第五章 平均数检验与单因素方差分析

1、1第五章第五章 平均数的假设检验平均数的假设检验与单因素方差分析与单因素方差分析2第一节第一节 总体平均数的假设检验总体平均数的假设检验 Z检验和检验和t检验检验一、单个总体平均数的显著性检验一、单个总体平均数的显著性检验实质：对样本所代表的假设总体平均值实质：对样本所代表的假设总体平均值与与已知总体均值已知总体均值0之间进行之间进行差异差异显著性检验。显著性检验。根据抽样分布原理，单个平均数的显著性检验类型如下：根据抽样分布原理，单个平均数的显著性检验类型如下：类型类型H0H1检验统计量检验统计量检验方法检验方法1（双侧）=00Z检验或t检验2（左侧）00Z检验或t检验nxtZ/&0

2、nxtZ/&0nxtZ/&031、总体方差总体方差已知的正态总体平均数检验已知的正态总体平均数检验 Z检验法检验法 （1）假设）假设H0：=0， 则则HA：0；(双尾检验双尾检验) 假设假设H0：0， 则则HA：0；(右尾右尾检验检验) （2）确定显著水平）确定显著水平； （3）计算检验统计量：）计算检验统计量： （4）检验推断：）检验推断： 双尾检验，双尾检验，| Z | Z/2时拒绝时拒绝H0 ； 左尾左尾检验检验，ZZ时拒绝时拒绝H0 ；nxZ/04例例1：某校：某校5年级学生语文期末成绩年级学生语文期末成绩XN(82,16)，采用新教学方法，采用新教学方法后，抽取后，抽

3、取10名学生的语文成绩，平均分为名学生的语文成绩，平均分为85分，问采用新教分，问采用新教学方法后的平均成绩与原来有无显著差异？学方法后的平均成绩与原来有无显著差异？37.2162.3/431048285/0nxZ解：设解：设H0： 82分（右尾检验），分（右尾检验）， HA： 82分。分。 确定显著水平确定显著水平 =0.05，已知，已知 Z0.05=1.64 检验计算：检验计算：ZZ因而否因而否H0，说明采用新教法后学生平均成绩显著大于原来，说明采用新教法后学生平均成绩显著大于原来学生平均成绩。学生平均成绩。52、总体方差未知且为小样本的、总体方差未知且为小样本的正

4、正态总体平均数检验态总体平均数检验 t 检验法检验法 （1）假设）假设H0：=0， 则则HA：0；(双尾检验双尾检验) 假设假设H0：0， 则则HA：0；(右尾检验右尾检验) （2）确定显著水平）确定显著水平； （3）计算检验统计量：）计算检验统计量： （4）检验推断：）检验推断： 双尾检验，双尾检验， | t | t/2(n-1) 时拒绝零假设；时拒绝零假设； 左尾左尾检验检验，t t(n-1) 时时拒绝零假设；拒绝零假设；1/0-nsxt3、非正态总体、大样本的平均数检验、非正态总体、大样本的平均数检验 Z 检验法检验法总体方差未知时，用样本方差代替总体方差，检验方法总体方差未知时，用样本

5、方差代替总体方差，检验方法与总体方差已知的正态总体平均数检验方法相同。与总体方差已知的正态总体平均数检验方法相同。6二、两个总体平均数差异的显著性检验二、两个总体平均数差异的显著性检验实质：根据两个样本平均数之差检验与之对应的两个总实质：根据两个样本平均数之差检验与之对应的两个总体平均数之间的差异的显著性程度。体平均数之间的差异的显著性程度。两个总体平均数之差的两个总体平均数之差的显著性检验类型如下显著性检验类型如下：样本样本总体总体分布分布总体方差总体方差样本容量样本容量检验方法检验方法两个独立样本正态分布 已知大、小样本Z 检验未知大、小样本t 检验df=n1+n2-2大、小样本n1 =

6、n2t 检验df=n-1n1 n2近似 t 检验非正态分布已知大样本近似Z检验未知222122217样本样本总体总体分布分布总体方差总体方差样本容量样本容量检验方法检验方法两两个个相相关关样样本本正态分布已知大、小样本Z 检验未知大、小样本t 检验df=n-1非正态非正态分布分布已知已知大样本大样本近似Z检验未知22212221两组两组以上以上样本样本正态总体正态总体变异可分解且相互独立变异可分解且相互独立各实验处理内的方差一致各实验处理内的方差一致方差分析方差分析（F检验）检验）8第二节第二节 独立样本的独立样本的 t 检验检验一、两个正态总体，方差都已知一、两个正态总体，方差都已知 Z检验

