数学准备—矢量及其运算1

1、数学预备知识数学预备知识 矢量及其运算矢量及其运算一、矢量的概念一、矢量的概念 1.矢量的定义矢量的定义既有大小又有方向的量叫做矢既有大小又有方向的量叫做矢量（向量）量（向量）记记 号：号：大小表示：大小表示：F标量：仅有大小的量叫做标量标量：仅有大小的量叫做标量如：质量如：质量m 、时间、时间 t、 路程路程 s、动能、动能Ek 、势能、势能 Ep 等。等。 标量仅有大小没有方向但有正负，如温度标量仅有大小没有方向但有正负，如温度 tFavba vbABABAB2. . 矢量的图形表示：带有箭头的线段矢量的图形表示：带有箭头的线段 线段长度线段长度矢量大小矢量大小 箭头指向箭头指向矢量的方向

2、矢量的方向 ABF起点起点终点终点F=5N，方向为水平向右，方向为水平向右 3. 两矢量相等的条件：大小相等，方向相同两矢量相等的条件：大小相等，方向相同.与起点无关与起点无关ABCDAB = CD4.矢量可以平移矢量可以平移abbaabba二二. 矢量的加法矢量的加法1.矢量加法的平行四边形法则矢量加法的平行四边形法则 两矢量两矢量 与与 的和是以这两个矢量为两边的平行的和是以这两个矢量为两边的平行四边形的对角线矢量四边形的对角线矢量 ,记为：记为： 5. 负矢量负矢量两矢量等大反向互称为负矢量两矢量等大反向互称为负矢量ab=- aba =-b或或:aa =-bbcab=+矢量加法的表示式矢

3、量加法的表示式c 通常将这种用平行四边形的对角线来求通常将这种用平行四边形的对角线来求出两矢量和的方法叫出两矢量和的方法叫矢量加法的平行四矢量加法的平行四边形法则边形法则. 称为称为 、 的合矢量的合矢量 、 称为称为 的两个分矢量的两个分矢量据余弦定理：据余弦定理： cbacababc)180cos(2222abbaccos222abbacos222abbac c矢量的大小矢量的大小规定：规定： 矢量的方向是：矢量的方向是： 与任一分矢量之间与任一分矢量之间的夹角。的夹角。 矢量的定义矢量的定义 : 既有大小又有方向既有大小又有方向,加法运算加法运算时满足平行四边形法则的物理量叫做矢量。时满

4、足平行四边形法则的物理量叫做矢量。cccossinbabtgcba 两矢量相加，要将一个矢量的起点移到另一个矢两矢量相加，要将一个矢量的起点移到另一个矢量的终点，然后连结一矢量的始点和另一矢量的终点量的终点，然后连结一矢量的始点和另一矢量的终点,即为两矢量的和。即为两矢量的和。 由于三个矢量构成一个三角形，所以称为矢量加法由于三个矢量构成一个三角形，所以称为矢量加法的三角形法则。的三角形法则。 应当注意：合矢量可大于、等于、小于其它任一分应当注意：合矢量可大于、等于、小于其它任一分矢量矢量obca或或obcaobccba=+2.矢量加法的三角形法则矢量加法的三角形法则即即 三角形的任一边可大于

5、、等于、小于其三角形的任一边可大于、等于、小于其它任一边它任一边bacca，cbbcaca，cbacbc=a=b 依次作出各个矢量，其中后一个矢量的依次作出各个矢量，其中后一个矢量的起点正好是前一个矢量的终点，那么从第一起点正好是前一个矢量的终点，那么从第一个矢量的起点到最后一个矢量的终点所引的个矢量的起点到最后一个矢量的终点所引的矢量，即它们的矢量和矢量，即它们的矢量和.此时所有的分矢量与此时所有的分矢量与合矢量围成一个多边形合矢量围成一个多边形.所以称为矢量加法的所以称为矢量加法的多边形法则。多边形法则。abccbad3.矢量加法的多边形法则矢量加法的多边形法则在共点力的作用下，物体处于平

