IH旋转面的方程

1、4 旋转面旋转面一条平面曲线绕同平面的另外一条直线旋转而一条平面曲线绕同平面的另外一条直线旋转而产生的曲面产生的曲面. .旋转面的轴：旋转面的轴：直线直线子午线（母线）：子午线（母线）：曲线曲线把曲线所在的平面取做坐标平面，直线取做把曲线所在的平面取做坐标平面，直线取做坐标轴建立坐标系，来建立旋转面的坐标轴建立坐标系，来建立旋转面的方程方程. .旋转面的方程旋转面的方程例5 把双曲线分别绕虚轴和实轴旋转，求旋转面的方程22221,0.yzbcx22222222222222( , , )( , )1(1).( , , )( , ,)1(2).解，绕虚轴旋转时，可变成 0，旋转面的方程是绕实轴旋转

2、时，变成 0，旋转面的方程是。x y zxyzxyzbcx y zyxzyxzbc(1)(2)方程和所表示的曲面，分别称和单叶旋转双曲面双叶旋转双曲面22222222222222,0.而原来双曲线的渐近线0经过旋转，分别变成两个圆锥面0(绕虚轴)，0（绕实轴）。yzbcxxyzyxzbcbcyzxo xyoz单叶旋转双曲面双叶旋转双曲面例6：给定一点和不过它的一平面，求和它们等距离的点所形成的曲面。解：给定的点到给定的平面有一条垂线，曲面显然对称于这条垂线，因而是以垂线为轴的旋转面，过垂线任意取一个平面，曲面在这个平面上的交线是一条抛物线，所以曲面就是一条抛物线绕它自己的轴旋转说产生的曲面旋，

3、转这种曲面叫抛物面。022220222(0 0, ),( , , )|,(),20.以给定的平面为XY平面，以垂线为z轴建立坐标系，设给定的点为，设是曲面上任意一点，那么 到XY平面的距离即所以，曲面方程是PcP x y zPdP Pxyzczxyczc2222202020,00在平面上的交线为-即是一抛物线.xxyczcyczcxx例7 设直线 和 是两条不共面又不垂直的直线，求 绕 旋转所成曲面的方程.1l2l2l1lXYZO2l1l解：以 为 轴, 和 的公垂线为 轴建立坐标系.设 与 轴的交点为 ，方向为2lX1lZX1l2l( ,0,0)a(0,1, ).b2222222222222

4、2,:, ,.0,( , , )( , )1.1又因为 和 不共面，也不垂直，所以设是曲面上的点，过 做平行于平面的平面，该平面和 的交点是，点 和点的与 轴的距离相等，即，所以所求的曲面的方程为xalytllzbtabP x y zPzXYlazbPzzxyabxyzaa b旋转曲面的一般方程旋转曲面的一般方程设旋转曲面的母线方程为：12( , , )0,:( , , )0.F x y zCF x y z000:.xxyyzzLlmn旋转轴为过点 的直线的方程为：0000(,)Mx y zxyzLC0M1M( , , )设是旋转曲面上任意一点.M x y zM(,).1111过做垂直于旋转轴 的平面，该平面交母线 于点那么有MLCMx y z1001,| |LM MM MM M 轴12111222200010221010(,)0(,)0()()()0,()()()()()() .F x y zF x y zl xxm yyn zzxxyyzzxxyyzz111111即，,111从上面消去参数，便得到旋转面的一般方程.x y zS四个方程，消去三个参数，理论上是可行的。1