第3节 函数的单调性、极值与最优化

1、第三节 用导数研究函数的性质 单调性、极值和最大最小值主要内容:一、函数的单调性二、函数的极值三、函数的最大值和最小值 本节将以导数为工具，讨论函数本节将以导数为工具，讨论函数的单调性、给出寻找函数的极值、的单调性、给出寻找函数的极值、极值点与最值的的方法，这个方法极值点与最值的的方法，这个方法既简便又具有一般性既简便又具有一般性. .一、函数的单调性函数的单调性与导数符号之间的关系函数的单调性与导数符号之间的关系: :观察右图观察右图yxo( )yf x 上升上升锐角锐角是是锐锐角角tan0( )0.fx ( )( )0.f xfx 单单调调增增加加函函数数，yxo( )yf x 下降下降是

2、是钝钝角角tan0( )0.fx ( )( )0.f xfx 单单调调减减少少函函数数，下面我们来看另外一种情况下面我们来看另外一种情况: :钝角钝角观察右图观察右图导数符号的几何意义：导数符号的几何意义：xyo)(xfy ( )0fx xyo)(xfy ()0fx )(xfy ( )0fx xyo( ),().对对于于某某区区间间上上的的函函数数导导数数为为正正，曲曲线线上上升升；导导数数为为零零，曲曲线线不不升升不不降降 水水平平曲曲线线 ；导导数数为为负负，曲曲线线下下降降f x() , ( , ).1( , )()0() , (2)( , )()0() , .yfxa ba ba bf

3、xfxa ba bfxfxa b 设设在在上上连连续续，在在内内可可导导（ ） 若若在在内内，则则在在上上单单调调增增加加；若若在在内内，则则在在上上单单调调减减少少定理定理1 1证明：证明：12, , ,x xa b,21xx 且且由拉格朗日定理由拉格朗日定理, ,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上上单单调调增增加加在在baxfy , 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上上单单调调减减少少在在baxfy 定理中的

4、闭区间换成其它有限或无限区间结论仍成立定理中的闭区间换成其它有限或无限区间结论仍成立. .l函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一这一区间区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性符号来判别一个区间上的单调性例如例如, ,3xy , 00 xy.),(上上单单调调增增加加但但在在 定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的的，则该区间称为函数的单调区间单调区间. .例例证证明明函函数数是是单单调调增增加加的的21ln(1)

5、.yxx 单单调调增增加加( )0.fx 提示与分析：提示与分析：证证2ln(1),yxx (,).D 2ln(1)yxx 21121xx 22(1)1xx 0. 所所以以函函数数是是单单调调增增加加的的2ln(1).yxx 例例证证明明函函数数是是单单调调增增加加的的21ln(1).yxx 例例讨讨论论函函数数e e的的单单调调性性21.xyx 解解e e，1(,). xyD(,0) ,0y 在在内内， 函函数数单单调调减减少少；(0,) ,0.y 在在内内， 函函单单调调增增加加数数函数在整个定义域内不函数在整个定义域内不是单调的，但在子区间是单调的，但在子区间 上单调上单调单调区间单调区

6、间如如何何求求函函数数的的单单调调区区间间？( )0( )( ),.fxfxf x 用用方方程程的的根根及及不不存存在在的的点点来来划划分分函函数数的的定定义义区区间间 然然后后判判断断区区间间内内导导数数的的符符号号求求单单调调区区间间的的方方法法：导数等于零的点导数等于零的点(驻点驻点)和不可导的点，可能和不可导的点，可能是函数单调区间的分界点。是函数单调区间的分界点。例例3求求函函数数的的单单调调区区间间2(1)4.yx在在内内， 函函数数；少少单单减减调调(,1) ,0 y(1,) ,0.y 在在内内， 函函单单调调增增加加数数2(1)4(,1),(1,).yx 故故函函数数的的单单调

7、调区区间间为为单单增增区间区间单单减减区间区间解解，2(1)(,). yxD(,) D324( ).例例确确定定函函数数的的单单调调区区间间f xx 求求的的根根( )0fx 不不存存在在的的点点( )fx 用用导导数数等等于于零零的的点点和和不不可可导导点点来来划划分分这这个个区区间间找找出出这这两两类类点点即即可可提示与分析：提示与分析：解解 函函数数的的定定义义域域为为32( )(,). f xxD)0(,32)(3 xxxf0,x 当当时时 导导数数不不存存在在. .0( )0,( )(,0 xfxf x 当当时时，在在上上单单调调减减少少；0( )0,( )0,)xfxf x 当当时

