13—立体几何中的向量方法

1、13立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法【基础巩固基础巩固】1.已知已知 a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若若 ab,则则与与的值可以是的值可以是()(A)2,(B)- ,(C)-3,2(D)2,22. 如 图 所 示如 图 所 示 ,PD 垂 直 于 正 方 形垂 直 于 正 方 形 ABCD 所 在 平 面所 在 平 面 ,AB=2,E 为为 PB 的 中的 中点点,cos=,若以若以 DA,DC,DP 所在直线分别为所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系,则点则点 E 的坐标为的坐标为()(A)(1,1,1)(B)(1,1, )(C)(1,

2、1, )(D)(1,1,2)3.正方体正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为的棱长为 a,点点 M 在在 AC1上且上且=,N 为为 B1B 的中点的中点,则则|为为()(A)a(B)a(C)a(D)a4.如图所示如图所示,已知已知 PA平面平面 ABC,ABC=120,PA=AB=BC=6,则则|等于等于()5.若向量若向量 a=(1,2),b=(2,-1,2)且且 a 与与 b 的夹角的余弦值为的夹角的余弦值为 ,则则=.6.已知已知 A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点点 P(x,-1,3)在平面在平面 ABC 内内,则则 x=.【空间三种角】【空间三种角】1异

3、面直线所成角异面直线所成角设异面直线设异面直线 a，b 所成的角为所成的角为，则则 cos |ab|a|b|， 其中其中 a，b 分别是直线分别是直线 a，b 的方向向量的方向向量2直线与平面所成角直线与平面所成角如图所示如图所示，设设 l 为平面为平面的斜线的斜线，lA，a 为为 l 的方向向量的方向向量，n 为平面为平面的法向的法向量量，为为 l 与与所成的角所成的角，则则 sin |cosa，n|an|a|n|3二面角二面角(1)若若 AB， CD 分别是二面角分别是二面角-l-的两个平面内与的两个平面内与棱棱l 垂直的异面直线垂直的异面直线， 则二面角则二面角(或其补角或其补角)的大小

4、就是向量的大小就是向量AB与与 CD的夹角的夹角，如图如图(1)平面平面与与相交于直线相交于直线 l，平面平面的法向量为的法向量为 n1，平面平面的法向量为的法向量为 n2， n1，n2，则二面角则二面角 -l -为为或或设二面角大小为设二面角大小为，则则|cos |cos |n1n2|n1|n2|，如图如图(2)(3)精选文档2考点一考点一异面直线所成角异面直线所成角典例引领典例引领(2015全国卷全国卷)如图如图，四边形四边形 ABCD 为菱形为菱形，ABC120，E，F 是平是平面面ABCD 同一侧的两点同一侧的两点，BE平面平面 ABCD，DF平面平面 ABCD，BE2DF，AEEC(

5、1)证明证明：平面平面 AEC平面平面 AFC；(2)求直线求直线 AE 与直线与直线 CF 所成角的余弦值所成角的余弦值即时应用即时应用如图如图，四周体四周体 ABCD 中中，O 是是 BD 的中点的中点，CACBCDBD2，ABAD 2(1)求证：求证：AO平面平面 BCD；(2)求异面直线求异面直线 AB 与与 CD 所成角的余弦所成角的余弦值值考点二考点二直线与平面所成角直线与平面所成角典例引领典例引领(2016全国丙卷全国丙卷)如图如图，四棱锥四棱锥 P-ABCD 中中，PA底面底面 ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M 为线段为线段 AD 上一点上一点，AM2MD，N

6、 为为 PC 的中点的中点(1)证明证明 MN平面平面 PAB；(2)求直线求直线 AN 与平面与平面 PMN 所成角的正弦值所成角的正弦值精选文档3即时应用即时应用(2016合肥市其次次质量检测合肥市其次次质量检测)如图如图，六面体六面体 ABCD-HEFG 中中，四边形四边形 ABCD 为为菱形菱形，AE，BF，CG，DH 都垂直于平面都垂直于平面 ABCD若若 DADHDB4，AECG3(1)求证：求证：EGDF；(2)求求 BE 与平面与平面 EFGH 所成角的正弦值所成角的正弦值考点三考点三二面角二面角典例引领典例引领(2016全国乙卷全国乙卷)如图如图， 在以在以 A， B， C，