7、检验法法 （1）假设假设H0：1=2， 则则HA：12；(双尾检验双尾检验) 假设假设H0：12， 则则HA：12；(右尾检验右尾检验) （2）确定显著水平）确定显著水平； （3）计算检验统计量：）计算检验统计量： （4）检验推断：）检验推断： 双尾检验双尾检验， | Z | Z/2时拒绝零假设；时拒绝零假设； 左尾检验左尾检验， Z Z时拒绝零假设时拒绝零假设；例题例题 5 1：222121nnyxZ9二、两个正态总体，方差都未知二、两个正态总体，方差都未知 1、两个正态总体方差齐性、两个正态总体方差齐性t 检验检验法法 （1）假设假设H0：1=2， 则则HA：12；(双尾检验双尾检验) 假

8、设假设H0：12， 则则HA：12；(右尾检验右尾检验) （2）确定显著水平）确定显著水平； （3）计算检验统计量：）计算检验统计量： （4）检验推断：）检验推断： 双尾检验双尾检验，| t | t/2(n-1) 时拒绝零假设；时拒绝零假设； 左尾检验，左尾检验，t t(n-1) 时拒绝零假设时拒绝零假设；例题例题 5 2：)(2212121222211nnnnnnsnsnyxt102、两个总体方差非齐性、两个总体方差非齐性近似近似 t 检验检验法法 （1）假设假设H0：1=2， 则则HA：12；(双尾检验双尾检验) 假设假设H0：12， 则则HA：12；(右尾检验右尾检验) （2）确定显著水

9、平）确定显著水平； （3）计算检验统计量）计算检验统计量：11222121nsnsyxt222)1(22)1(2221的临界值yxnynxtttt1122221212nsnsyx11 （4）检验推断：）检验推断： 双尾检验，双尾检验，| t | t/2 时拒绝零假设；时拒绝零假设； 左尾检验，左尾检验，t t时拒绝零假设；时拒绝零假设；例题例题 5 3：123、两个样本容量相等，即、两个样本容量相等，即n1=n2=n （1）两个总体方差两个总体方差非齐非齐性性 t 检验法检验法 假设假设H0：1=2， 则则HA：12；(双尾检验双尾检验) 假设假设H0：12， 则则HA：12；(右尾检验右尾检

10、验) 确定确定显著水平显著水平； 计算计算检验统计量检验统计量：12221nssyxt 检验推断：检验推断： 1）双尾检验，）双尾检验，| t | t/2(2n-2) 时拒绝零假设；时拒绝零假设； 2）左尾检验，）左尾检验，t t(2n-2) 时拒绝零假设；时拒绝零假设；13（2）两）两个总体方差非齐性个总体方差非齐性 t 检验法检验法 假设假设H0：1=2， 则则HA：12；(双尾检验双尾检验) 假设假设H0：12， 则则HA：12；(右尾检验右尾检验) 确定显著水平确定显著水平； 计算检验统计量：计算检验统计量：12221nssyxt）1（22的临界值nttt检验推断：检验推断： 1）双尾

11、检验，）双尾检验，| t | t/2(n-1) 时拒绝零假设；时拒绝零假设； 2）左尾检验，）左尾检验，t t(n-1) 时拒绝零假设；时拒绝零假设；144、两总体方差的齐性检验、两总体方差的齐性检验F 检验检验n又称又称方差同质性检验方差同质性检验，从各个样本的方差推断其，从各个样本的方差推断其总体方差是否相同。总体方差是否相同。n两样本容量分别为两样本容量分别为n1和和n2，样本方差分别为，样本方差分别为s12和和s22（数值较大的样本方差作为（数值较大的样本方差作为s12），两样本所属），两样本所属总体方差为总体方差为12和和22 ，用，用F检验法检验法检验检验12和和22是否是否同质。

12、同质。n检验步骤：检验步骤：l假设假设H0： 12 = 22 ，H1： 12 22l确定显著水平确定显著水平l计算计算F值：值：)1,1()1/()1/(2122221211nnFnsnnsnF15l推断：给定，查F右侧临界值表，当F F时，P ，接受H0：12 =22，即两样本所属总体方差齐性；当F F 时， P ，否定H0，接受HA：12 22 ，即两样本所属总体方差非齐性。例例5-2：16三、独立大样本三、独立大样本 1、两个总体为非正态总体，但总体方差已知、两个总体为非正态总体，但总体方差已知 Z 检验检验 （1）假设假设H0：1=2， 则则HA：12；(双尾检验双尾检验) 假设假设H

13、0：12， 则则HA：12；(右尾检验右尾检验)（2）确定显著水平）确定显著水平；（3）计算检验统计量：）计算检验统计量：（4）检验推断：）检验推断：双尾检验，双尾检验， | Z | Z/2 时时拒绝零假设；拒绝零假设；左尾检验左尾检验， Z Z 时时拒绝零假设拒绝零假设；222121nnyxZ172、两个总体为非正态总体，但总体方差未知、两个总体为非正态总体，但总体方差未知 Z 检验检验 （1）假设假设H0：1=2， 则则HA：12；(双尾检验双尾检验) 假设假设H0：12， 则则HA：12；(右尾检验右尾检验) （2）确定显著水平）确定显著水平； （3）计算检验统计量）计算检验统计量：11

