数学与思维发展的关系

1、二、数学与思维发展的关系 人类的思维是后天形成的，思维受到各种因素的影响，并表现出多面性。但符合逻辑的、精密的、深刻的、聪慧的思维是每个人希望达到的最高境界之一。 数学与数学教育如此受重视，不完全是因为其广泛的用途，也不能完全从应用的角度来看待数学。在上一讲中我们说明了数学能提供观察世界的一般观念和方法外，实际上数学对人的其他发展，尤其是对人的思维发展有不可或缺的作用和价值，数学是为人的更完美发展提供了良好训练。二、数学与思维发展的关系 人们常把数学形容为思维的体操。培根说过，哲理使人深刻，诗歌使人聪慧，演算使人精密。其实数学不单单使人精密，数学同样也使人深刻，使人聪慧！ 哲学、诗歌不要求每人

2、都会 数学每人必须会,因为数学能使青少年更精密、更深刻、更聪慧！ 1、归纳与完全归纳 思维的一种形式是归纳。那么归纳性质的表征是什么呢？所谓归纳，是指通过对有限多个同类对象的观察分析，猜测一种共性或规律，并证明这种共性的确是正确的一种思维方法。 当“同类对象”为有限多个时，我们将对象一一验证就可获得结论（对或错）；但当“同类对象”无法穷举或实际上就是无限多时，我们原有的思维方法就无法具有说服力了。因此必须寻找一种处理无限的思维方法.即在数学上所要求的完全归纳,确保其正确性.1、归纳与完全归纳 我们熟悉的完全归纳法数学归纳法。 我们来看一些（非完全归纳）例子。 2( )11(1)13,(2)17

3、,(3)23(,(4)31(1)0)1211111nffxxxffffnf二 项 式满 足 ：都 是 素 数 ，对那 么 是 否 可 以 下 结 语 ：显 然 不所 有 的 ，是 素 数 ？能 。 实 际 上就 不 是 素 数 。1、归纳与完全归纳 2222( )72491( )72490(72490)72490724907249172490272490172491( )fxxxfnnnfnf对 所 有 的 ，是 素 数有 趣 的 是 二 项 式满 足 ：当时 都 是 素 数？， 那 么 是 否可 以 下 结 语 ：也 不 能 。 实 际 上就 不 是 素 数 。1、归纳与完全归纳232425

4、43211(1)(1)1(1)(1)1(1)(1)(1)1(1)(1)10,1, 1nnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 在来看关于的分解式：是否可以下结论：的整系数分解式中，的系数只可能是呢？回答是否定的。1、归纳与完全归纳484746434241407221.xxxxxxxx105有一位老兄发现了x -1中有如下的一项：这说明，考察一组对象的性质或规律时，可能出错。究其原因在于对于“无穷多”的思维方式不能按照“有限多”方式来处理，否则容易出现问题。这种方法通常成为不完全归纳。1、归纳与完全归纳 数学对归纳的完全性是要求十分严格，其意义不仅对所有的自然科学是重要的，而且对人文社会科学

5、也是重要的。借鉴数学思维的严格性，可以大大提高社会科学学科的科学性。以例带证的方法属于不完全归纳，显然不能令人信服。目前许多社会科学学科还是按照这种方式来解释其命题，科学性显然要遭到质疑。 社会科学； 实验学科；我们说过,进行归纳时应注意归纳的完全性,然而,全面地说应注意完全性与不完全性的关系。没有不完全的归纳命题，就不可能有完全性的证明行为。 事实上，不完全归纳是发现的开始，是创造的开始，是十分珍贵的思维形式之一。事实是，儿童从小就有归纳的经历，1-2岁语言符号就在迅速增加，第二信号系统在迅速扩张。其所以能这样，原因之一就是首先他们接受归纳，并且能接受归纳。2、逻辑思维的代表：演绎 当归纳具

6、有完全性时，其方法可以说属于逻辑的范畴了。逻辑思维的代表之一是演绎思维。 演义思维最早来自几何学，其影响之广泛使得人们特别看重演绎科学的地位。实际上，一门学科是否为成熟的是以它是否已形成一套演绎体系（公理体系）为标志的。 数学的这一特点是与它极强的逻辑性和抽象性紧密联系在一起的。2、逻辑思维的代表：演绎抽象：强抽象 弱抽象。任意四边形凸四边形梯形平行四边形矩形菱形正方形2、逻辑思维的代表：演绎例子：函数概念的演变过程。17世纪：幂函数（多项式）的代名词。18世纪：表达式（初等函数）。欧拉给出了y=f(x)的表示。初等函数非初等函数（级数、积分表示）解析表达式（一个式子）分段函数（伪函数，柯西引

