直线与圆知识点总结

1、直线和圆知识点总结1、直线的倾斜角：1定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 X轴相交的直线l , 如果把X轴绕着交点按逆时针方向转到和直线I重合时所转的最小正角记为，那么 就叫 做直线的倾斜角。当直线I与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0;2倾斜角的范围 0, <如1直线xcos . 3y 20的倾斜角的范围是5答：0'評它，)；22 一过点P( J3,1),Q(0,m)的直线的倾斜角的范围,那么m值的范围是33答：m2或 m 42、直线的斜率：1定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k = tan( 丰90° );倾斜角为90&

2、#176;的直线没有斜率；2斜率公式：经过两点R(x1,yJ、P2(X22)的直线的斜率为 k a (1,k),直线的方向向量与直线的斜率有何关系? 如(1)两条直线钭率相等是这两条直线平行的 一冷 X2 ； 3直线的方向向量x1 x24应用：证明二点共线：kAB kBC °条件答：既不充分也不必要;2实数x,y满足3x 2y 5 0 (1 x 3)，那么y的最大值、最小值分别为 答:x13、直线的方程：1点斜式：直线过点(x0, y0)斜率为k，那么直线方程为y0 k(x x0),它不包括垂直于x轴的直线。2斜截式：直线在y轴上的截距为b和斜率k，那么直线方程为y kx b ,它不

3、包括垂直于 x轴的直线。3两点式：直线经过P(X1, yj、F2(X2, y2)两点，那么直线方程为 仏 xL，它不包括垂直于坐标轴y y1X2 X1的直线。4截距式：直线在x轴和y轴上的截距为a,b,那么直线方程为-1，它a b不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。5一般式：任何直线均可写成 Ax By C 0(A,B不同时为0)的形式。如1经过点2,1且方向向量为v=( 13) 的直线的点斜式方程是答：y 1V3(x 2)； 2丨直线(m 2)x (2 m 1)y (3m 4) 0 ,不管 m 怎样变化恒过点 答：(1, 2)； 3假设曲线y a|x|与y x a(a 0)有两个公共点，

4、那么 a的取值范围是 答：a 1提醒:(1)直线方程的各种形式都有局限性.如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？；(2)直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为 1或直线过原点。如过点A(1,4)，且纵横截距的绝对值相等的直线共有条答：3：1知直线纵截距b，常设其方程为y kx b ； 2知直线横截距x0,常设其方程 为x my x°(它不适用于斜率为0的直线)；3知直线过点(X0,y°)，当斜率k存在时， 常设其方程为 y k(x X0) y°,当斜率k不存在时，那么其方程为x X0

5、 ；4与直线l : Ax By C 0平行的直线可表示为 Ax By C1 0 ； 5与直线l : Ax By C 0 垂直的直线可表示为 Bx Ay C10.提醒：求直线方程的根本思想和方法是恰中选择方程的形式，利用待定系数法求解。5、点到直线的距离及两平行直线间的距离r、.|Ax0 By0 C1点P(x0,y0)到直线Ax By C 0的距离d 1.C1 C2Ja2 b22两平行线h：Ax By G 0,l2 : Ax By C20间的距离为d6、直线I1 :Ax B1yC10与直线I2：A2XB?y1平行A1 B2A2B10斜率且B1C2 B2相交A1 B2A2B10 ；3重合A1 B2

6、A2B10 且 B1C2B2C10。提醒:1AB1C1A1B1、B1AB2:C2A2B2A2B2C20的位置关系：2C10在y轴上截距；C1仅是两直线平行、相交、重C2合的充分不必要条件！为什么？ 2在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；3直线11: Ax Bi y Ci 0 与直线 J : A?xB2yC20 垂直 A( A2Bi B20。如1设直线 l1 : x my 60 和 l2: (m 2)x3y2m0，当m =时 l1n l2 ；当 m =时h 丨2 ；当m时h与2相交；当m =时h与2 重合答：一11；

