大学高等数学第一章总结

1、第一章总结求极限应注意的问题 在求极限之前，应先简化表达式 简化的方法： 先有理化 使用无穷小量的等价替换 若部分表达式有非零极限，则可用极限值代替这部分表达式常用的等价无穷小量kxxkxxaxaxxxxxexxxxxxxxxkkxx11,1)1 (ln1,2cos1)1ln(,1arctan,arcsintan,sin02量时，常用的等价无穷小当求极限的方法 两个重要极限 夹挤定理 单调有界必有极限（递推数列，归纳法）子列 若数列或函数有两个子列具有不同的极限，则数列或函数是发散的 若有发散到无穷大的子列，则数列是无界的 若有收敛的子列，则数列不是无穷大 数列的奇序列和偶序列收敛于相同的极限

2、，则数列也收敛于相同的极限连续性 连续性的定义 间断点的分类 闭区间上连续函数的有界性 零点存在定理（介值定理）收敛则数列收敛且若数列则若则若存在则若下列结论正确的是, 0)(lim, 4)(lim,lim,lim, 31limlimlim,lim, 2lim, 1lim, 1()1222111nnnnnBbnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaAaBbAallaaaalaaaan例121x)2x(2lim12sin2limcos)cos1 (sinlimsincossinlimsintanlim320 x320 x30 x30 x30 xxxxxxxxxxxxxxxx例2. 3)3

3、21 (,331)32()31(33,1)32()31(3)321 ()321 (111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnlimlim应用夹挤定理得到解：331)32()31(31)32()31(3)321 ()321 ()32()31()32()31()32()31(1111nlimnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnelimlimlimlim另解：., 8)2(limaaxaxxx求例3.2301.23)3(21)3(02301.23)3(21)3(03 ,),2, 1()3(, 301111121111nkkkkkknnnnxnxxxxxxkxxxxxxxxnxxxx时

4、，由数学归纳法知，则时，设皆为正数，故解：由题设知限。的极限存在，并求此极证明数列设)(0,23)3()3(,03)23()3()3(111舍去或由设极限存在。所以数列单调增加，故时，又当aaaaaxxlimxlimaxlimxxxxxxxxxxxxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnNkxxxxkxkx1)1 (lim1)1 (lim100例40) !()3() 1, 0(0)2()0(0!) 1 (. 01| ,21nnlimapanlimanalimxlimqqxxlimxnnnpnnnnnnnnn，则满足设数列例5.25)21(2)1ln(2(. 1010)1ln(0)()1ln(

5、)()1ln(:, 2)()1ln(200202220 xxxlimbaabxaxxlimxbxaxxlimxbxaxxbaxbxaxxlimxxxx的高阶无穷小，故是显然，解求例6.41161511411)1)(1(1)1)(1()1 ()(11.1010.,1112121121baaaaxxlimaaxxaaxlimxaaxlimabbabaxlimbaxbaxlimxxxxx，从而原式，即解：显然，求已知例7. 112)/1) 1(2() 1(2()2) 12(. 2) 12() 12() 12(/1/111111xxxxxxxxxxxxexelimeexlimxexlimbxxlimx

6、exlimkbkxyexy，解：设斜渐近线为的斜渐近线。求曲线nnn) 1arctan(lim2nnnnnaAa1)(lim, 0lim求nnnnknaka112)(lim,1求设例8)0, 0)()()()4()0)()()()3()0, 0)()()()2()0)()()() 1 (nmxOxOxOnmxOxOxOnmxoxoxonmxoxoxonmmnnmnnmmnnmn例9无穷小的阶)0(1)3()0(1,1tan)0(11tan1)(tan)2()0(11211) 1 (8/12/12/12/14/38/1332232xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

7、x的值，并求极限。且不为零，确定存在，如果极限设。求存在，并且设paaxaxfexxfxfxxpxxxxx)(lim0)2)(lim, 2112sin)(1lim)(lim) 1) 1/(1/ 10300例10.)0(0sin, 0.)0(sinsin, 0,00,sin0,)(0000003baafxbxlimbafbbxbxlimbxbxlimbbaxxxbxxbxaxfxxx综上所述，若则解：若的关系。求处连续在设.,11,41,313)(BAxxxxxBAxxf确定连续，在设例11. 0)()2 , 0(0)2(, 01)0(2 , 0)(, 2)()2 , 0(22feffxfxex

8、fexxx使得至少存在一点根据零点存在定理知，。上连续，且在解：设内至少有一个根。在区间求证方程例12)()0()()2()(),0()()0(, 0)(,),()()().()(, 0),2()0(,2 , 0)(affafafaFfafFaxFxfaxfxFfafaaffaxf上连续，且在显然解：作辅助函数使得必有一点证明且上连续在设综上所述，结论成立。使得必有若或可取则若).()(0)(), 0(, 0)()0(),()0(.0, 0)()0(),()0(fafFaaFFaffaaFFaff例13至少有一个零点。上定理知，在由连续函数的零点存在使知存在因为使知存在因为解：设为常数，且，其

9、中至少有一个根，求证：方程),(0)(,)(; 0)(,)(,cos)(. 100cosbaafaxflimbfbxflimxqpxxfqqpxqpxxx例14必为无穷小；为无穷小，则若必为无穷小；有界，则若必有界；无界，则若必发散；发散，则若则正确的是满足与设数列1)4() 3()2() 1 ()., 0nnnnnnnnnnnnnyxyxyxyxyxlimyx正确。,1)()4(1,1sin)3(12, 02,12,2, 0)2(;1,) 1() 1 (nnnnnnnnnnnxxyyynxknknnyknnknxnyx例15必有间断点必有间断点必有间断点必有间断点则有间断点且连续函数为内有定

10、义，在和设)()()4()()3()()2()() 1 (),)(, 0)(,)(),()()(2xfxgxgfxgxfgxgxfxfxgxf1, 01, 1)(, 1)()3(1, 11, 1)()2(1, 01, 1)(, 2sin)() 1 (xxxgxfxxxgxxxgxxf练习)1.121(lim)3()2ln() 1ln(lim)2(tan1sin1lim) 1 (222230nnnnnxxxbxaxnxx)1).(1)(1 (lim, 1|)6()cos1 (cos1lim)5()sincos2ln(121lim)4(22030nnxxxxxxxxxxxx求设baxbaxxcbacbxaxxbabaxxxaaaaxxxinnmnnn和求设和求设。试确定，若其中 , 51lim)10(, , 2)5(lim)9(,0)1(lim)8()0( lim )7(212221 )(lim, )(lim, 0 , 1sin10 , 10 , )()12(1lim, 1 , 0, )1(21, 0 (11)10110 xfxfxxxxexfxxnxxxxxxxnnnnnn求设并且收敛证明设).1()() 1 , 0() 1 ()0(,1 , 0)14(4,4,4212)()13(3n