14、22122211212121nsnsyxnsnsyxZnnnn1122221121212211nsnsnsnsnnnn18（4）检验推断）检验推断：双尾检验，双尾检验， | Z | Z/2 时时拒绝零假设；拒绝零假设；左尾检验左尾检验， Z Z 时时拒绝零假设拒绝零假设；19四、独立小样本四、独立小样本 t 检验实例检验实例SPSS操作（例操作（例5-4）202122232425第三节第三节 配对样本配对样本 t 检验检验n配对样本配对样本相关样本：两个样本内的数据一一相关样本：两个样本内的数据一一对应。对应。（1）用相同的测验方法对同一组受试对象在实）用相同的测验方法对同一组受试对象在实验处

15、理前后进行两次测验所获得的两组测验结果即验处理前后进行两次测验所获得的两组测验结果即为配对样本。为配对样本。（2）根据某些条件基本相同的原则，将受试对）根据某些条件基本相同的原则，将受试对象两两配对，然后将每对象两两配对，然后将每对受试受试对象随机分入实验组对象随机分入实验组和对照组，对两组和对照组，对两组受试受试对象实施不同的实验处理之对象实施不同的实验处理之后，用相同测验方法所获得的两组测验结果即为配后，用相同测验方法所获得的两组测验结果即为配对样本。对样本。26一、两个相关样本的相关系数未知一、两个相关样本的相关系数未知yxnynxnyxdnnnn)(xx1x2xnyy1y2ynd= x

16、 - yd1d2dnnn个个 d 值的方差：值的方差：2222)(ndndnddsnnndnn个个 d 值的平均数：值的平均数：n假设假设H0：1-2=0时时 ，12nsyxtd27n检验步骤：检验步骤：12nsyxtd （1）假设假设H0：1=2， 则则HA：12；(双尾检验双尾检验) 假设假设H0：12， 则则HA：12；(右尾检验右尾检验) （2）确定显著水平）确定显著水平； （3）计算检验统计量：）计算检验统计量： （4）检验推断：）检验推断：双尾检验，双尾检验，| t | t/2(n-1) 时拒绝零假设；时拒绝零假设；左尾检验，左尾检验，t t(n-1) 时拒绝零假设时拒绝零假设；

17、例题例题 5 5：28二、两个相关样本的相关系数二、两个相关样本的相关系数 r 已知已知yxDxx1x2xnyy1y2ynn两相关样本平均数之差两相关样本平均数之差 D 的标准差：的标准差：nrD21222121、两个总体方差已知、两个总体方差已知Z检验法检验法n两相关样本平均数之差：两相关样本平均数之差：n假设假设H0：1-2=0时时 ，nryxZ212221229n检验步骤：检验步骤：nryxZ2122212 （1）假设假设H0：1=2， 则则HA：12；(双尾检验双尾检验) 假设假设H0：12， 则则HA：12；(右尾检验右尾检验) （2）确定显著水平）确定显著水平； （3）计算检验统计

18、量：）计算检验统计量：（4）检验推断：）检验推断： 双尾检验，双尾检验，| Z | Z/2 时时拒绝零假设；拒绝零假设； 左尾检验左尾检验，Z Z 时时拒绝拒绝零假设；零假设；30yxDxx1x2xnyy1y2ynn两相关样本平均数之差两相关样本平均数之差 D 的标准差：的标准差：12212221-nsrsssD2、两个总体方差、两个总体方差未知未知 t 检验法检验法n两相关样本平均数之差：两相关样本平均数之差：n假设假设H0：1-2=0时时 ，)1(12212221ndfnsrsssyxt31n检验步骤：检验步骤：)1(12212221ndfnsrsssyxt （1）假设假设H0：1=2，

19、则则HA：12；(双尾检验双尾检验) 假设假设H0：12， 则则HA：12；(右尾检验右尾检验) （2）确定显著水平）确定显著水平； （3）计算检验统计量：）计算检验统计量：（4）检验推断：）检验推断： 双尾检验，双尾检验，| t | t/2(n-1) 时拒绝零假设；时拒绝零假设； 左尾检验，左尾检验，t t(n-1) 时拒绝零假设；时拒绝零假设；例例5-6：32三、配对样本检验实例三、配对样本检验实例SPSS操作（例操作（例5-7）33343536373839第四节第四节 单因素方差分析单因素方差分析n方差分析方差分析又称变异数分析（又称变异数分析（ANOVA）或）或F检检验。验。n实质是关