6、衡状态在共点力的作用下，物体处于平衡状态时，合力为零，构成一个封闭的多边形时，合力为零，构成一个封闭的多边形多力平衡力多边形自行封闭多力平衡力多边形自行封闭.F1F2F3F4F1F2F3F4F1F2F3F1F2F3注：注：三力平衡时，构成一个封闭的三角形三力平衡时，构成一个封闭的三角形. 三力平衡力三角形自行封闭三力平衡力三角形自行封闭三三.矢量的减法矢量的减法1.矢量减法的平行四边形法则矢量减法的平行四边形法则 可见求可见求 与与 的差即求的差即求 与与 的的和，可以按平行四边形法则或三角形法和，可以按平行四边形法则或三角形法则计算则计算即矢量的减法实质上仍是矢即矢量的减法实质上仍是矢量的加

7、法，矢量的加、减法统称为矢量量的加法，矢量的加、减法统称为矢量的合成的合成.bac)( acacbcac)( aacabccab2.矢量减法的三角形法则矢量减法的三角形法则 两矢量相减，要将它们移到一个共同的起点，然两矢量相减，要将它们移到一个共同的起点，然后从减项矢量的终点向被减项矢量的终点所引的矢后从减项矢量的终点向被减项矢量的终点所引的矢量即为所求之差。量即为所求之差。如：如：小结：由分矢量求合矢量（加法）或由合矢量求分小结：由分矢量求合矢量（加法）或由合矢量求分矢量（减法），从数学角度来说就是求解三角形的矢量（减法），从数学角度来说就是求解三角形的边和角的问题边和角的问题,因此一切解算

8、三角形的数学方法均因此一切解算三角形的数学方法均可使用。可使用。acbcabbacbacabcbab指向减aba指向减可见：可见：bac如：正弦定理、余弦定理、勾股定理、等边三角形、如：正弦定理、余弦定理、勾股定理、等边三角形、相似三角形、全等三角形、菱形特性等都可以使用。相似三角形、全等三角形、菱形特性等都可以使用。注意：注意：.已知合矢量已知合矢量F的大小和方向与另一个分矢量的大小和方向与另一个分矢量F1的方向，则另一个分矢量的方向，则另一个分矢量F2与与F1相互垂直时相互垂直时F2有极有极小值小值 且且 .已知一个分矢量已知一个分矢量F1的大小和方向与合矢量的大小和方向与合矢量F的方的方

9、向，则另一个分矢量向，则另一个分矢量F2与合矢量与合矢量F相互垂直时相互垂直时 有极小有极小值值 即：即：sinmin2FFsin1min2FFF2900900F1FFF1F2四四. 矢量的正交分解合成法（矢量的正交分解法）矢量的正交分解合成法（矢量的正交分解法） 矢量的加、减法的平行四边形法则或三角形法矢量的加、减法的平行四边形法则或三角形法则则, ,均为矢量合成的几何法，用几何法处理两个矢量的均为矢量合成的几何法，用几何法处理两个矢量的合成还是比较简单的，但对于多个矢量的合成问题再合成还是比较简单的，但对于多个矢量的合成问题再用几何法就显得麻烦了用几何法就显得麻烦了. .为解决此问题人们引

10、入了矢量为解决此问题人们引入了矢量合成的解析法合成的解析法正交分解合成法，从而将矢量计算正交分解合成法，从而将矢量计算转化为代数计算，使多个矢量的合成问题变的简单了。转化为代数计算，使多个矢量的合成问题变的简单了。 1.1.正交分解：一个矢量正交分解：一个矢量 a a 对应一个平行四边形对应一个平行四边形的对角线，一个对角线对应有无数个平行四边形，而的对角线，一个对角线对应有无数个平行四边形，而一个矢量可以由平行四边形法则分解为无数对分矢一个矢量可以由平行四边形法则分解为无数对分矢量，在这无数对分矢量中必然包括一对相互垂直的分量，在这无数对分矢量中必然包括一对相互垂直的分矢量。矢量。 将一个矢

11、量在选定的直角坐标系中，沿两个坐将一个矢量在选定的直角坐标系中，沿两个坐标轴的方向分解标轴的方向分解矢量的正交分解法。矢量的正交分解法。如右图所示：如右图所示： 矢量矢量 的方向：的方向： 矢量矢量 的大小的大小: sincosaaaayx轴上的分量在轴上的分量在yxaaaayxaxyaatga22yxaaa0 xyxayaa 矢量矢量a与与x轴正向夹角轴正向夹角（可正、可负）（可正、可负）（可正、可负）（可正、可负） 注：已知一个矢量的大小和方向，它在直角坐注：已知一个矢量的大小和方向，它在直角坐标系中的分量唯一确定标系中的分量唯一确定,反之已知一个矢量在直角坐反之已知一个矢量在直角坐标系中