7、; m 3且m1 ； 3；2直线|的方程为3x 4y 12 0 ,那么与I平行，且2过点一1, 3的直线方程是 答：3x 4y 9 0；3两条直线ax y 4 0与x y 2 0相交于第一象限，那么实数 a的取值范围是答：1 a 2； 4设a, b, c分别是 ABC 中/ A、/ B、/ C所对边的边长，那么直线sin Ax ay c 0与bx sin By sinC 0的位置关系是 答：垂直；5点(x1,y1)是直线l:f(x,y) 0 上一点，P?(x2, y2)是直线 l 外一点，那么方程 f (x, y) f (x1, y-i) f(x2, y2)=0所表示的直线与I的关系是 答：平

8、行；6直线I过点1,0，且被两平行直 线3x y 6 0和3x y 3 0所截得的线段长为 9，那么直线I的方程是答：4x 3y 40和 x 17、到角和夹角公式：1|1到I2的角是指直线I1绕着交点按逆时针方向转到和直线I2重k k合所转的角，0,且tan二1 (k1k21);2I1与I2的夹角是指不大于直1 k1k2k k角的角，(0,且tan =丨1 I (kh1)。提醒：解析几何中角的问题常用到21 k1k2角公式或向量知识求解。如点M是直线2x y 4 0与x轴的交点，把直线|绕点M逆时针方向旋转45°,得到的直线方程是答：3x y 6 08、对称中心对称和轴对称问题一一代

9、入法：如1点M(a,b)与点N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x y 0对称，那么点Q的坐标 为答：(b,a)；2直线I1与I2的夹角平分线为y x，假设I1的方程为ax by c 0(ab 0)，那么J的方程是答：bx ay c 0；3点人4，5丨关于直线I的对称点为E ( 2,7)，那么|的方程是 答：y=3x + 3； 4一束光线通过点A3，5，经直线I :3x 4y+4=0反射。如果反射光线通过点E2,15，那么反射光线所在直线的方程是 答：18x + y 51 0； 5 ABC顶点A(3，1 )，AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y 59=0，/ B的平

10、分线所在的方程为x 4y+10=0,求EC边所在的直线方程 答：2x 9y 65 0；6直线2x y 4=0上有一点P,它与两定点A 4, 1、E 3,4的距离之差最大，那么P的坐标是 答：5,6； 7 A x 轴，B l : y x , C 2, 1，a ABC 周长的最小值为 _ 答：J10。提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。9、简单的线性规划：1二元一次不等式表示的平面区域：法一：先把二元一次不等式改写成 y kx b或y kx b的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊 点判断；无等号时用虚线表示不包含直线I，有等号时用实线表示包含直

11、线I ；设点P(x1,y1) , Q(X2,y2)，假设B% C 与 Ax? By? C 同号，那么 P, Q在直线 l 的同侧，异号那么在直线I的异侧。如点A一 2, 4，B4, 2，且直线I : y kx 2与线 段AB恒相交，那么k的取值范围是答：一，一3 U 1,+2线性规划问题中的有关概念： 满足关于x, y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。 关于变量x, y的解析式叫目标函数，关于变量x,y一次式的目标函数叫线性目标函数； 求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题； 满足线性约束条件的解x, y丨叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域； 使目

12、标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；3求解线性规划问题的步骤是什么？根据实际问题的约束条件列出不等式；作出可行域，写出目标函数；确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。如1线性目标函数z=2x y在线性约束条件1下，取最小值的最优解是 答：1, 1； 2点2, t在直线2x 3y+6=0的上方，那么t的取值范围是 答：t 2； 33不等式|x 11 | y 11 2表示的平面区域的面积是 答：8；4如果实数x,yx y 20满足x y 40，那么z |x2x y 5 02y41的最大值答：21-+4、r、. 、 . -rtt4在求解线性规划问题时要注意 注意作图标准。10、圆的方程：:

