第6章 数字控制器直接设计3

1、第六章 数字控制器的直接设计方法之三内容提要n概述n参数优化的低阶控制算法n最少拍随动系统的设计n最少拍无波纹随动系统的设计n惯性因子法n非最少的有限拍控制n达林算法n小结惯性因子法n惯性因子法是针对最少拍系统只能适用于特定的输入类型，而对其它输入不能取得满意效果而采用的一种改进方法，它以损失控制的有限拍无差性质为代价，而使系统对多种类型的输入有较满意的响应惯性因子法（2）n基本思想：使误差对系统的Z传函 不再是最少拍控制中的 ，而是通过一惯性因子项 将其修改为 即： 采用惯性因子后，(1)系统已不可能在有限个采样周期内准确到达稳态，而只能渐近地趋于稳态,(2)但系统对输入类型的敏感程度却因此

2、降低, (3)通过合适地选择参数 c，可对不同类型的输入均作出较好的响应( )( )1( )( )erE zzGzR z1( )(1)( )qezzF z11 (1)(1)czc*11( )( )1( )1rerG zzGzcz 1*1( )( )1rrG zczGzcz惯性因子法（3）n设系统广义对象传函为 ，针对单位速度输入设计最少拍控制器，选择 因此 采用惯性因子法，有： 由此可得数字控制器的Z传函为11110.005(10.9)( )(1)(10.905)zzGzzzp112121( )(1)( ),ulriiGzzb zzm zm z未考虑波纹情形11121( )1( )(1) (1

3、)( )(1)vqerjjzGza zzF zz12( )2rG zzz12*1(2)( )1rc zzGzcz*11*11( )200(1 0.905)(2)( )( )1( )(1)(1 0.9)rcprGzzczG zGzGzzz 惯性因子法（4）惯性因子法（5）惯性因子法（6）n由图形可以看出，适当选取 c，可以明显改善最少拍控制系统对不同类型输入的适应性。当 时，虽然系统不再是在最少的有限拍内达到稳态，但系统仍能很快收敛于稳态，并实现无静差跟踪n在惯性因子法中，参数 c 应满足 以保证系统稳定，它可通过实验试凑的方法确定，也可以根据某些优化准则来选定，如均方误差1c 20( )kJe

4、 k0c惯性因子法（7）n使用惯性因子法并不能改善系统对所有输入类型的响应，一般只适用于输入类型不多的情况。如果要使控制系统适应面广，则可针对各种输入类型分别设计，在线切换非最少的有限拍控制n在最少拍设计的基础上，把闭环传函Gr(z) 中 z-1的幂次适当提高一到二阶，闭环系统的脉冲响应将比最少拍时多持续一到二拍才归于零，这时显然已不是最少拍系统，但仍为一有限拍系统。由于维数的增高，在设置控制初值 u(0) 或选择Gr(z) 及 1-Gr(z) 中的若干待定系数时会增加一些自由度。一般情况下，这有利于降低系统对参数变化的敏感性，并减小控制作用非最少的有限拍控制（2）n对一阶对象 ，为降低闭环系

5、统对参数变化的敏感性，针对单位速度输入设计非最少的有限拍控制器，并验证当对象的传函变为 时系统的输出. 按最少拍设计时，选择 如果不取 ，而是取 ，则110.5( )10.5pzGzz1*10.6( )1 0.4pzGzz112121( )(1)( )ulriiGzzb zzm zm z11121( )1( )(1) (1)( )(1) ,1vqerjjzGza zzF zzF注 意 ：( )1F z1( )10.5F zz121( )1( )(1) (10.5)erzGzzz13( )1.50.5rGzzz非最少的有限拍控制（3） 非最少的有限拍控制器为 采用 Gc(z) 的闭环系统对单位速

6、度输入的响应为 系统从第3拍开始准确跟踪输入，比最少拍系统增加了一拍 当对象传函变为 ，则闭环传函变为 对单位速度输入的响应为1213(1 0.5)(3)( )1 1.5czzG zzz1132341( )( )( )(1.50.5)1.5341rTzC zR z G zzzTzTzTzz1*10.6( )1 0.4pzGzz*112*1234( )( )0.6(1 0.5)(3)( )1( )( )1 0.10.30.10.1cpcpG z GzzzzzG z Gzzzzz*2345( )( )( )1.82.883.8285.026CzR zzTzTzTzTz非最少的有限拍控制（4） 显然

7、，尽管系统参数发生了变化，但系统的输出响应仍然是比较好的达林算法n在控制系统设计中，纯滞后往往是影响系统动态特性的不利因素，这种系统如果控制器设计不当，常常会引起系统产生大的超调或振荡。对这类系统的控制要求，快速性是次要的，而主要要求系统没有超调或很少的超调。达林（Dahlin）算法就是一种专门针对工业生产过程中含有纯滞后控制对象的直接数字设计算法n达林算法的设计目标是：设计数字控制器使系统的闭环传函为具有纯滞后的一阶惯性环节，且其滞后时间等于被控对象的滞后时间，即：具有纯滞后的一阶惯性环节1/1(1)( ),1T TlrzG zzelTz1seT s达林算法（2）n被控对象为带纯滞后的一阶惯

