中考数学专题复习开放性问题测试题(含解析)

1、开放性问题一、填空题1. (2016 山东省济宁市3分)如图， ABC 中，ADLBQ CEL -AB,垂足分别为 D、E, AD CE交于点 H,请你添加一个适当的条件：AH=CB 等(只要符合要求即可)，使CEB【分析】开放型题型，根据垂直关系，可以判断 AEH 与厶 CEB 有两对对应角相等， 就只需要找它们 的一对对应边相等就可以了.【解答】 解： ADLBC CELAB 垂足分别为 D E,/ BECKAEC=90,在 Rt AEH 中，/ EAH=90 -/AHE又/ EAHKBAD/ BAD=90 -/ AHE在 Rt AEH 和 Rt CDH 中，/ CHD/AHE/ EAHK

2、DCH/ EAH=90 -/ CHD/ BCE所以根据 AAS 添加 AH=CB 或 EH=EB根据 ASA 添加 AE=CE可证 AEHACEB故填空答案：AH=CB 或 EH=EB 或 AE=CE三解答题1.( 2016 山东省滨州市 14 分)如图，已知抛物线 y=-x2- x+2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C(1) 求点 A, B, C 的坐标；(2) 点 E 是此抛物线上的点，点 F 是其对称轴上的点，求以 A, B, E, F 为顶点的平行四边形的面 积；(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M 使得ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标;若不存在，请说

3、明理由.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴 题；函数及其图象.【分析】（1）分别令 y=0, x=0,即可解决问 题.（2）由图象可知 AB 只能为平行四边形的边，易知点 E 坐标（-7,-）或（5,-）,由此不难解44决问题.（3）分 A C M 为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题.【解答】解：（1 ）令 y=0 得-x2- x+2=0,2x+2x8=0,x= 4 或 2,点 A 坐标（2, 0）,点 B 坐标（-4, 0）,令 x=0,得 y=2,点 C 坐标（0, 2）.（2）由图象可知 AB 只能为平行四边形的边， / AB=EF=6 对称轴 x= 1,.点 E 的横坐标为-7

4、 或 5,（3）如图所示，当 C 为顶点时，CM=CA CM=CA 作 MN 丄 OC 于 N,在 RT CMN 中，CN=:点 M 坐标（-1,2+）；点 M 坐标（-1,2-）8当 M 为顶点时，T直线 AC 解析式为 y= x+1,线段 AC 的垂直平分线为 y=x, 点 M 坐标为（-1， 1）.当点 A 为顶点的等腰三角形不存在.（1）求抛物线的解析式;以 A, B, E, F 为顶点的平行四边形的面积=6X（1,=81综上所述点 M 坐标为（-1， 1）或（-1, 2+）或（1.2 ）.%N本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟线与，坐标轴交

5、点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题.【点练掌握扌I 攀枝花） 如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，B 点坐标为（3, 0）,（0, 3）点 E 坐标（7,5,此时点设 P 点坐标为(x, x2- 2x- 3)，贝 U M 点坐标为(x, x- 3), P 点在第四限， PM=- 3-( x 2x 3) = x2+3x,SPBCFPM?OH+PM?:当 PM 有最大值时， PBC 的面积最大，则四边形 ABPC 的面积最大,(2)点 P 在抛物线位于第四象限的部分上运动， 当四边形 边形 ABPQ 的最大面积.ABPC 的面积最大时，求点 P 的坐标和四(3

6、)直线 I 经过 A、C 两点，点 Q 在抛物线位于 y 轴左侧的部分上运动，直线m 经过点 B 和点 Q是否存在直线 m,使得直线 I、m 与 x 轴围成的三角形和直线 I、m 与 y 轴围成的三角形相似？若存在,求出直线 m 的解析式，若不存在，请说明理由.JA.次函数综合题.C 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式;(2)连接wBQ 则ABC 的面积是不变的，过 P 作 PM/y轴，交 BC 于点 M 设出 P 点坐标，可表示当 PM 取最大值时 PBC 的面积最大，利用二次函数的性质可求得P 点的坐标及四边形 ABPC 的最大面积;(3)设直线 m 与 y 轴交于点 N,交直

7、线 I 于点 G,由于/ AGPMGNC 乂 GCN ,所以当 AGB 和厶 NGC 相似时，必有/ AGBMCGB=90,则可证得厶 AOQANOB 可求得 ON 的长，可求出 N 点坐标，利用 BN 两的点坐标可求得直线 m 的解析式.【解答】(1)把 B、C 两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为y=x2- 2x - 3 ；+3bfb=- 2c二3(2)如图 1,连接 BC 过 Py 轴的平行线，交 BC 于点 M,交 x 轴于点 H,在 y=x2- 2x - 3 中，令 y=0 可得 0=x2- 2x - 3,解得 x= - 1 或 x=3,A A点坐标为(-1，0),o:

8、为 y=x - 3,【分出 PM的长 AB=3-(AB直线 BC3),2 B ( 3,在 Rt AON 和 Rt NOB 中ZA0C=ZN0B“ OC=OB逻AON 第严(ASA， ON=OA=1N点坐标为（0，- 1），设直线 m 解析式为 y=kx+d，把 B N 两点坐标代入可得，解得【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、二次函数的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质等.在（2）中确定出 PM 的值最时四边形 ABPC 的面积最大是解题的关键，在（3）中确定出满足条件的直线 m 的位置是解题的关键.本题考查知识点较多，综合性较强，特别是第（2）问和第（3）问

9、难度较大.3. （2016 四川内江）（12 分）如图 15，已知抛物线 C:y=X23X+m直线丨：y=kx（k0），当k= 1 时，抛物线C与直线l只有一个公共点.（1）求m的值；/ PM=-X2+3X=-( x -)2+,2 4X=时，PMax=,则SAPBC=_辽2P 点坐标为(，当此时即当(3)-924P 点坐标为（，）时，24如图 2,设直线 m 交 y 轴于点 N,交直线 I 于点 G,2 t 8广75S四边形ABP=SAABC+SPB（=6+=-s四边形ABPC 勺面积最大，最大面积为;758乂/ ApB/ CGB=180,即存在满足条件的直线 m 其解析式为直线 m 解析式为

10、1,贝 AGPMGNC 乂 GCN当AGB 和4NGC 相似时，必有/ AGBMCGB1.（2）若直线l与抛物线C交于不同的两点A, B,直线l与直线l1：y= 3X+b交于点P,且 土 + 土OA OB=，求b的值；在（2）的条件下，设直线11与y轴交于点Q,问：是否存在实数k使&APgSBPQ若存在，求k二次函数与一元二次方程的关系，三角形的相似，推理论证的能力。2:x _3xm,有且只有一组 解. .八xx消去 y,答图案图4x+ mi= 0,所以此一元二次方程有两个相等的实数根.20,即(4) 0.m= 4.y =kx,2由方程组2消去y，得x (k+ 3)x+ 4= 0.y

11、=x2_3x +4 AC BE是以上一元二次方程的两根， AO BE= k+ 3,AC- BE=4. 7 分.K_3 =24.k 3解得b= 8. . 8 分(3).不存在理由如下：9 分假设存在，则当&APQ= &BPQ时有AP= PB于是PD- AC=PE PD即AC+ BE=2PD由(2)可知AO BE= k+ 3,PD=产 1 时，抛物线C与直线l只有一个公共点,解：D.方程 170如图，分别过点A,P, B作y轴的垂线,垂足依次为C, D, E,同理，OP=PDOBBE 1,12OP ,OPo+ ,.+2OAOBOPOAOBPD+PD2.ACBEAC BE2即AC +B