13、将日标函数改成斜截式力程；寻找最优解时2圆的标准方程：x ayh 22br。圆的一般方程：x yDxEy F 0(D2+ E2-4F 0),特别提醒:只有当222D + E 4F 0时，方程x2Dx Ey FD E)，半径为y0才表示圆心为()2 2D2 E2 4F的圆二兀二次方程Ax BxyCy2Dx EyF 0表示圆的充要2条件是什么？ A C 0,且B 0且D2 E2 4AF 0；圆的参数方程：x三cos 为参数，其中圆心为(a,b)，半径为r。圆的参y b r sin数方程的主要应用是三角换元：x2 y2 r2 x r cos , y r sin ； x y2 tx r cos , y

14、 r sin (0 r . t)。a %,% ,b x>,y2为直径端点的圆方程x x1 x x2 y % y y20如1圆C与圆(x 1)2 y2 1关于直线yx对称，那么圆C的方程为答:x2 (y 1)21；2圆心在直线2x y 3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是答：(x 3)2 (y 3)2 9 或(x 1)2 (y 1)2 1； 3 P( 13)是圆y rsos 为参数，02)上的点，那么圆的普通方程为，P点对应的2 2 2值为,过P点的圆的切线方程是答：x y = 4 ； ;y。b 2 |a| 吕1312、直线与圆的位置关系：直线I: Ax By C 0和圆C:b 2 r

15、2r 0有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断: 与圆方程联立所得方程组的解的情况：0 相交；2几何方法比拟圆心到直线的距离与半径的大小d r 相交；d r 相离；d r1代数方法相离；判断直线0 相切; d，那么0:设圆心到直线的距离为相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几3取值范围为答:k12；6假设 M (x,y)| y 3S0S为参数，0 )，N(x, y) | yxb，假设MN，那么b的取值范围是答-3,/211、点与圆的位置关系：点Mx°, y亠 2及圆C： x-ay2br2 r 0 , 1点M在圆C外CMrxa2y。22br ； 2点M在圆C内CMrx2

16、ay。b 22 r；3点M在圆C上CMr2x°ax J3y 4 0；4如果直线I将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么 I的 斜率的取值范围是 答：0, 2；5方程x2+y2-x+y+k=0表示一个圆，那么实数 k的r2。如点P(5a+1,12a)在圆(x -1 )2 + y2=1的内部，那么a的取值范围是答:何方法较简捷。女1圆2x2 2y21与直线xsin y10(R, k, k z)的位置关系为答：相离；2假设直线axby30与圆x2y24x10切于点P( 1,2),那么ab的值答：2丨；3直线x 2y 0被曲线x2 y2 6x 2y 15 0所截得的弦长等

17、于 答：4；5；4一束光线从点A( - 1,1) 出发经x轴反射 到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路 程是 答：4； 52 2 2M(a,b)(ab 0)是圆O:x y r内一点，现有以 M为中点的弦所在直线m和直线2I : ax by r ,那么A . m/l，且I与圆相交B. I m，且I与圆相交 C. m/1 ,且I与圆相离 D . Im，且I与圆相离答：C； 6圆C: x2 (y 1)25 ,直线L : mxy 1 m0。求证：对 m R，直线L与圆C总有两个不同的交点；设L与圆C交于A、B两点，假设 AB J17，求L的倾斜角；求直线 L中，截圆所得的弦最长及最短时的直

18、线方程 答：60或120最长：y 1，最短：x 113、圆与圆的位置关系 用两圆的圆心距与半径之间的关系判断：两圆的圆心分2y21的左焦点为F1 ,b2A1A2为直径的两圆位置别为0仆。2，半径分别为nd，那么1当|OQ2 r1 2时，两圆外离；2当OO2 r, a 时，两圆外切；3当* r2<|O1O2 n r2时，两圆相交；4当OO2 r1 r2 |时，两x2 圆内切；5当0 |O1O2 A r2 |时，两圆内含。 如双曲线右 a 顶点为A1、A2, P是双曲线右支上任意一点，那么分别以线段PF1、 关系为_答：内切14、圆的切线与弦长：2 2 2 2切线：过圆x y R上一点P(x°,y°)圆的切线方程 是：xxo yy。 R，过圆(x