7、入了“对应”术语，但还是解析式子）Dirichlet函数： Dirichlet函数不但从表达式上突破了解析式的限制，而且还对“凡函数至少在一点连续”提出了挑战。0( )xD xx当 为无理数时1当 为无理数时2、逻辑思维的代表：演绎虽然这个表达式是认为构造的，带有主观性质，但它却推动了人们对函数本质的客观认识。这也反映了认识论中的基本内涵。主观判断主观事物一定要小心，不要把主观臆相混同于主观构想。科学需要主观构想的。2( )lim(lim(cos!) ).nmnD xmx但是2、逻辑思维的代表：演绎Dirichlet函数对应规则（何为对应？）有序对（x,y） （新概念）集合函数（泛函）广义函数

8、（函数）.上述过程实际上就是演绎思维弱抽象的例子.2、逻辑思维的代表：演绎再以函数为例给出强抽象的例子.连续性问题解决后,出现了可微性问题.f(x)=|x|是连续但在0点不可微的例子. 问题:连续函数至少有一个可微点? Weiestrauss构造了一个处处连续但处处不可微的例子, 这个例子让数学家惊叹:直观似乎告诉我们不可能有这种函数,直观欺骗了我们.03( )cos(), 01,1.2nnnf xbaxabab 是奇数，2、逻辑思维的代表：演绎函数连续函数不可微函数处处连续处处不可微函数。 强抽象过程。但抽象性依然很强。 数学的抽象方法很多，需要学习和实践逐步加深了解，在你领会的同时，抽象思

9、维能力就得到了加强和提高。需要说明的是，逻辑思维是抽象思维，但抽象思维不一定是逻辑的。数学的逻辑性特点使得数学训练直接有利于发展人的逻辑思维，其作用特别突出。最能表现这一点的当属公理方法的作用。一门学科实现公理化的标志是：一、它有一套基本术语或原始概念；二、它有一组基本命题或原始命题或公理；三、其它的概念全由原始概念出发予以定义其他的命题全由公理出发予以推理论证。数学的分支学科都是建立在公理化基础上，其它学科（力学、物理学、哲学、伦理学等）的许多分支也利用了公理方法。力图建立自己学科的演绎体系，提高逻辑化水平和科学化水平。数学公理化方法的影响已经超出数学范围而进入其它自然科学领域和人文科学领域

10、，数学的公理思想使数学作为文化具有更实际的意义。这是由公理化本身的优点所决定的。公理化不仅使数学本身的内在统一性、和谐性得到充分的揭示，而且有利于人们更清晰地从微观到宏观看到数学世界；不仅使人更易认识世界，而且为数学发现和创造提供必要的启示和工具；对人自身逻辑思维的发展起极为积极的推动作用。它的论证过程是“到了底”的，因而能使人确信不疑，其逻辑线索如此清晰、如此严谨，这种“穷根究底”的思想风格正是哲学的思想风格由此亦可看到数学在如何体现人的精神！ 公理化和演绎属于收敛性思维，它对于思维的条理化、系统化是必需的，使思维更健康。然而，它不能使思维更活泼。如果过分强调公理的作用，只重视演绎训练，也会带来不良后果，数学教育令人担忧的现状也恰在这里。过分地集中于收敛性思维，忽视了发散性思维。 对人的发散性思维起积极作用的一般有这样几种形式：三、其它三、其它n直观、直感 数学是忌讳直观的。但是，忌讳的不应该是直观，而是把直观的结果当最后的结论，忌讳的是受直观的欺骗。直观能力、观察能力、洞察能力，也是重要的创造能力之一。应当在直观、联想等活动中发现问题、提出问题并积极地进行思考。 举例：四色问题 任一凸多面体的顶点数V、面数F和边数E之间的关系：F+V-E=2三、其它n直觉 直觉是指对事物直接的觉察、领悟甚至是印象 数学直觉则是指对数学