7、 D， E， F 为顶点的五面体中为顶点的五面体中， 面面 ABEF为正方形为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角且二面角 D-AF-E 与二面角与二面角 C-BE-F 都都是是60(1)证明：平面证明：平面 ABEF平面平面 EFDC；(2)求二面角求二面角 E-BC-A 的余弦值的余弦值即时应用即时应用(2017河北省三市联考河北省三市联考)如图如图，三棱柱三棱柱 ADE-BCG 中中，四边形四边形 ABCD 是矩形是矩形，F 是是EG 的中点的中点，EAAB，ADAEEF1，平面平面 ABGE平面平面 ABCD(1)求证：求证：AF平面平面 FBC；(2)求二面角求二面角 B-FC-

8、D 的正弦值的正弦值精选文档413立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法基础巩固基础巩固1.已知已知 a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若若 ab,则则与与的值可以是的值可以是(A)(A)2,(B)- ,(C)-3,2(D)2,2解析解析:由题意知由题意知,解得解得或或2.如图所示如图所示,PD 垂直于正方形垂直于正方形 ABCD 所在平面所在平面,AB=2,E 为为 PB 的中点的中点,cos=,若若以以 DA,DC,DP 所在直线分别所在直线分别为为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系,则则点点 E 的坐标为的坐标为(A)(A)(1,1,1)(B)(1,1,

9、 )(C)(1,1, )(D)(1,1,2)解析解析:设设 P(0,0,z),依题意知依题意知 A(2,0,0),B(2,2,0),则则 E(1,1, ),精选文档5于是于是=(0,0,z),=(-1,1, ),cos=.解得解得 z=2,由题图知由题图知 z=2,故故 E(1,1,1).3.正方体正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为的棱长为 a,点点 M 在在 AC1上且上且=,N 为为 B1B 的中点的中点,则则|为为(A)(A)a(B)a(C)a(D)a解析解析:以以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz,则则 A(a,0,0),C1(

10、0,a,a),N(a,a, ).设设 M(x,y,z).点点 M 在在 AC1上且上且=,(x-a,y,z)= (-x,a-y,a-z)x= a,y= ,z= .M(, , ),|=精选文档6=a.故选故选 A.4.如图所示如图所示,已知已知 PA平面平面 ABC,ABC=120,PA=AB=BC=6,则则|等于等于(C)(A)6(B)6(C)12(D)144解析解析:由于由于=+,所以所以=+2=36+36+36+236cos 60=144.所以所以|=12.5.若向量若向量 a=(1,2),b=(2,-1,2)且且 a 与与 b 的夹角的余弦值为的夹角的余弦值为 ,则则=.解析解析:由已知

11、得由已知得 =,8=3(6-),解得解得=-2 或或=.答案答案:-2 或或6.已知已知 A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点点 P(x,-1,3)在平面在平面 ABC 内内,则则 x=.解析解析:依据共面对量定理设依据共面对量定理设=+,即即(x-4,-2,0)=(-2,2,-2)+(-1,6,-8),由此得由此得解得解得=-4,=1,所以所以 x=4+8-1=11.答案答案:111异面直线所成角异面直线所成角设异面直线设异面直线 a，b 所成的角为所成的角为，则则 cos |ab|a|b|， 其中其中 a，b 分别是直线分别是直线 a，b 的方向向量的方向向量精选文档

12、72直线与平面所成角直线与平面所成角如图所示如图所示，设设 l 为平面为平面的斜线的斜线，lA，a 为为 l 的方向向量的方向向量，n 为平面为平面的法向的法向量量，为为 l 与与所成的角所成的角，则则 sin |cosa，n|an|a|n|3二面角二面角(1)若若 AB， CD 分别是二面角分别是二面角-l-的两个平面内与的两个平面内与棱棱l 垂直的异面直线垂直的异面直线， 则二面角则二面角(或其补角或其补角)的大小就是向量的大小就是向量AB与与 CD的夹角的夹角，如图如图(1)平面平面与与相交于直线相交于直线 l，平面平面的法向量为的法向量为 n1，平面平面的法向量为的法向量为 n2， n

13、1，n2，则二面角则二面角 -l -为为或或设二面角大小为设二面角大小为，则则|cos |cos |n1n2|n1|n2|，如图如图(2)(3)考点一考点一异面直线所成角异面直线所成角典例引领典例引领(2015全国卷全国卷)如图如图， 四边形四边形 ABCD 为菱形为菱形， ABC120， E， F 是平面是平面 ABCD同一侧的两点同一侧的两点，BE平面平面 ABCD，DF平面平面 ABCD，BE2DF，AEEC(1)证明：平面证明：平面 AEC平面平面 AFC；(2)求直线求直线 AE 与直线与直线 CF 所成角的余弦值所成角的余弦值解解：(1)证明证明：连接连接 BD，设设 BDAC 于