8、性环节：n期望1111/11/11111(1)( )111T TT TTssNNpT TT TeKeeezGzZKzKzNTsTsezez=，11/1/1(1)( )(1)(1)( )( )(1( )(1)1(1)T TT TrcT TT TT TNprG zeezG zGzG zKez eez/1/111( )11T TTssNrT TeeKeG zzZezsT s达林算法（3）n被控对象为带纯滞后的二阶惯性环节： 其中同样期望121112/11121( )(1)(1)(1)(1)TssNpT TT TCC zeKeGzZKzsT sT sezez12/11/11(1)12(1)(1)(1)

9、( )()1(1)T TT TT TcT TT TNeezezG zK CC zezez/1/11( )1T TNrT TeG zzez/1122111()T TT TCTeT eTT 1221(1/1/)/1/212211()TTTT TTCeTeT eTT达林算法（4） 对被控对象 经 的采样和零阶保持后，其广义脉冲传函为 根据达林算法，构成时间常数为 的一阶惯性环节与纯滞后时间为 的纯滞后环节串联而成的理想闭环系统：2( )(1)speGss s2131110.368(10.718)( )(1)(1)(1 0.368)sspeezGzZzss szz1Ts2Ts2s1311(1)0.39

10、3( )11 0.607exp(/)exp( 1/2)lrzzG zzzzT T达林算法（5）数字控制器Gc(z)为单位阶跃输入下闭环系统的输出为控制量的Z变换为可见，闭环系统以指数形式较快的趋于稳态值，(但)控制量则以2T 大幅度衰减振荡(振铃) 111131.068(1)(1 0.368)( )(10.718)(1 0.6070.393)czzG zzzz345( )( )( )0.3930.6320.775rC zR z G zzzz123( )( )1.0680.5120.5230.281( )pC zU zzzzGz达林算法（6）n振铃现象及其消除 所谓振铃（Ringing）现象，是

11、指数字控制器的输出u(k)以2T 大幅度上下摆动。振铃幅度表示为RA 振铃现象对系统的输出几乎无影响，但会增加执行机构的磨损，并影响多参数系统的稳定性 振铃现象与被控对象的特性、闭环时间常数、采样时间、纯滞后时间的大小等有关达林算法（7） 振铃现象产生的根源： 由于 ，令 ，则 对单位阶跃输入 ，它有极点z =1，如果u(z)的极点在负实轴上，且与z = -1接近，则上述两个极点造成的输出瞬态项在不同的时刻可能叠加也可能抵消，导致输出出现波动 规律： 极点距离 z = -1越近，振铃现象越严重11( )1R zz( )( )( )( )( )rpC zR z G zU z Gz( )( )(

12、)rupG zzGz( )( ) ( )uU zz R z引用设计1,稳定性和动态响应关系 在采样系统稳定的情况下，对应于单位圆内或单位圆上不同位置的极点，对同一输入将有不同的动态响应达林算法（8） 对带纯滞后的一阶惯性环节 其极点 ，不在负实轴上，因此不会出现振铃现象11/1/11( )1T TNpT TeGzKzez11/1/1( )(1)(1)( )( )(1)(1)T TT TruT TT TpG zeezzGzKeez/1/11( )1T TNrT TeG zzez/0T Tze达林算法（9） 对带纯滞后的二阶惯性环节 第一个极点 ，不会出现振铃现象 第二个极点 ，由于 ，将引起振铃

13、/1/11( )1T TNrT TeG zzez/0T Tze121112/11( )(1)(1)NpT TT TCC zGzKzezez12/11/11211(1)(1)(1)( )(1)(1)T TT TT TuT TeezezzCKCzezC21zCC 201lim1TCC 达林算法（10） 振铃幅度RA：用单位阶跃输入下数字控制器第0次输出量和第1次输出量的差值表示 u(z)可以写成： 单位阶跃输入下 因此 对带纯滞后的二阶惯性环节121212121( )1ub zb zza za z1212121211111( )( )( )1(1)()1(1)ub zb zU zz R zazaa

14、zbaz11111 (1)RAbaab 12/21()()T TT TT TCRAeeeC0lim2TRA达林算法（11） 振铃现象的消除 方法1：找出Gc(z)中引起振铃的因子（z = -1附近的极点），令其中的z = 1。系统稳态值不变，但瞬态特性会变化，数字控制器的动态性能也会影响 方法2：通过选择采样时间 T 和闭环系统时间常数，使系统振铃幅度抑制在最低限度内达林算法（12） 对带纯滞后的二阶惯性环节 极点 z = -C2/C1导致振铃，令(C1+C2z-1)中 z = 1，得到Gc(z)为12/11/11112(1)(1)(1)( )()(1(1)T TT TT TcT TT TNe

15、ezezG zK CC zezez121212/11/1112/11/11(1)(1)(1)( )()(1(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1(1)T TT TT TcT TT TNT TT TT TT TT TT TT TNeezezG zK CCezezeezezKeeezez达林算法（13） 对前例 显然 z = -0.718是一个接近 z = -1的极点，它是引起振铃现象的主要原因。在因子 (1+0.718z-1)中令 z = 1，得到新的Gc(z)为 因此 111131.068(1)(1 0.368)( )(10.718)(1 0.6070.393)czzG zzzz11131.068(1)(1 0.368)( )1.718(1 0.6070.393)czzG zzz345( )( )( )0.2290.5320.716cC zR z Gzzzz123( )( )0.6220.1490.0900.158( )pC zU zzzzGz311340.229(1 0.718)( )1