20、于观察值变异原因的数量分析。实质是关于观察值变异原因的数量分析。n应用于两种以上实验处理的数据分析，同时比较两应用于两种以上实验处理的数据分析，同时比较两组以上的样本平均数。组以上的样本平均数。一一、方差分析中常见术语、方差分析中常见术语1、因素与水平、因素与水平2、处理、处理3、观察值、观察值4、效应、效应5、多重比较、多重比较40二、方差分析的基本原理二、方差分析的基本原理1 1、方差分析的基本思路及主要特征、方差分析的基本思路及主要特征例如：检验例如：检验三三种不同种不同教材的教学效果教材的教学效果。组间组间组内组内教材教材ABC16873682727870370756447666707

21、1.57368=70.83jXtX41每组具有每组具有n个观测值的个观测值的 k 组样本数据结构组样本数据结构水平A1A2AjAk重复x11x12x1jx1kx21x22x2jx2kxi1xi2xijxikxn1xn2xnjxnk总和Tj .xi1xi2xijxikT=xij平均1x2xjxkx jxtx42所有学生成绩总和和任一组内学生成绩总所有学生成绩平均数均数任一组内学生成绩平任一学生成绩TTxxxjjij 43n方差分析中，首先建立方差分析中，首先建立“综合的虚无假设综合的虚无假设”：设设H0：1= 2 = = k，即即不同不同教材教材对对学生成绩无学生成绩无显著影响。显著影响。 方差

22、分析的主要任务是检验方差分析的主要任务是检验“综合的虚无假设综合的虚无假设” 是否成立。是否成立。如果如果“综合的虚无假设综合的虚无假设”被拒绝，就需要进行多被拒绝，就需要进行多重比较以确定多组样本中究竟哪些组之间存在显重比较以确定多组样本中究竟哪些组之间存在显著性差异。著性差异。44n其次，进行方差（或变异）分解和变异来源分析：其次，进行方差（或变异）分解和变异来源分析：方差分析的主要依据是方差（或变异）的可分解方差分析的主要依据是方差（或变异）的可分解性。性。通过将总平方和分解为几个不同来源的平方和通过将总平方和分解为几个不同来源的平方和（SS），进而将总体方差分解为不同来源的方差；），进

23、而将总体方差分解为不同来源的方差；以综合的以综合的F检验分析不同来源的方差之间是否存检验分析不同来源的方差之间是否存在显著性差异；在显著性差异；方差分析将总体变异分解为方差分析将总体变异分解为组间变异组间变异和和组内变异；组内变异；组组间变异间变异表示由不同实验处理导致的变异；表示由不同实验处理导致的变异；组内变异组内变异表示由实验误差所导致的变异；表示由实验误差所导致的变异；方差分析的目的：比较方差分析的目的：比较组间方差组间方差与与组内方差组内方差的差的差异显著性异显著性F检验检验。45n总平方和总平方和SSt ：kn个数据与总体平均数的离差平方和。个数据与总体平均数的离差平方和。211)

24、( kjnitijtxxSS2jijxxn组内平方和组内平方和SSw ：k个个组组 之和之和。211)( kjnijijwxxSS2)(tjxxnn组间平方和组间平方和SSb ：k个组的个组的 之和之和。2tjbxxnSSbwtSSSSSSn总平方和总平方和 = 组内平方和组内平方和 + 组间平方和组间平方和462、方差分析的、方差分析的F检验检验n比较比较组间方差组间方差与与组内方差组内方差的差异显著性的差异显著性方差方差齐性检验；齐性检验；n检验步骤：检验步骤：计算组间方差：计算组间方差：计算组内方差：计算组内方差：组间自由度bbbbdfdfSSMS组内自由度wwwwdfdfSSMS47分

25、解总自由度：分解总自由度：1321ktnnnndf)时(121nnnnnkdfkt1 1、总自由度：、总自由度：2 2、组内自由度：、组内自由度：knnnnnnnndfkkw321321)1()1()1()1(3 3、组间自由度：、组间自由度：1 kdfb)时()1(21nnnnknkkndfkwwbtdfdfdf48计算计算F值：值：wbMSMSF 推断：推断：F具有自由度为具有自由度为 df1 = dfb = k-1， df2 = dfw =nk-kF = 1 时，说明总变异主要由实验误差或其他非实时，说明总变异主要由实验误差或其他非实验因素导致的，实验处理基本无效，各种实验处理之间验因素导致的，实验处理基本无效，各种实验处理之间的平均数差异不显著；的平均数差异不显著；给定给定，查，查F右侧临界值表，当右侧临界值表，当F F（ dfb ， dfw ）时，时，P 0.05，接受接受H0；当；当F F（ dfb ， dfw ） 时，时， P 0.05，否否定定H0。49