14、点于点 G，连接连接 EG，FG，EF在菱形在菱形 ABCD 中中，不妨设不妨设 GB1由由ABC120，可得可得 AGGC 3由由 BE平面平面 ABCD，ABBC，可知可知 AEEC又又 AEEC，所以所以 EG 3，且且 EGAC在在 RtEBG 中中，可得可得 BE 2，故故 DF22在在 RtFDG 中中，可得可得 FG62在直角梯形在直角梯形 BDFE 中中，由由 BD2，BE 2，DF22，可得可得 EF3 22从而从而 EG2FG2EF2，所以所以 EGFG又又 ACFGG，所以所以 EG平面平面 AFC由于由于 EG平面平面 AEC，精选文档8所以平面所以平面 AEC平面平面

15、 AFC(2)以以 G 为坐标原点为坐标原点，分别以分别以 GB，GC的方向为的方向为 x 轴轴，y 轴正方向轴正方向，| GB|为单位长度为单位长度，建立空间直角建立空间直角坐标系坐标系 G-xyz由由(1)可得可得 A(0， 3，0)，E(1,0,2)，F1，0，22 ，C(0,3，0)，所以所以 AE(1，3， 2)，CF1， 3，22 故故 cos AE， CFAE CF| AE| CF|33所以直线所以直线 AE 与直线与直线 CF 所成角的余弦值为所成角的余弦值为33由题悟法由题悟法用向量法求异面直线所成角的一般步骤用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立

16、空间直角坐标系；选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的确定值两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的确定值即时应用即时应用如图如图，四周体四周体 ABCD 中中，O 是是 BD 的中点的中点，CACBCDBD2，ABAD 2(1)求证：求证：AO平面平面 BCD；(2)求异面直线求异面直线 AB 与与 CD 所成角的余弦值所成角的余弦值解

17、：解：(1)证明：连接证明：连接 OC，由由 CACBCDBD2，ABAD 2，O 是是 BD 的的中点中点，知知 CO 3，AO1，AOBD在在AOC 中中，AC2AO2OC2，则则 AOOC又又 BDOCO，因此因此 AO平面平面 BCD(2)如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角坐标系 O-xyz，则则 A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0，3，0)，D(1,0,0)， AB(1,0，1)， CD(1， 3，0)，|cos AB， CD| AB CD| AB| CD|24即异面直线即异面直线 AB 与与 CD 所成角的余弦值为所成角的余弦值为24考点二考点二直线与平面所成角直线与平

18、面所成角典例引领典例引领(2016全国丙卷全国丙卷)如图如图，四棱锥四棱锥 P-ABCD 中中，PA底面底面 ABCD，ADBC，AB精选文档9ADAC3，PABC4，M 为线段为线段 AD 上一点上一点，AM2MD，N 为为 PC 的中点的中点(1)证明证明 MN平面平面 PAB；(2)求直线求直线 AN 与平面与平面 PMN 所成角的正弦值所成角的正弦值解：解：(1)证明：由已知得证明：由已知得 AM23AD2取取 BP 的中点的中点 T，连接连接 AT，TN，由由 N为为 PC 的中点知的中点知 TNBC，TN12BC2又又 ADBC，故故 TN 綊 AM，所以四边所以四边形形AMNT

19、为平行四边形为平行四边形，于是于是 MNAT由于由于 MN 平面平面 PAB，AT平面平面 PAB，所以所以 MN平面平面 PAB(2)取取 BC 的中点的中点 E，连接连接 AE由由 ABAC 得得 AEBC，从而从而 AEAD，且且 AE AB2BE2AB2BC22 5以以 A 为坐标原点为坐标原点， AE的方向为的方向为 x 轴正方向轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz由题意知由题意知 P(0,0,4)，M(0,2,0)，C( 5，2,0)，N52，1，2，PM(0,2，4)， PN52，1，2， AN52，1，2设设 n(x，y，z)为平面为平

20、面 PMN 的法向量的法向量，则则nPM0，n PN0，即即2y4z0，52xy2z0，可取可取 n(0,2,1)于是于是|cosn， AN|n AN|n| AN|8 525所以直线所以直线 AN 与平面与平面 PMN 所成角的正弦值为所成角的正弦值为8 525由题悟法由题悟法向量法求线面角的向量法求线面角的 2 大途径大途径(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角转化为求两个方向向量的夹角(或其补角或其补角)(2)通过平面的法向量来求通过平面的法向量来求， 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角即求出

