错误：C中行列式恒等于零。因为如

7、果把它的第2，3行都加到第1行，则第一行元素全变成0 D 中的行列式等于原行列式的2倍，因为把原行列式第2行乘以2以后，再减去第1行得到的5. 已知104，143，377均能被13整除，试不算出行列式的值，用行列式的性质证明 能被13整除证明：（巧用行列式的性质）将第一行乘以100，第二行乘以10，加到第三行得到最右端行列式元素皆整数，由行列式定义，知道其值为整数，故原行列式能被13整除6. 设，（1）求（2）利用（1）的结果求解：（1） （2）利用行列式的展开定理进行计算 第二行元素乘以第四行元素的代数余子式相加，得 于是，7.计算行列式 解：法一（化三角行列式法）原式19法二（逐次降阶法）

8、原式8.计算行列式解：按第1列展开可以得到一个递推式，依次进行计算 9. 证明证明：（拆行（列）发计算行列式） 对于左端利用行列式的性质，将第1列拆开得到两个行列式 左端 将第一个行列式中用第3列减去第1列，在第2个行列式中用第2列减去第1列 左端 右端 得证。10（利用范德蒙行列式的结论计算行列式）计算解：依次将第1行换到第行得 依次类推再作交换可得标准的范德蒙行列式如下 11.（克莱姆法则的应用）方程组有唯一解时的值为 解：根据克莱姆法则可知，方程组有唯一解的充分必要条件是计算得 因为可得 肀荿蝿肅聿蒁薂羁膈薃螇袆膇芃薀螂膆蒅螆螈膅薈蚈肇膅芇袄羃膄荿蚇衿膃蒂袂螅膂薄蚅肄芁芄蒈羀芀莆蚃袆艿薈蒆袂艿芈螂螈芈莀薄肆芇蒃螀羂芆薅薃袈莅芅螈螄莄莇薁肃莃葿螆罿莃蚂蕿羅莂莁袅袁羈蒄蚈螇羇薆袃肅羇芅蚆羁羆莈袁袇肅蒀蚄螃肄薂蒇肂肃节蚂肈肂蒄薅羄肁薇螁袀肁芆薄螆肀荿蝿肅聿蒁薂羁膈薃螇袆膇芃薀螂膆蒅螆螈膅薈蚈肇膅芇袄羃膄荿蚇衿膃蒂袂螅膂薄蚅肄芁芄蒈羀芀莆蚃袆艿薈蒆袂艿芈螂螈芈莀薄肆芇蒃螀羂芆薅薃袈莅芅螈螄莄莇薁肃莃葿螆罿莃蚂蕿羅莂莁袅袁羈蒄蚈螇羇薆袃肅羇芅蚆羁羆莈袁袇肅蒀蚄螃肄薂蒇肂肃节蚂肈肂蒄薅羄肁薇螁袀肁芆薄螆肀荿蝿肅聿蒁薂羁膈薃螇袆膇芃薀螂膆蒅螆螈膅薈蚈肇膅芇