8、时，在在上上单单调调增增加加；从从而而单单调调区区间间为为，(,00,). 单单增增区间区间单单减减区间区间32( )f xx 的的图图像像如如下下：32( )f xx 尖点尖点320,)(,0).f xx 单单调调区区间间为为，单单调调区区间间减减增增l利用单调性证明不等式利用单调性证明不等式证：证：例例.)1ln(,0成立成立试证试证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1111)(xxxxf 则则, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可导，可导，且且上连续上连续在在上单调增加；上单调增加；在在), 0 , 0)0( f时，时，当当0 x, 0)1ln( xx即即).1ln

9、(xx 即即),0()(fxf 利用单调性证明不等式的步骤：利用单调性证明不等式的步骤：将要证的不等式作将要证的不等式作 恒等变形（通常是移项）使恒等变形（通常是移项）使一端为一端为0, 0,另一端即为所作的辅助函数另一端即为所作的辅助函数f f( (x x) )求求)(xf , ,验证验证f f( (x x) )在指定区间上的单调性在指定区间上的单调性与区间端点处的函数值作比较与区间端点处的函数值作比较, ,即得证即得证. .0000000( )( )( )( ),( ).()(yf xxfxxf xf xf xf xfxxfxxx 设设函函数数在在点点 的的某某邻邻域域有有定定义义，如如果

10、果对对于于该该邻邻域域内内任任意意异异于于 的的 值值，都都有有 或或，则则称称函函数数在在点点处处取取得得（或或 极极定定义义）而而称称为为函函数数的的（大大或或极极小小值值极极值值极极大大小小点点）点点1. 1.函数极值的定义函数极值的定义极极大大值值极极大大点点和和统统称称为为函函数数的的. .和和统统称称为为极极小小函函数数值值极极小小极极值值点点的的极极值值点点. .局部概念局部概念二、函数的极值注注: :1. 1.极值是一个局部性概念极值是一个局部性概念: :极值是局部的最值极值是局部的最值. .极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值, ,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值

11、. .2. 2.在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的；在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的； 但曲线上具有水平切线的地方，函数不一定但曲线上具有水平切线的地方，函数不一定 取得极值取得极值. .3. 3.函数的极值在单调区间的分界点处取得函数的极值在单调区间的分界点处取得. .极极大大值值点点极极小小值值点点平平行行于于 轴轴x平平行行于于 轴轴x在在 点点的的切切线线与与轴轴平平行行00()0( ). fxxf xOx如如果果是是函函数数的的极极值值点点并并且且在在该该点点费费马马可可导导定定理理那那么么00( ),( ),()0.xf xf xfx 必要条件必要条件xoyyx ( ).

12、f x 在在该该点点可可导导已已知知条条中中注注：件件是是重重要要的的0 x 是是，但但在在该该点点极极小小值值点点不不可可导导. .30() xx 驻驻点点可可导导点点极极值值点点不不可可导导点点但但驻驻点点不不一一定定是是极极值值点点. .但但是是在在上上是是单单增增函函数数并并不不是是的的极极值值点点3( )(,),0( ).f xxxf x 3xy oyx203 xx0, 定理定理3 3( (第一充分条件第一充分条件) )【导数从正变到负导数从正变到负】【导数从负变到正导数从负变到正】如如何何利利用用导导数数求求函函数数的的极极值值呢呢？0 xxyO( )0fx ( )0fx 极极小小

13、值值0 x( )0fx ( )0fx xOy极极大大值值( (是极值点情形是极值点情形) )xyoxyo0 x0 x (不是极值点情形不是极值点情形)(1)( );fx 求求导导数数(2)( ) 0);f x求求全全部部驻驻点点即即方方程程的的根根及及导导数数不不存存在在的的点点 (3)( ),;f x 考考察察在在邻邻近近驻驻点点和和不不可可导导点点左左右右的的正正负负号号判判断断极极值值点点(4).求求出出各各个个极极值值点点的的极极值值l求极值的步骤求极值的步骤: :12( )00,1.fxxx 驻驻点点令令，得得列表讨论列表讨论x(,0) (1,) (0,1)01( )fx ( )f