12、的两个分量则可完全确定该矢量的大小和方标系中的两个分量则可完全确定该矢量的大小和方向。向。2. 正交合成正交合成 求：求：解：解：1cosaaxab+=?1sinaay2sinbbx2cosbby21coscosbabacxxx21sinsinbabacyyy又又xybaco1222122122)sinsin()coscos(babacccyxxycctanxxxbac方向方向 ：再求再求 ：abc= ?解解 ：21coscosbayyybac21sinsinbaxyabo1222yxccc221221)sinsin()coscos(baba2121coscossinsinbabaxyCC=t

13、g=再如：计算再如：计算?cba1cosaax2sinaay2cosbbx2sinbby21coscosbabacxxx21sinsinbacybxyba 12ao计算计算?cba)cos(cos21babacxxx21sinsinbabacyyy22yxccc22yxCCctgxyccxy12abba xycctg21coscosba例：已知例：已知方向如图，求合力方向如图，求合力F.解：利用正交分解合成法解：利用正交分解合成法 NF2001NF1552NF3003NFx17330cos20001NFy10030sin20001=-155 = - 93N xF2053cos=-155 =-1

14、24NyF2053sin=-300 =-212NxF3045cos=300 =212NyF3045sinxY45531F2F3F45532F3F45532F3F3000012555180:orNFFFyx230)188()132(222242. 1132188xyFFtg055F与与x轴负方向夹角为轴负方向夹角为55F与与x轴方向夹角轴方向夹角NFFFFNFFFFyyyyxxxx18821212410013221293173321321xY45531F2F3F45532F3F45532F3F30五五 在同一直线上的矢量的运算在同一直线上的矢量的运算 在同一直线上的矢量其方向仅有两个在同一直线上

15、的矢量其方向仅有两个,因此可以因此可以用正、负两个符号表示两个方向，具体做法是：沿着用正、负两个符号表示两个方向，具体做法是：沿着矢量所在的直线选定一个正方向矢量所在的直线选定一个正方向,即建立一维坐标系即建立一维坐标系（直线坐标系）（直线坐标系）.凡方向与正方向相同的矢量取正凡方向与正方向相同的矢量取正值，凡方向与正方向相反的矢量取负值。这样用一个值，凡方向与正方向相反的矢量取负值。这样用一个带有正、负号的数值把矢量的大小和方向都表示出带有正、负号的数值把矢量的大小和方向都表示出来，从而将同一直线上的矢量运行转化为代数运算，来，从而将同一直线上的矢量运行转化为代数运算，实际上这也是平行四边形

16、法则在特殊情况下的运用。实际上这也是平行四边形法则在特殊情况下的运用。如：如：a=5 b=-3 c=a+b=5-3=2a=5b=-3x方向与正方向同方向与正方向同当然也可用平行四边形法则：当然也可用平行四边形法则：cos222abbac180cos222abbaabba2222)(baba235 或或 六六. 两矢量的乘法两矢量的乘法1. 两矢量的点积（数量积）两矢量的点积（数量积）定义：两个矢量定义：两个矢量 和和 的乘积定义为的乘积定义为 两矢量之间的夹角。两矢量之间的夹角。b=3a=-5xC矢量大小为矢量大小为2方向与规定正方向相反方向与规定正方向相反b=3 a=-5c=a+b=-5+3 =-2abbaccosab 注：由于这种矢量的乘法是在注：由于这种矢量的乘法是在 和和 之间之间放上一点来表示的，因此积得点积。由于这种放上一点来表示的，因此积得点积。由于这种乘积的实际定义是乘积的实际定义是 ，这是一个数量，这是一个数量（标量），因此又称为数量积。（标量），因此又称为数量积。如：物体向右运动如：物体向右运动求力求力F可作的功可作的功W=？cosabfNFmg1FsabcosFSSFw2.两矢量的叉积（矢量积）两矢量的叉积（矢量积）