21、斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角， 取其余角就是斜线和取其余角就是斜线和平面所成的角平面所成的角即时应用即时应用(2016合肥市其次次质量检测合肥市其次次质量检测)如图如图，六面体六面体 ABCD-HEFG 中中，四边形四边形 ABCD 为为菱形菱形，AE，BF，CG，DH 都垂直于平面都垂直于平面 ABCD若若 DADHDB4，AECG3(1)求证：求证：EGDF；(2)求求 BE 与平面与平面 EFGH 所成角的正弦值所成角的正弦值精选文档10解：解：(1)证明：连接证明：连接 AC，由由 AE 綊 CG 可知四边形可知四边形 AEGC 为平行四边形为平行四边形，所以所以 EGAC，

22、而而 ACBD，ACBF，所以所以 EGBD，EGBF，由于由于 BDBFB，所以所以 EG平面平面 BDHF，又又 DF平面平面 BDHF，所以所以 EGDF(2)设设 ACBDO，EGHFP，由已知可得由已知可得，平面平面 ADHE平面平面 BCGF，所以所以 EHFG，同理可得：同理可得：EFHG，所以四边形所以四边形 EFGH 为平行四边形为平行四边形，所以所以 P 为为 EG 的中点的中点，O 为为 AC 的中点的中点，所以所以 OP 綊 AE，从而从而 OP平面平面 ABCD，又又 OAOB，所以所以 OA，OB，OP 两两垂直两两垂直，由平面几何学问由平面几何学问，得得 BF2分

23、别以分别以 OA， OB， OP的方向为的方向为 x 轴轴，y 轴轴，z 轴的正方向轴的正方向，建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系 O-xyz，则则 B(0,2,0)，E(2 3，0,3)，F(0,2,2)，P(0,0,3)，所以所以 BE(2 3，2,3)， PE(2 3，0,0)， PF(0,2，1)设平面设平面 EFGH 的法向量为的法向量为 n(x，y，z)，由由PEn0，PFn0可得可得x0，2yz0，令令 y1，则则 z2所以所以 n(0,1,2)设设 BE 与平面与平面 EFGH 所成角为所成角为，则则 sin | BEn| BE|n|4 525所以所以 BE 与平面与平面 E

24、FGH 所成角的正弦值为所成角的正弦值为4 525考点三考点三二面角二面角典例引领典例引领(2016全国乙卷全国乙卷)如图如图，在以在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中为顶点的五面体中，面面 ABEF 为正方形为正方形，AF2FD，精选文档11AFD90，且二面角且二面角 D-AF-E 与二面角与二面角 C-BE-F 都是都是 60(1)证明：平面证明：平面 ABEF平面平面 EFDC；(2)求二面角求二面角 E-BC-A 的余弦值的余弦值解：解：(1)证明：由已知可得证明：由已知可得 AFDF，AFFE，所以所以 AF平面平面 EFDC又又 AF平面平面 ABEF，故平面故平面 A

25、BEF平面平面 EFDC(2)过过 D 作作 DGEF，垂足为垂足为 G由由(1)知知 DG平面平面 ABEF以以 G 为坐标原点为坐标原点，GF的方向为的方向为 x 轴正方向轴正方向， | GF|为单位长为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系 G -xyz由由(1)知知DFE 为二面角为二面角 D -AF-E 的平面角的平面角，故故DFE60，则则 DF2，DG 3，可得可得 A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3，0,0)，D(0，0， 3)由已知得由已知得 ABEF，所以所以 AB平面平面 EFDC又平面又平面 ABCD平面平面 EFDCCD，故故 ABCD，CDEF由由 BEAF，可得可得 BE平面平面 EFDC，所以所以CEF 为二面角为二面角 C-BE-F 的平面角的平面角，CEF60从而可得从而可得 C(2,0， 3)所以所以 EC(1,0， 3)， EB(0,4,0)， AC(3，4， 3)， AB(4,0,0)设设 n(x，y，z)是平面是平面 BCE 的法向量的法向量，则则n EC0，n EB0，即即x 3z0，4y0，所以可取所以可取 n(3,0， 3)设设 m 是平面是平面 ABCD 的法向量的法向量，则则m AC0，m AB0，同理可取同理可取 m(0，3，4)则则 cos n，mnm|n|m