14、x 00 极小值极小值不是极值不是极值极极小小值值 1(0).3f 315( )(1) ().3例例求求函函数数的的极极值值f xxx 解解2321( )3(1) ()(1)4 (1)3 fxxxxx x图图形形如如下下：31( )(1) ()3f xxx 极极小小值值求出函数求出函数593)(23 xxxxf的极值的极值.解解)3)(1(3963)(2 xxxxxf令令, 0)( xf得驻点得驻点. 3, 121 xx列表讨论：列表讨论：所以所以, 极大值极大值,10)1( f极小值极小值.22)3( fx)(xf )(xf极小值极小值极大值极大值)1,( )3 , 1( 3), 3(1 0

15、0 例例 解解222233(1)(1)(1)( )3xxxfxxxx 12( )01,1.fxxx 驻驻点点令令，得得x(1,) 01)(xf )(xf(, 1) (0,1)( 1,0) 1 336( ).例例求求函函数数的的极极值值f xxx 00 极极大大值值极极小小值值没没意意义义( 1)4(1)4.ff 极极值值 ，值值 小小极极大大导数不存在导数不存在 例例 (1)(1)f f( (x x) )在在( ( ) )内连续内连续 除除x x1 1外处处可导外处处可导 且且 解解 313) 1( 5)(xxxf (3) (3)列表判断列表判断x x1 1为为f f( (x x) )的不可导

16、点的不可导点 得驻点得驻点x x 1 1 (2) (2)令令f f ( (x x) ) 0 0 ( ( 1) 1) 1 1( ( 1 1 1) 1)1 1(1 (1 ) ) 不可导不可导 0 0 x x f f ( (x x) ) f f( (x x) )0 0343 (4)极大值为 f(1)0 极小值为343) 1 (f 求函数求函数32)1()4()( xxxf的极值的极值. .设设函函数数满满足足在在点点存存在在二二阶阶导导数数； 若若则则为为极极大大值值；若若则则为为极极小小值值；若若则则不不能能判判别别是是否否为为极极值值，第第二二充充分分改改用用条条件件 判判别别法法则则I I00

17、000000( )(1)(2)()0,()0,()()0,()()0),().f xxfxfxf xfxf xfxf x 用判别法则用判别法则时，只需求函数的一阶导数，但需判断驻点两时，只需求函数的一阶导数，但需判断驻点两侧导数的符号，这显得比较麻烦侧导数的符号，这显得比较麻烦. .于是就有了判别法则于是就有了判别法则，可，可以很方便的判断出是不是极值以很方便的判断出是不是极值. .判别法则判别法则xyO0()0fx 极大值极大值0 xxyO0()0fx 极小值极小值0 x12( )01,1.fxxx 驻驻得得点点解解223( )3,fxxx 36( )6,fxxx (1)120,(1)ff

18、是是极极小小值值; ;例例求求函函数数的的极极值值336( ).f xxx 我们用判别法则我们用判别法则来求解例来求解例6极极大大值值是是( 1)120,( 1).ff 注意：注意：第二充分条件只适合于在第二充分条件只适合于在x x0 0处一阶导数为处一阶导数为零而二阶导数不为零的情形；零而二阶导数不为零的情形；00()0,( ),3.fxf xx 时时在在点点处处不不一一定定取取极极值值仍仍用用定定理理 例例 求函数求函数f f( (x x) ) ( (x x2 2 1) 1)3 3 1 1的极值的极值 解解 f f ( (x x) ) 6 6x x( (x x2 2 1) 1)2 2 令令

19、f f ( (x x) ) 0 0 求得驻点求得驻点x x1 11 1 x x2 2 0 0 x x3 3 1 1 f f ( (x x) ) 6( 6(x x2 2 1)(51)(5x x2 2 1) 1) 因为因为f f (0)(0) 6 6 0 0 所以所以f f ( (x x) )在在x x 0 0处取得极小值处取得极小值 极小值为极小值为f f(0)(0) 0 0 因为因为f f ( ( 1) 1) f f (1)(1) 0 0 所以用所以用判别法则二判别法则二无法判别无法判别 因为在因为在 1 1的左右邻域内的左右邻域内f f ( (x x) ) 0 0 所以所以f f( (x x

20、) )在在 1 1处没有极值处没有极值 同理同理 f f( (x x) )在在1 1处也没有极值处也没有极值 );()1(xf 求求导导数数;)2(jixx 及及导导数数不不存存在在的的点点求求驻驻点点.)6(求极值求极值l求极值的步骤求极值的步骤: :);()()3(ixfxf 及及其其在在驻驻点点的的值值求求(4)()0,4;ifx 若若利利用用定定理理 判判断断极极值值点点(5)()0,3;ifx 若若利利用用定定理理 判判断断极极值值点点我们在日常的生产活动中经常会遇到这些问题：我们在日常的生产活动中经常会遇到这些问题： 商品经营者如何制定价格才能使利润商品经营者如何制定价格才能使利润

21、最高最高； 工厂订购生产资料要考虑怎样才能使订货和贮存工厂订购生产资料要考虑怎样才能使订货和贮存费用费用最低最低； 这些问题都可归结为求解函数的这些问题都可归结为求解函数的最值最值问题问题. .三、函数的最大值和最小值1 1、最值的问题、最值的问题oxyoxybaab ( ) , ,( ) , .f xa ba bf xa b假假设设函函数数在在上上连连续续，在在开开区区间间内内除除个个别别点点外外处处处处可可导导，并并且且至至多多有有有有限限个个导导数数为为零零的的点点，则则在在上上的的最最大大值值与与最最小小值值必必存存在在ab0 xyl 闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间闭区

22、间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间的端点及区间内的点处取得的端点及区间内的点处取得. . 如果最大值不在区间的端如果最大值不在区间的端点取得，则必在开区间点取得，则必在开区间( (a a，b b) )内取得，在这种情况下，内取得，在这种情况下，最大值一定是函数的极大值最大值一定是函数的极大值x x1 1x x2 2x x3 3x x4 4x x5 5MMm m因此，函数在因此，函数在 a a b b 上的上的最大值一定是函数的所最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间有极大值和函数在区间端点的函数值中的最大端点的函数值中的最大者者; ; 其最小值一定是函其最小值一定是函数的所有极小值和

23、函数数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中在区间端点的函数值中的最小者的最小者 l求最值的步骤求最值的步骤: :1. 求函数的定义域求函数的定义域; ;3. 求区间端点及驻点和不可导点的函数求区间端点及驻点和不可导点的函数值值, ,比较大小比较大小, ,哪个大哪个大哪哪个就是最大值个就是最大值, ,哪哪个小个小哪哪个就是最小值个就是最小值. .2. 求驻点和不可导点求驻点和不可导点; ;最值来源于三种情况：最值来源于三种情况：端点端点、驻点驻点、不可导点不可导点.oxyoxybaoxy最值来源于三种点：端点、驻点、不可导点最值来源于三种点：端点、驻点、不可导点最值在最值在驻点驻点处取得处取得

24、ab最值在最值在端点端点处取得处取得最值分别在最值分别在端点端点和和不可不可导点导点处取得处取得ab解解 因因为为，( )6(2)(1)fxxx 解解方方程程得得12( )0,2,1.fxxx 计计算算 ( 3)23;(4)142;ff，(1)7;( 2)34ff 例例求求函函数数在在上上的的最最大大值值与与最最小小值值327231214 3,4. yxxx找出找出端点端点、驻点驻点、不可导点不可导点的值进行比较的值进行比较端点端点值值驻点驻点值值(4)142(1)7.ff 比比较较得得 最最值值，值值小小最最大大没有不没有不可导点可导点14123223 xxxy端端点点驻点驻点端端点点最大值

25、最大值最小值最小值 若若目目标标函函数数只只有有唯唯一一, ,则则该该点点的的函函最最驻驻点点大大数数值值即即为为所所求求的的( (或或最最小小) )值值 实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数函数f f( (x x) )在定义区间内确有最大值或最小值在定义区间内确有最大值或最小值. . 这时如果这时如果f f( (x x) )在该区间内部只有一个驻点在该区间内部只有一个驻点 x x0 0，那，那么不必么不必 讨论讨论f f( (x x0 0) ) 是否是极值，就可以断定是否是极值，就可以断定 f f( (x x0 0) )是最是最大值或最小值大值

26、或最小值l实际问题求最值一般步骤实际问题求最值一般步骤:(1) 建立目标函数建立目标函数实际问题中变量间的关系实际问题中变量间的关系; ;(2) 求最值求最值将实际问题转化为求目标函数在将实际问题转化为求目标函数在相应区间上的最值问题相应区间上的最值问题; ;值值点点或或最最小小点点即即为为所所求求的的最最大大唯唯一一可可能能极极值值点点，则则该该且且在在该该区区间间内内只只有有在在开开区区间间内内部部若若目目标标函函数数最最值值点点一一定定)(,根据已知条件，将目标函数表示成关于一个变量根据已知条件，将目标函数表示成关于一个变量的函数的函数. .铁路线上铁路线上AB段的距离为段的距离为100

27、km. .工厂工厂C距距A处为处为20km，AC垂直于垂直于AB. .为了运输需要，要在为了运输需要，要在AB线上选定一点线上选定一点D向向工厂修筑一条公路工厂修筑一条公路. . 已知铁路上每已知铁路上每km货运的运费与公货运的运费与公路上每路上每km货运的运费之比为货运的运费之比为3:5，为了使货物从供应站，为了使货物从供应站B运到工厂运到工厂C的运费最省，问的运费最省，问D应选在何处？应选在何处？例例ABCDx供供应应站站工厂工厂20km100km解解设设(km), ADx那那 么么100(km ), DBx2220CDx 2400(km) x 由于铁路上每由于铁路上每km货运的运费与公路

28、上每货运的运费与公路上每km货货运的运费之比为运的运费之比为3:5, ,因此可设铁路上每因此可设铁路上每km的运的运费为费为3k, ,公路上每公路上每km的运费为的运费为5k. .设从设从B点需要点需要的总运费为的总运费为y, ,那么那么53yk CDkDB ，目目标标函函数数为为：254003 (100)(0100)ykxkxx25(3)400 xykx 解解方方程程得得0,15(km). yx由由于于是是唯唯一一驻驻点点，故故而而为为极极值值点点. .15x (0)400 ,yk (15)380 ,yk 21(100)5001.5yk 当当时时 总总运运费费最最省省15km,. AD是是最

29、最小小值值点点15(km), x例例 某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月套公寓要出租，当租金定为每月1000元时，公寓会全部租出去当租金每月增加元时，公寓会全部租出去当租金每月增加50元元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费花费100元的整修维护费试问房租定为多少可获得最元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？大收入？解解 设设房房租租每每月月为为 元元，x那那么么租租出出去去的的房房子子有有套套，100050()50 x 每月总收入为每月总收入为)(xR(100)x1000(50)50 x ( )R

30、x 1( )(70)(100)()5050 xR xx 72,25x0)( xR1800,x故每月每套租金为故每月每套租金为1800元时收入最高元时收入最高.最大收入为最大收入为1800( )(1800100)(70)50R x 57800(). 元元(100)(70),50 xx 此此时时,没没租租出出去去的的公公寓寓有有套套1800100016().50 小小 结结函数的极值必在驻点和不可导点取得函数的极值必在驻点和不可导点取得. .判别法判别法第一充分条件第一充分条件; ;第二充分条件第二充分条件. .( (注意使用条件注意使用条件) )最值点应在极值点和区间的端点上找最值点应在极值点和

31、区间的端点上找 ; ;应用题可根据问题的实际意义判别应用题可根据问题的实际意义判别 . .1. 1. 连续函数的极值连续函数的极值2. 2. 连续函数的最值连续函数的最值在实际问题，如果开区间内只有一个极值在实际问题，如果开区间内只有一个极值, ,则这个极则这个极值就是最值值就是最值( (最大值或最小值最大值或最小值) )，不必讨论，不必讨论. .极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念13(1,2);15(1,2,3);17(1,3),18;19;20半径如何选取，才能使用料最省半径如何选取，才能使用料最省( (即表面积最小即表面积最小) )？19.19.一个圆柱形罐头，其容积是一个常量一个圆柱形罐头，其容积是一个常量V V. .问底面问底面 表面积表面积S=S=2 2 r r2 2 + +2 2 rh rh 由题设由题设 r r2 2h=Vh=V，即，即222,0VSrrr ，2322424)(rVrrVrrS 2rVh代入上式得，代入上式得，, 0)( rs令令30.2Vr 得得 惟惟 一一 驻驻 点点解